章末综合测评
导数及其应用
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式正确的是( )
A．(sin
a)′＝cos
a(a为常数)
B．(cos
x)′＝sin
x
C．(sin
x)′＝cos
x
D．(x－5)′＝－x－6
C [由导数公式知选项A中(sin
a)′＝0；选项B中(cos
x)′＝－sin
x；选项D中(x－5)′＝－5x－6．]
2．函数f(x)＝ln
x－ax在x＝2处的切线与直线ax－y－1＝0平行，则实数a＝( )
A．－1
B．
C．
D．1
B [对函数求导f′(x)＝－a，k＝f′(2)＝－a＝a，所以a＝．]
3．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )
A．0
B．2
C．1
D．－1
A [f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0．]
4．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是( )
A．2
B．1
C．0
D．由a确定
C [f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值．故选C．]
5．如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A．－4
B．2
C．－2
D．1
D [由图像可得函数y＝f(x)的图像在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则可知l：x＋y＝4，
∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1，故选D．]
6．函数f(x)＝x2－ln
x的单调递减区间为( )
A．
B．
C．
D．
C [∵f(x)＝x2－ln
x(x>0)，∴f′(x)＝x－＝，
当f′(x)<0时，解得0
x的单调递减区间为．故选C．]
7．已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，当x>0且x≠2时，(x－2)[2f(x)＋xf′(x)]<0，若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线的斜率为－10，则f(2)的值为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
D [①若x>2，则2f(x)＋xf′(x)<0，
②若00，
令g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，
∵x>0，∴g(x)在x＝2时取得极值，g′(2)＝4f(2)＋4f′(2)＝0，
∵f′(2)＝－10，∴f(2)＝10，故选D．]
8．已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，P为抛物线的弧AOB上任意点，则当△ABP的面积最大时，P点坐标为( )
A．(0，0)
B．(1，1)
C．
D．(2，)
B [设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图．∵直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大．
只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧AOB上的一点，∴点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，
由图知点P在x轴上方，y＝，y′＝，由题意知kAB＝，∴k1＝＝，即x0＝1，∴y0＝1，∴P(1，1)，故选B．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示．
则下列说法正确的有( )
A．前四年该产品产量增长速度越来越快
B．前四年该产品产量增长速度越来越慢
C．第四年后该产品停止生产
D．第四年后该产品年产量保持不变
BD [设产量与时间的关系为y＝f(x)，由题图可知f(x)在点(1，f(1))，(2，f(2))，(3，f(3))，(4，f(4))处的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义可知，前四年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确；
由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确，故说法正确的有BD．故选BD．]
10．已知f(x)＝x(x－1)(x－2)…(x－20)，下列结论正确的是( )
A．f′(0)＝20!
B．f′(1)＝19!
C．f′(19)＝－19!
D．f′(20)＝－20!
AC [∵f(x)＝x(x－1)(x－2)…(x－20)，
∴f′(x)＝(x－1)(x－2)…(x－20)＋x(x－2)…(x－20)＋x(x－1)(x－3)…(x－20)＋…＋x(x－1)…(x－19)，
∴f′(0)＝(－1)×(－2)×…×(－20)＝20！，即A正确；
f′(1)＝1×(－1)×(－2)×…×(－19)＝－19！，即B错误，C正确；
f′(20)＝20×19×…×1＝20！，故D错误，故选AC．]
11．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln
x
D．f(x)＝
ACD [在A中，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，则x2＝2x，这个方程显然有解，故A符合要求；在B中，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))))eq
\s\up12(′)＝ln
＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；在C中，若f(x)＝ln
x，则f′(x)＝，由ln
x＝，令y＝ln
x，y＝(x>0)，作出两函数的图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故C符合要求；
在D中，若f(x)＝，则f′(x)＝－，由＝－，可得x＝－1，故D符合要求．故选ACD．]
12．设函数f(x)＝，则下列说法正确的是( )
A．f(x)在区间(1，2)上有最大值
B．x∈(0，1)时，f(x)图像位于x轴下方
C．f(x)存在单调递增区间
D．f(x)有且仅有两个极值点
BC [∵f(x)＝(x>0，x≠1)，则f′(x)＝，令g(x)＝ln
x－，则g′(x)＝＋(x>0)，所以g′(x)>0，函数g(x)单调递增，且g(1)＝－1<0，g(2)＝ln
2－>0，所以函数f(x)在(1，2)上先减后增，没有最大值，所以A不正确；由f(x)＝，当x∈(0，1)时，ln
x<0，∴f(x)<0，所以f(x)在(0，1)上的图像都在x轴的下方，所以B正确；因为f′(x)>0在定义域上有解，所以函数f(x)存在单调递增区间，所以C是正确的；由g(x)＝ln
x－，则g′(x)＝＋(x>0)，所以g′(x)>0，函数g(x)单调递增，则函数f′(x)＝0只有一个根x0，使得f′(x0)＝0，当x∈(0，1)∪(1，x0)时，f′(x)<0，函数单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，函数单调递增．所以函数只有一个极小值，所以D不正确，故选BC．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝(x＋1)ex－1＋a在(1，f(1))处的切线经过点(3，7)，则实数a＝________．
－1 [由f(x)＝(x＋1)ex－1＋a，得f′(x)＝ex－1(x＋2)，f′(1)＝3，f(1)＝a＋2，而切线过点(3，7)，从而有＝3，解得a＝－1．]
14．若函数f(x)＝m·ex－x2＋2x(m<0)在(0，1)上有极值点，则m的取值范围为________．
(－2，0) [因为f(x)＝m·ex－x2＋2x(m<0)，所以f′(x)＝m·ex－2x＋2(m<0)，
因为函数f(x)＝m·ex－x2＋2x(m<0)在(0，1)上有极值点，
所以f′(x)＝m·ex－2x＋2(m<0)在(0，1)上有零点，
因为y＝m·ex(m<0)，y＝－2x＋2在(0，1)上都递减，
所以f′(x)在(0，1)上为减函数，所以，解得－215．函数y＝x3－6x＋5的图像在点(1，0)处切线的方程是________，该函数的单调递减区间是________．(本题第一空2分，第二空3分)
y＋3x－3＝0 (－，) [函数y＝x3－6x＋5的导函数为y′＝3x2－6，
所以当x＝1时，切线斜率k＝－3，所以函数y＝x3－6x＋5的图像在点(1，0)处切线的方程为y＝－3(x－1)，即y＋3x－3＝0，由y′＝3x2－6<0解得－所以函数y＝x3－6x＋5的单调递减区间是(－，)．]
16．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1
t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(8040 [净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，
因为c(x)＝(80所以c′(x)＝＝，又因为c′(90)＝＝40，
所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－a)．
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值．
[解] (1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4．
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
此时有f(x)＝(x2－4)·，
f′(x)＝3x2－x－4．
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－1．
又f
＝－，f(－1)＝，f(－2)＝0，f(2)＝0，
∴f(x)在[－2，2]上的最大值为，最小值为－．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
[解] (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，
∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0．
(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点(x0，x－4x＋5x0－4)，∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1(a>0)．
(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．
[解] (1)f(0)＝1，f′(x)＝＋x－a＝，∴f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1．
(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，
即＝0．
解得x＝0或x＝a－1．
当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为：
x
(－1，0)
0
(0，a－1)
a－1
(a－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，单调增区间是(－1，0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝aln
a－a2＋．
20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r
m，高为h
m，体积为V
m3．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12
000π，
所以h＝(300－4r2)，从而
V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得0＜r<5，
故函数V(r)的定义域为(0，5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．
当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；
当r∈(5，5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8．
即当r＝5
m，h＝8
m时，该蓄水池的体积最大．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－aln
x＋(1－a)x．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)>恒成立，求正实数a的取值范围．
[解] (1)定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝x－＋1－a＝＝，
当a≤0时，在(0，＋∞)上f′(x)≥0，所以f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，令f′(x)>0有x>a，令f′(x)<0有0所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
(2)令g(x)＝f(x)－，由(1)及a为正数知，g(x)＝f(x)－在x＝a处取最小值，所以f(x)>恒成立等价于g(a)>0，即－aln
a＋(1－a)a>0，
整理得ln
a＋a－1<0，令h(x)＝ln
x＋x－1，易知h(x)为增函数，且h(1)＝0，
所以ln
a＋a－1<0的a的取值范围是0所以正实数a的取值范围是(0，1)．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0．
(1)求a，b的值；
(2)求证：当x>0，且x≠1时，f(x)>．
[解] (1)f′(x)＝－，
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，1)，
故即解得
(2)证明：由(1)知，f(x)＝＋，
所以f(x)－＝．
设函数h(x)＝2ln
x－(x>0)，
则h′(x)＝－＝－．
所以当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)＝0，
所以当x∈(0，1)时，h(x)>0，得f(x)>；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，得f(x)>．
故当x>0，且x≠1时，f(x)>．章末综合测评
导数及其应用
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式正确的是( )
A．(sin
a)′＝cos
a(a为常数)
B．(cos
x)′＝sin
x
C．(sin
x)′＝cos
x
D．(x－5)′＝－x－6
2．函数f(x)＝ln
x－ax在x＝2处的切线与直线ax－y－1＝0平行，则实数a＝( )
A．－1
B．
C．
D．1
3．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )
A．0
B．2
C．1
D．－1
4．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是( )
A．2
B．1
C．0
D．由a确定
5．如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A．－4
B．2
C．－2
D．1
6．函数f(x)＝x2－ln
x的单调递减区间为( )
A．
B．
C．
D．
7．已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，当x>0且x≠2时，(x－2)[2f(x)＋xf′(x)]<0，若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线的斜率为－10，则f(2)的值为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
8．已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，P为抛物线的弧AOB上任意点，则当△ABP的面积最大时，P点坐标为( )
A．(0，0)
B．(1，1)
C．
D．(2，)
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示．
则下列说法正确的有( )
A．前四年该产品产量增长速度越来越快
B．前四年该产品产量增长速度越来越慢
C．第四年后该产品停止生产
D．第四年后该产品年产量保持不变
10．已知f(x)＝x(x－1)(x－2)…(x－20)，下列结论正确的是( )
A．f′(0)＝20!
B．f′(1)＝19!
C．f′(19)＝－19!
D．f′(20)＝－20!
11．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln
x
D．f(x)＝
12．设函数f(x)＝，则下列说法正确的是( )
A．f(x)在区间(1，2)上有最大值
B．x∈(0，1)时，f(x)图像位于x轴下方
C．f(x)存在单调递增区间
D．f(x)有且仅有两个极值点
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝(x＋1)ex－1＋a在(1，f(1))处的切线经过点(3，7)，则实数a＝________．
14．若函数f(x)＝m·ex－x2＋2x(m<0)在(0，1)上有极值点，则m的取值范围为________．
15．函数y＝x3－6x＋5的图像在点(1，0)处切线的方程是________，该函数的单调递减区间是________．(本题第一空2分，第二空3分)
16．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1
t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－a)．
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1(a>0)．
(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．
20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r
m，高为h
m，体积为V
m3．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－aln
x＋(1－a)x．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)>恒成立，求正实数a的取值范围．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0．
(1)求a，b的值；
(2)求证：当x>0，且x≠1时，f(x)>．