2021-2022学年湘教版数学九年级上册 2.1 一元二次方程 提高训练 （word版含解析）

《一元二次方程》提高训练
姓名__________小组____________
一、选择题.
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为1，则m的值为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．一个长80cm，宽70cm的矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形后，剩余部分刚好围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体盒子，求小正方形边长xcm时，可根据下列方程（　　）
A．（80﹣x）（70﹣x）＝3000
B．（80﹣2x）（70﹣2x）＝3000
C．80×70﹣4x2＝3000
D．80×70﹣4x2﹣（80+70）x＝3000
3．某种植基地2018年蔬菜产量为95吨，预计2020年蔬菜产量达到128吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．95（1+x）2＝128
B．95（1﹣x）2＝128
C．95（1+2x）＝128
D．95（1+x2）＝128
4．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，一共碰杯55次，设参加酒会的人数为x，则可列方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝55
B．x（x﹣1）＝55
C．x（x+1）＝55
D．x（x+1）＝55
5．某市2018年的房价为14000元/m2，预计2020年将达到20000元/m2，求这两年的年平均增长率，设年平均增长率为x，根据题意，所列方程为（　　）
A．14000（1+x）＝20000
B．14000（1+x）2＝20000
C．14000（1﹣x）＝20000
D．14000（1﹣x）2＝20000
二、填空题.
6．某厂今年8月的产值为80万元，10月上升到100万元，若设这两个月平均每月增长的百分率为x，则可得方程　
　．
7．若关于x的一元二次方程x2+mx+3n＝0有一个根是3，则m+n＝　
　
8．若方程（m﹣1）x|m+1|+7x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，别m＝　
　．
9．某家用电器经过两次降价，每台零售价由1800元下降到1458元．若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为　
　．
10．某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件100元降至64元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为　
　．
三、解答题
11．已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，求a2﹣b2+2b的值．
12．南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？
（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为　
　；
方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：　
　．
（2）请你选择一种方法，写出充整的解答过程．
13．关于x的一元二次方程（2m﹣4）x2+3mx+m2﹣4＝0有一根为0，求m的值．
14．已知关于x的一元二次方程2xa﹣3xb﹣5＝0，试写出满足要求的所有a，b的值．
15．一元二次方程a（x2+1）+b（x+2）+c＝0化为一般式后为6x2+10x﹣1＝0，求以a、b为两条对角长的菱形的面积．
《一元二次方程》提高训练
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为1，则m的值为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝1代入已知方程，求得m值；
【解答】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根为x＝1，
∴1﹣4+m＝0，
解得，m＝3；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
2．一个长80cm，宽70cm的矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形后，剩余部分刚好围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体盒子，求小正方形边长xcm时，可根据下列方程（　　）
A．（80﹣x）（70﹣x）＝3000
B．（80﹣2x）（70﹣2x）＝3000
C．80×70﹣4x2＝3000
D．80×70﹣4x2﹣（80+70）x＝3000
【分析】根据题意可知裁剪后的底面的长为（80﹣2x）cm，宽为（70﹣2x）cm，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
（80﹣2x）（70﹣2x）＝3000，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
3．某种植基地2018年蔬菜产量为95吨，预计2020年蔬菜产量达到128吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．95（1+x）2＝128
B．95（1﹣x）2＝128
C．95（1+2x）＝128
D．95（1+x2）＝128
【分析】利用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为95吨，则2017年蔬菜产量为95（1+x）吨
，2018年蔬菜产量为95（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到128吨，
即：95（1+x）2＝128．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2019年和2020年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
4．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，一共碰杯55次，设参加酒会的人数为x，则可列方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝55
B．x（x﹣1）＝55
C．x（x+1）＝55
D．x（x+1）＝55
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：x（x﹣1）＝55，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．某市2018年的房价为14000元/m2，预计2020年将达到20000元/m2，求这两年的年平均增长率，设年平均增长率为x，根据题意，所列方程为（　　）
A．14000（1+x）＝20000
B．14000（1+x）2＝20000
C．14000（1﹣x）＝20000
D．14000（1﹣x）2＝20000
【分析】根据下一年的房价等于上一年的房价乘以（1+x），可以列出2020年的房价，而预计2020年将达到20000元/m2，故可得到一个一元二次方程．
【解答】解：设年平均增长率为x，
那么2019年的房价为：14000（1+x），
2020年的房价为：14000（1+x）2＝20000．
故选：B．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程：解决实际问题时，要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
二、填空题
6．某厂今年8月的产值为80万元，10月上升到100万元，若设这两个月平均每月增长的百分率为x，则可得方程　80（1+x）2＝100　．
【分析】可先表示出9月份的产值，那么9月份的产值×（1+增长率）＝10月份的产值，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：9月份的产值为80×（1+x），10月份的产值在5月份产值的基础上增加x，为80×（1+x）×（1+x），
则列出的方程是80（1+x）2＝100．
故答案是：80（1+x）2＝100．
【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
7．若关于x的一元二次方程x2+mx+3n＝0有一个根是3，则m+n＝　﹣3　
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x＝3代入方程得关于k的一次方程9+3m+3n＝0，然后求解即可．
【解答】解：把x＝3代入方程得：9+3m+3n＝0，
解得：m+n＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．若方程（m﹣1）x|m+1|+7x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，别m＝　﹣3　．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式求出答案．
【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m+1|+7x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m+1|＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数与系数是解题关键．
9．某家用电器经过两次降价，每台零售价由1800元下降到1458元．若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为　1800（1﹣x）2＝1458　．
【分析】设家用电器平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是1800（1﹣x），第二次后的价格是1800（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设降价的百分率为x，根据题意列方程得
1800×（1﹣x）2＝1458．
故答案为：1800×（1﹣x）2＝1458．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
10．某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件100元降至64元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为　100（x﹣1）2＝64　．
【分析】设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，100元降至64元就是方程的成立条件，列出方程求解即可．
【解答】解：设每次降价的百分率为x．由题意得
100（x﹣1）2＝64，
故答案为：100（x﹣1）2＝64．
【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
三、解答题
11．已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，求a2﹣b2+2b的值．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到1﹣a﹣b＝0，即a+b＝4，然后利用整体代入的方法计算代数式a2﹣b2+2b的值．
【解答】解：∵﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，
∴1﹣a﹣b＝0，
∴a+b＝1，
∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根．
12．南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？
（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为　（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240　；
方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：　（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240　．
（2）请你选择一种方法，写出充整的解答过程．
【分析】（1）方法1：设每千克特产应降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；
方法2：设每千克特产降价后定价为y元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可．
（2）利用（1）中所列方程求出答案．
【解答】解：（1）方法1：设每千克特产应降价x元．
根据题意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240，
故答案为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；
（2）方法1：设每千克特产应降价x元．
根据题意，得
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得x1＝4，x2＝6．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝6，
60﹣6＝54元，
答：每千克特产应定价54元．
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意，得
（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240
解得x1＝54，x2＝56．
要让顾客尽可能得到实惠，只能取x＝54，
答：每千克特产应定价54元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
13．关于x的一元二次方程（2m﹣4）x2+3mx+m2﹣4＝0有一根为0，求m的值．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入（2m﹣4）x2+3mx+m2﹣4＝0得到关于m的方程，然后解方程即可．
【解答】解：把x＝0代入（2m﹣4）x2+3mx+m2﹣4＝0，得：
m2﹣4＝0，
解得m＝±2，
又∵2m﹣4≠0，
解得m≠2，
∴m＝﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．已知关于x的一元二次方程2xa﹣3xb﹣5＝0，试写出满足要求的所有a，b的值．
【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：根据题意知或或或或．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
15．一元二次方程a（x2+1）+b（x+2）+c＝0化为一般式后为6x2+10x﹣1＝0，求以a、b为两条对角长的菱形的面积．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：ax2+a+bx+2b+c＝0
ax2+bx+a+2b+c＝0
∵6x2+10x﹣1＝0
∴a＝6，b＝10
S菱形＝×6×10＝30．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．第1页（共3页）