湘教九上数学 2.3 一元二次方程根的判别式 提高训练（word版含解析）

《一元二次方程根的判别式》提高训练
姓名__________小组____________
一、选择题（
本大题共5小题，共25分）
1．（5分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A．x2+1＝0
B．x2﹣2x+1＝0
C．x2+2x+4＝0
D．x2﹣x﹣3＝0
2．（5分）当k＞0时，下列方程中一定有实数根的是（　　）
A．kx2+3＝0
B．（x+k）2+12＝0
C．kx2﹣4kx+1＝0
D．x2﹣x﹣k2＝0
3．（5分）一元二次方程kx2+4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4
B．k≥4
C．k≤4
D．k≤4且k≠0
4．（5分）下列一元二次方程中没有实数根的是（　　）
A．x2+2x+1＝0
B．2x2﹣2x﹣1＝0
C．x2+6＝4x
D．（x+1）（x﹣4）＝1
5．（5分）若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（　　）
A．27
B．36
C．27或36
D．18
二、填空题（
本大题共5小题，共25分）
6．（5分）关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x＝1有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　
　．
7．（5分）请给出一元二次方程x2﹣3x+　
　＝0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根（填在横线上，填一个答案即可）．
8．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2kx+k＝0没有实数根，则k的取值范围是　
　．
9．（5分）若关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是　
　．
10．（5分）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实根，则m的取值范围是　
　．
三、解答题（
本大题共5小题，共50分）
11．（10分）已知关于x的方程mx2﹣（m+3）x+3＝0（m≠0）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；
（2）当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？
12．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m是正整数，求关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0的根．
13．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）若方程有一个根为3，求k的值；
（2）若k为任意实数，判断方程根的情况并说明理由．
14．（10分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0
（1）若这个方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若此方程有一个根是1，请求出m的值．
15．（10分）关于x的方程x2﹣ax+1＝0有两个相等的实数根，求代数式﹣的值．
《一元二次方程根的判别式》提高训练
参考答案与试题解析
一、选择题（
本大题共5小题，共25分）
1．（5分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A．x2+1＝0
B．x2﹣2x+1＝0
C．x2+2x+4＝0
D．x2﹣x﹣3＝0
【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：A．x2+1＝0中△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，没有实数根；
B．x2﹣2x+1＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；
C．x2+2x+4＝0中△＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，没有实数根；
D．x2﹣x﹣3＝0中△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，有两个不相等的实数根；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
2．（5分）当k＞0时，下列方程中一定有实数根的是（　　）
A．kx2+3＝0
B．（x+k）2+12＝0
C．kx2﹣4kx+1＝0
D．x2﹣x﹣k2＝0
【分析】根据根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以判断下列方程有无实数解．
【解答】解：A．由kx2+3＝0得x2＝﹣＜0，没有实数根；
B．由（x+k）2+12＝0得（x+k）2＝﹣12＜0，没有实数根；
C．kx2﹣4kx+1＝0中△＝（﹣4k）2﹣4k＝16k2﹣4k，不一定有实数根；
D．x2﹣x﹣k2＝0中，△＝（﹣1）2﹣4××（﹣k2）＝1+2k2＞0，一定有实数根；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
3．（5分）一元二次方程kx2+4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4
B．k≥4
C．k≤4
D．k≤4且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且△＝42﹣4k≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且△＝42﹣4k≥0，
解得k≤4且k≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4．（5分）下列一元二次方程中没有实数根的是（　　）
A．x2+2x+1＝0
B．2x2﹣2x﹣1＝0
C．x2+6＝4x
D．（x+1）（x﹣4）＝1
【分析】根据根的判别式可以判断各个选项中的方程是否有实数根，从而可以解答本题．
【解答】解：A．x2+2x+1＝0中△＝22﹣4×1×1＝0，有两个相等的实数根；
B．2x2﹣2x﹣1＝0中△＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，有两个不相等的实数根；
C．x2+6＝4x，即x2﹣4x+6＝0中△＝（﹣4）2﹣4×1×6＝﹣8＜0，没有实数根；
D．（x+1）（x﹣4）＝1，即x2﹣3x﹣5＝0中，△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）＝29＞0，有两个不相等的实数根；
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是利用根的判别式可以判断方程的根的情况．
5．（5分）若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（　　）
A．27
B．36
C．27或36
D．18
【分析】分3为腰长及3为底边长两种情况考虑：当3为腰长时，将x＝3代入原方程可求出k的值，将k的值代入原方程可求出x的值，由三角形的三边关系可得出k＝27舍去；当3为等边长时，由根的判别式△＝0，可求出k值．综上即可得出结论．
【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0，
解得：k＝27，
∴原方程为x2﹣12x+27＝0，
∴x1＝3，x2＝9，
∵3+3＜9，
∴长度为3，3，9的三条边不能围成三角形
∴k＝27舍去；
当3为等边长时，△＝（﹣12）2﹣4k＝0，
解得：k＝36．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，分3为腰长及3为底边长两种情况找出k值是解题的关键．
二、填空题（
本大题共5小题，共25分）
6．（5分）关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x＝1有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　a＜0且a≠﹣1　．
【分析】据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x＝1有两个不相等的实数根，
∴△＝22﹣4×（a+1）×1＝﹣4a＞0，
解得：a＜0，
又a+1≠0，
∴a≠﹣1，
则a＜0且a≠﹣1，
故答案为：a＜0且a≠﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，也考查了一元二次方程的定义．
7．（5分）请给出一元二次方程x2﹣3x+　2（答案不唯一，小于均可）　＝0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根（填在横线上，填一个答案即可）．
【分析】设这个常数项为a，则这个一元二次方程为程x2﹣3x+a＝0，根据方程有两个不相等的根，求出a的取值范围即可．
【解答】解：设这个常数项为a，则这个一元二次方程为程x2﹣3x+a＝0，
∵此方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴（﹣3）2﹣4a＞0，即a＜，
所以这个常数项为小于的任意一个数即可，可为2，
故答案为：2（答案不唯一，小于均可）．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等根，则△＞0，此题难度不大．
8．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2kx+k＝0没有实数根，则k的取值范围是　k＜0　．
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△＜0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2kx+k＝0没有实数根，
∴，
解得：k＜0．
故答案为：k＜0．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
9．（5分）若关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是　m≥﹣　．
【分析】先计算△，根据方程有实数根得关于m的不等式，求解即可．
【解答】解：△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）
＝4m2+4m+1﹣4m2+4
＝4m+5，
因为关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根，
所以4m+5≥0，
所以m≥﹣．
故答案为：m≥﹣
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式．解决本题的关键是根据解得情况列出不等式．
10．（5分）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实根，则m的取值范围是　m＜﹣1　．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＜0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0，
解得：m＜﹣1，
故答案为：m＜﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．
三、解答题（
本大题共5小题，共50分）
11．（10分）已知关于x的方程mx2﹣（m+3）x+3＝0（m≠0）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；
（2）当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？
【分析】（1）计算根的判别式△，证明△≥0；
（2）因式分解求出原方程的两个根，根据m为整数、两个不相等的正整数根得到m的值．
【解答】解：（1）∵△＝[﹣（m+3）]2﹣4m×3
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣3）2，
∵（m﹣3）2≥0
即△≥0，
∴不论m为何值，方程总有实数根．
（2）（mx﹣3）（x﹣1）＝0
x1＝，x2＝1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m＝1
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法．解决（2）的关键是用因式分解法求出方程的两个根．
12．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m是正整数，求关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0的根．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于m的不等式，解之可得；
（2）由（1）中m的范围且m为正整数得出m的值，代入方程，解之可得．
【解答】解：（1）根据题意得：（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0，
解不等式得：m＜2；
（2）由（1）得：m＜2
∵m为正整数，
∴m＝1，
把m＝1代入原方程得：x2﹣2x＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
【点评】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题的关键．
13．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）若方程有一个根为3，求k的值；
（2）若k为任意实数，判断方程根的情况并说明理由．
【分析】（1）将x＝3代入方程得出关于k的方程，解之可得；
（2）利用一元二次方程根的判别式即可得出结论．
【解答】解：（1）当x＝3时，9﹣3（k+2）+2k＝0，
解得：k＝3；
（2）∵a＝1，b＝﹣（k+2），c＝2k，
∴b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k
＝k2+4k+4﹣8k
＝k2﹣4k+4
＝（k﹣2）2≥0，
∴方程定有两个实数根．
【点评】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题的关键．
14．（10分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0
（1）若这个方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若此方程有一个根是1，请求出m的值．
【分析】（1）根据根的判别式判断即可；
（2）将x＝1代入方程，解方程即可得m的值．
【解答】解：（1）根据题意知△＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，
解得：m≥﹣；
（2）将x＝1代入方程得1﹣2m+m2﹣4m﹣1＝0，
整理，得：m2﹣6m＝0，
解得：m1＝0，m2＝6，
∵m≥﹣，
∴m＝0和m＝6均符合题意，
故m＝0或m＝6．
【点评】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题的关键．
15．（10分）关于x的方程x2﹣ax+1＝0有两个相等的实数根，求代数式﹣的值．
【分析】根据当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根求出a，代入计算即可．
【解答】解：△＝a2﹣4，
∵方程x2﹣ax+1＝0有两个相等的实数根，
∴a2﹣4＝0，
解得，a＝±2，
∵a+2≠0，
∴a≠﹣2，
当a＝2时，﹣＝﹣＝．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，求代数式的值，掌握当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根是解题的关键．
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