湘教九上数学 2.4一元二次方程根与系数的关系 提高训练 （word版含解析）

《一元二次方程根与系数的关系》提高训练
姓名__________小组____________
一、选择题（
本大题共5小题，共25分）
1．（5分）若一元二次方程x2﹣8x﹣33＝0的两根分别为x1、x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　）
A．﹣24
B．24
C．﹣40
D．40
2．（5分）已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝﹣12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣7x+12＝0
B．x2﹣7x﹣12＝0
C．x2+7x﹣12＝0
D．x2+7x+12＝0
3．（5分）已知一元二次方程的两根分别是3和﹣2，则这个一元二次方程是（　　）
A．x2﹣x+6＝0
B．x2+5x﹣6＝0
C．x2﹣x﹣6＝0
D．x2+x﹣6＝0
4．（5分）已知α，β是方程x2+2016x+1＝0的两个根，则（1+2018α+α2）（1+2018β+β2）的值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（5分）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2＝4，那么b的值为（　　）
A．5
B．﹣5
C．4
D．﹣4
二、填空题（
本大题共5小题，共25分）
6．（5分）写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下要求：①二次项系数为2，②两根分别为3和﹣5，　
　．
7．（5分）若方程x2+px+q＝0的两个根是﹣3和4，则p＝　
　，q＝　
　．
8．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足3x1＝|x2|+2，则m的值为　
　
9．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为﹣2，则另一个根为　
　，m的值为　
　．
10．（5分）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝　
　．
三、解答题（
本大题共5小题，共50分）
11．（10分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若＝4m，求m的值
12．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两实根分别为x1、x2，且|x1|＝|x2|﹣2，求m的值及方程的根．
13．（10分）设a、b是方程x2+x﹣2015＝0的两个不相等的实数根，
（1）求+的值．
（2）求（a+1）2+b的值．
14．（10分）已知关于x的方程x2﹣ax+a﹣3＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若x＝2是方程的一个根，求a的值及该方程的另一根．
15．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
《一元二次方程根与系数的关系》提高训练
参考答案与试题解析
一、选择题（
本大题共5小题，共25分）
1．（5分）若一元二次方程x2﹣8x﹣33＝0的两根分别为x1、x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　）
A．﹣24
B．24
C．﹣40
D．40
【分析】直接利用根与系数的关系得出答案即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x﹣33＝0的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝8，x1x2＝﹣33．
∴（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2+1＝8+1﹣33＝﹣24，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解题关键是会利用根与系数的关系来求方程中的字母系数．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
2．（5分）已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝﹣12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣7x+12＝0
B．x2﹣7x﹣12＝0
C．x2+7x﹣12＝0
D．x2+7x+12＝0
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：∵x1+x2＝7，x1x2＝﹣12，
∴以x1，x2为根的一元二次方程可为x2﹣7x﹣12＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
3．（5分）已知一元二次方程的两根分别是3和﹣2，则这个一元二次方程是（　　）
A．x2﹣x+6＝0
B．x2+5x﹣6＝0
C．x2﹣x﹣6＝0
D．x2+x﹣6＝0
【分析】可利用根与系数的关系直接写出方程，也可用检验的办法确定符合条件的选择支．
【解答】解：法一、∵3﹣2＝1，3×（﹣2）＝﹣6，
∴根为3和﹣2的一元二次方程为：x2﹣x﹣6．
故选：C．
法二、把3和﹣2分别代入各个选择支，
同时满足方程成立的只有C．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，难度不大．掌握根与系数的关系是解决本题的关键．
4．（5分）已知α，β是方程x2+2016x+1＝0的两个根，则（1+2018α+α2）（1+2018β+β2）的值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出：αβ＝1，α2+2016α＝﹣1，β2+2016β＝﹣1，将其代入（1+2018α+α2）（1+2018β+β2）中即可求出结论．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2016x+1＝0的两个根，
∴αβ＝1，α2+2016α＝﹣1，β2+2016β＝﹣1，
∴（1+2018α+α2）（1+2018β+β2）＝（1+2α﹣1）（1+2β﹣1）＝4αβ＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系及一元二次方程的解找出αβ＝1，α2+2016α＝﹣1，β2+2016β＝﹣1是解题的关键．
5．（5分）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2＝4，那么b的值为（　　）
A．5
B．﹣5
C．4
D．﹣4
【分析】由韦达定理得出x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，将其代入x1+x2﹣3x1x2＝4列出关于b的方程，解之可得答案．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，
∵x1+x2﹣3x1x2＝4，
∴﹣b+9＝4，
解得：b＝5，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数且a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
二、填空题（
本大题共5小题，共25分）
6．（5分）写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下要求：①二次项系数为2，②两根分别为3和﹣5，　2x2+（10﹣6）x﹣30＝0　．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系及一元二次方程的一般式求解可得．
【解答】解：根据题意知，满足这两个条件的一元二次方程为2（x﹣3）（x+5）＝0，
整理，得：2x2+（10﹣6）x﹣30＝0，
故答案为：2x2+（10﹣6）x﹣30＝0．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的常见的几种形式．
7．（5分）若方程x2+px+q＝0的两个根是﹣3和4，则p＝　﹣1　，q＝　﹣12　．
【分析】根据根与系数的关系即可得．
【解答】解：∵方程x2+px+q＝0的两个根是﹣3和4，
∴﹣p＝﹣3+4，q＝﹣3×4，
则p＝﹣1，q＝﹣12，
故答案为：﹣1，﹣12．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
8．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足3x1＝|x2|+2，则m的值为　4　
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝20﹣4m≥0，解之即可得出m的取值范围．由根与系数的关系可得x1+x2＝6①、x1?x2＝m+4②，分x2≥0和x2＜0可找出3x1＝x2+2③或3x1＝﹣x2+2④，联立①③或①④求出x1、x2的值，进而可求出m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，
∴△＝（﹣6）2﹣4（m+4）＝20﹣4m≥0，
解得：m≤5，
∴m的取值范围为m≤5．
∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝6①，x1?x2＝m+4②．
∵3x1＝|x2|+2，
当x2≥0时，有3x1＝x2+2③，
联立①③解得：x1＝2，x2＝4，
∴8＝m+4，m＝4；
当x2＜0时，有3x1＝﹣x2+2④，
联立①④解得：x1＝﹣2，x2＝8（不合题意，舍去）．
∴符合条件的m的值为4．
故答案是：4．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
9．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为﹣2，则另一个根为　5　，m的值为　﹣10　．
【分析】由于x＝﹣2是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后根据根与系数的关系可以求出方程的另一根．
【解答】解：∵x＝﹣2是方程的根，
∴4+6+m＝0，
∴m＝﹣10，
设另一个根为x2，则﹣2+x2＝3，
∴x2＝5，
∴m的值是﹣10，另一个根是x＝5，
故答案为：5，﹣10．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
10．（5分）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝　2018　．
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系即可得出m2+2m＝2020，m+n＝﹣2，将其代入m2+3m+n＝m2+2m+m+n中即可求出结论．
【解答】解：∵设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，
∴m2+2m﹣2020＝0，即m2+2m＝2020，m+n＝﹣2，
则m2+3m+n
＝m2+2m+m+n
＝2020﹣2
＝2018，
故答案为：2018．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2+2m＝2020，m+n＝﹣2是解题的关键．
三、解答题（
本大题共5小题，共50分）
11．（10分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若＝4m，求m的值
【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝，x1x2＝，结合＝4m，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合m＞﹣1且m≠0，即可确定m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞﹣1且m≠0．
（2）∵x1，x2是一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0的实数根，
∴x1+x2＝，x1x2＝．
∵＝＝4m，即＝4m，
∴m2﹣m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣1，m2＝2．
又∵m＞﹣1且m≠0，
∴m＝2．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）由二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合＝4m，找出关于m的一元二次方程．
12．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两实根分别为x1、x2，且|x1|＝|x2|﹣2，求m的值及方程的根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝5（m﹣）2+＞0，进而可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝m﹣1，x1?x2＝﹣m2，当m＝0时，通过解一元二次方程可得出方程的根，由它们不符合|x1|＝|x2|﹣2可得出m＝0不合适；当m≠0时，由x1?x2＝﹣m2＜0可得出方程的两根异号，分x1＞0，x2＜0或x1＜0，x2＞0两种情况求出m的值，将其代入原方程，通过解方程即可求出方程的解．
【解答】（1）证明：△＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（﹣m2）＝5m2﹣2m+1＝5（m﹣）2+．
∵（m﹣）2≥0，
∴5（m﹣）2+＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程的两实根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝m﹣1，x1?x2＝﹣m2．
当m＝0时，原方程为x2+x＝0，
∴方程的两根为﹣1和0，不满足|x1|＝|x2|﹣2；
当m≠0时，x1?x2＝﹣m2＜0，
∴方程的两根异号．
若x1＞0，x2＜0，则有x1＝﹣x2﹣2，
∴x1+x2＝m﹣1＝﹣2，
∴m＝﹣1，
∴原方程为x2+2x﹣1＝0，
解得：x＝﹣1±；
若x1＜0，x2＞0，则有﹣x1＝x2﹣2，
∴x1+x2＝m﹣1＝2，
∴m＝3，
∴原方程为x2﹣2x﹣9＝0，
解得：x＝1±．
综上所述：m的值为﹣1或3，方程的根为﹣1±或1±．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1|＝|x2|﹣2求出m的值．
13．（10分）设a、b是方程x2+x﹣2015＝0的两个不相等的实数根，
（1）求+的值．
（2）求（a+1）2+b的值．
【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，ab＝﹣2015，根据方程解的定义得到a2+a﹣2015＝0，即a2+a＝2015，
（1）先通分，然后利用整体思想计算；
（2）先展开，再整理得到a2+a+a+b+1，然后利用整体思想计算．
【解答】解：根据题意得a+b＝﹣1，ab＝﹣2015，
（1）原式＝；
（2）∵a是方程x2+x﹣2015＝0的实数根，
∴a2+a﹣2015＝0，即a2+a＝2015，
原式＝a2+2a+1+b
＝a2+a+a+b+1
＝2015﹣1+1
＝2015．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1?x2＝．也考查了一元二次方程的解．
14．（10分）已知关于x的方程x2﹣ax+a﹣3＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若x＝2是方程的一个根，求a的值及该方程的另一根．
【分析】（1）计算根的判别式△，证明△恒大于或等于0；
（2）把x＝2代入方程求出a，可通过解一元二次方程得到另一个根亦可通过根与系数的关系得到方程的另一个根．
【解答】解：（1）△＝a2﹣4（a﹣3）
＝a2﹣4a+12
＝（a﹣2）2+8．
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+8＞0
即△＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将x＝2代入原方程，得4﹣2a+a﹣3＝0
解得：a＝1．
∴原方程为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
∴方程的另一根为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、一元二次方程根与系数的关系．说明根的判别式恒不小于0，通常通过配方的办法．
15．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
【分析】（1）利用判别式的意义得4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＞0，然后解不等式即可；
（2）将x＝0代入方程得k2﹣1＝0，解得k＝1或k＝﹣1，利用k＜1得到k＝﹣1，然后得出方程，解之可得到方程的另一个根．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣8（k﹣1）＞0，
解得k＜1．
（2）当x＝0时，有k2﹣1＝0，
解得k＝±1．
∵k＜1，
∴k＝﹣1．
∴0可能是方程的一个根．
当k＝﹣1时，方程可能化为x2+4x＝0．
解得x＝0或x＝﹣4．
∴方程另一个根是﹣4．
【点评】此题主要考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
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