【精品解析】高中数学人教A版（2019）选择性必修一3.1 椭圆同步练习

高中数学人教A版（2019）选择性必修一3.1 椭圆同步练习
一、单选题
1．（2021高二下·湖南期末）已知椭圆 的离心率为 ，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·宁波模拟）已知椭圆C： 的离心率为 ，则椭圆C的长轴长为（　　）
A． B．4 C． D．8
3．（2021·内江模拟）以椭圆 的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆 的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高二下·盐城期末）若椭圆 的焦点在 轴上，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高二下·河南月考）已知椭圆 的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（　　）
A．3 B．5 C．7 D．8
6．（2021·章丘模拟）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别 、 、 ，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为 、 、 ，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2021·自贡模拟）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8 π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021高二下·成都期中）“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕 着陆 巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为（　　）
A．0.61 B．0.67 C．0.71 D．0.77
二、多选题
9．（2020高二上·沭阳期中）若椭圆 的离心率为 ，则m的取值为（　　）
A． B．6 C．3 D．
10．（2020高二上·莆田期中）若 为椭圆的方程，则 （　　）
A．3 B．6 C．8 D．11
11．（2021·汕头模拟）2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道I(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米 远火点n千米，火星半径为r千米，若用 和 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ焦距，用 和 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是（　　）
A．
B．
C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长
D．
12．（2021·新邵模拟）已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上，点 在圆 上，且圆 上的所有点均在椭圆 外，若 的最小值为 ，且椭圆 的长轴长恰与圆 的直径长相等，则下列说法正确的是（　　）
A．椭圆 的焦距为2
B．椭圆 的短轴长为
C． 的最小值为
D．过点 的圆 的切线斜率为
三、填空题
13．（2021高二下·舟山期末）已知椭圆 ，则其长轴长为　 　，离心率为　 　.
14．（2021·岳阳模拟）椭圆 的左、右焦点分别为 ，点P在椭圆上，如果 的中点在y轴上，那么 是 的　 　倍
15．（2021·内江模拟）设椭圆 的左、右焦点分别为 ，A是椭圆上一点， ，若原点 到直线 的距离为 ，则该椭圆的离心率为　 　．
16．（2021·嘉定模拟）设椭圆 ，直线l过 的左顶点A交y轴于点P，交 于点Q，若 为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是 的中点，则 的长轴长等于　 　.
四、解答题
17．（2020高二上·辽源月考）
（1）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为( ，0).求椭圆 的方程；
（2）已知椭圆 ： 经过 ，一个焦点为 .求椭圆 的方程.
18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长是短轴长的 倍，且过点 ；
（2）椭圆过点 ，离心率 .
19．（2020高二上·莆田期中）已知椭圆两焦点 、 且经过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点 是椭圆上的一个点，且 ，求 的面积．
20．（2021·葫芦岛模拟）已知椭圆 过 ， 两点，直线 交椭圆 于 ， 两点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 过点 ，是否存在常数 ，使得 为定值，若存在，求 的值及定值；若不存在，请说明理由.
21．（2021·南京模拟）设F为椭圆 的右焦点，过点 的直线与椭圆C交于 两点.
（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线 的方程；
（2）设直线 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
22．（2021高二下·辽宁月考）已知椭圆 ）的离心率为 ，左焦点为F，过F的直线 交椭圆于A，B两点，P为椭圆上任意一点，当直线 与x轴垂直时， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线 变动时，求 面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】 ，得 ，得 ，即 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合椭圆的离心率公式变形，从而结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而求出a，b的关系式。
2．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以椭圆C的长轴长为 .
故答案为：C.
【分析】 根据离心率建立关于m的方程，再解出m进而可得椭圆C的长轴长2a.
3．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则 ，
椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即 ，
则 ， ， .
则椭圆的标准方程为： .
故答案为：C.
【分析】 由椭圆短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形可得 ，再由椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6，得，又a2= b2+c2，解得a， b， c，进而可得答案.
4．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆 的焦点在 轴上，
所以 .
故答案为：C
【分析】 根据焦点在x轴上的椭圆的标准方程的性质列不等式即可解得m的范围。
5．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知 ，∴ ，∴
故答案为：D.
【分析】由椭圆的性质，结合椭圆里a、b、c的关系计算出m的值即可。
6．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】因为椭圆的离心率 ，
所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.
因为 ， ， ，则 ，所以 .
故答案为：A.
【分析】根据题意首先由椭圆的简单性质以及离心率公式，结合题意即可分析出椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大，由此得出答案。
7．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】∵焦点F1，F2在y轴上，
∴可设椭圆标准方程为 ，
由题意可得 ，
∴ ，即 ，
∵△F2AB的周长为32，
∴4a＝32，则a＝8，∴ ，
故椭圆方程为 ．
故答案为：B．
【分析】由题意可得 ，结合已知化简得 ， 再由△F2AB的周长为32可求出长半轴长a，进而得b，即可求得。
8．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的方程为(a>b>0),
由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c，最大值为a+c,
根据题意可得近火点满足a-c= 3400+ 265= 3665，a+c= 3400+ 11945= 15345，解得a=9505，c= 5840，
所以椭圆的离心率为
故答案为: A
【分析】根据椭圆的几何性质列出关于a,c的方程，然后解方程并求离心率即可.
9．【答案】A,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】当 时，焦点在x轴上，此时离心率为 ，
解得 ，满足
当 时，焦点在y轴上，此时离心率为 ，
解得 ，满足
综上m的值为 或3，
故答案为：AC．
【分析】利用分类讨论的方法确定焦点的位置，再利用焦点的位置结合离心率公式，从而求出满足要求的m的值。
10．【答案】A,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为 为椭圆的方程，所以 解得 或
故答案为：AC
【分析】依题意得到 ，解得即可.
11．【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，由图可知，a1+c1>a2+c2，故A错误；
对于B，由图可知，a1-c1=a2-c2，故B正确；
对于C，由题意得a2+c2=n+r，a2-c2=m+r，
∴
∴
则椭圆轨道Ⅱ的短轴长为，故C正确；
对于D，∵a1-c1=a2-c2=|PF|>0，c1>c2>0，
∴
∴
∴a2c1>a1c2
故D错误.
故答案为：BC
【分析】根据椭圆的几何性质直接求解即可.
12．【答案】A,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】圆 的圆心为 ，半径长为2，
由于椭圆 的长轴长恰与圆 的直径长相等，则 ，可得 ，
设椭圆的左焦点为点 ，由椭圆的定义可得 ， ，
所以， ，
当且仅当 、 、 、 四点共线，且当 、 分别为线段 与椭圆 、圆 的交点时，等号成立，
则 ， ，解得 ，
所以，椭圆 的焦距为 ，A选项正确；
椭圆 的短轴长为 ，B选项错误；
，
当且仅当 、 、 、 四点共线，且当 、 分别为线段 与椭圆 、圆 的交点时，等号成立，C选项错误；
若所求切线的斜率不存在，则直线方程为 ，圆心 到该直线的距离为 ，则直线 与圆 相离，不合乎题意；
若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为 ，即 ，
由题意可得 ，整理得 ，解得 .
D选项正确.
故答案为：AD.
【分析】 由题知，a=2，设椭圆的左焦点为F1(-c，0)，由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF|=2a，进而推出 从而求得|EF1|的值，再结合两点间的距离公式解出c的值即可判断选项A；由 ，求出b的值后即可判断选项B；由，利用两点间距离公式算出|EF|的长，即可判断选项C；设切线的方程为 ，结合点到直线的距离公式即可判断选项D.
13．【答案】4；
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意 ，所以 ，长轴长为 ，离心率为 。
故答案为：4； 。
【分析】利用已知条件结合椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而结合长轴长的定义，从而求出椭圆的长轴长，再利用椭圆的离心率公式，进而求出椭圆的离心率。
14．【答案】5
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由题得 ，
由题得 轴，当 时， ，所以 ,
所以 ,
所以 是 的5倍.
故答案为：5
【分析】 根据题意可得轴，再利用通径的长度的一半，可求得，利用椭圆的定义可求得 ，由此即可得答案.
15．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为 ，不妨设点 ，其中 ，
代入椭圆方程 ，可得 ，解得 ，
所以 ，即 ，
过 作 ，因为原点 到直线 的距离为 ，即 ，
由 ，可得 ，即 ，
又由 ，整理得 ，即 ，
因为 ，解得 ，即椭圆的离心率为 .
故答案为： .
【分析】 由题设，及F1(-c，0)，F2(c，0)，设点 ，其中 ，则，由此利用点到直线的距离公式结合已知条件得离心率.
16．【答案】
【知识点】相等向量与相反向量；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ，由题意可得： ， ，
因为Q是 的中点，所以 ，
∴ ，∴ ， ，
代入椭圆方程可得： ，解得 ，∴椭圆 的长轴长等于 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件可得： ， ，再利用点Q是 的中点，所以 ，再利用向量的坐标表示结合向量相等的判断方法，从而得出点Q的坐标，再利用点Q在椭圆上结合代入法，从而求出a的值，再结合椭圆的长轴长的定义，从而求出椭圆的长轴长。
17．【答案】（1）解：由右焦点为( ，0)，则 ，又 ，所以 ， ，那么 .
（2）解：由题意得 解得 ，所以椭圆 的方程是 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）已知焦点、离心率求椭圆方程；（2）已知焦点、椭圆上的点求椭圆方程.
18．【答案】（1）解：设椭圆的标准方程为 或 ．由已知 且
椭圆过点 ，
∴ 或 ，
∴ 或
故所求椭圆的方程为 或
（2）解：当椭圆的焦点在 轴上时，
由题意知 ， ，∴ .
∴
∴椭圆的标准方程为 .
当椭圆的焦点在 轴上时，由题意知 ，
∴ ＝ ，∴ .
∴椭圆的标准方程为 .
综上，所求椭圆的标准方程为 或
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】求椭圆的标准方程可直接根据题意设参数；
（1）联立长短轴的等量关系及椭圆上的点得到标准方程；
（2）联立椭圆上的点与离心率的计算得到标准方程。
19．【答案】（1）解：由题意，设椭圆方程为 ，椭圆的半焦距为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（2）解：由余弦定理 ，
得 ，
∵点 是椭圆上的一个点，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，设椭圆方程为 ，解方程组 即可；（2）由余弦定理及椭圆的定义求得 ，再根据三角形的面积公式即可求出答案．
20．【答案】（1）解：由已知得 且 ，解得 ，
∴ 椭圆方程为
（2）解：①当直线 的斜率存在时，设直线 为 代入 得：
， ， ，
若 为定值，故 ，解得 ，定值为
②当直线 斜率不存在时， ，
所以 ， ， ， ， ， ，当 时，
综上所述，存在常数 ，使得 为定值
【知识点】平面向量的坐标运算；直线的点斜式方程；椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）根据椭圆标准方程即可求得。
（2） ①当直线 的斜率存在时，设直线 为 代入 ，由根与系数关系结合已知得 =，再由 为定值得 定值为 。 ②当直线 斜率不存在时 ，根据向量坐标运算求出=，代入，也得，综上 即可得出结论。
21．【答案】（1）解：若B为椭圆的上顶点，则 .
又 过点 ，故直线
由 可得 ，解得 即点 ，
又 ，故直线
（2）解：设 ，
方法一：
设直线 ，代入椭圆方程可得： .
所以 .
故
.
又 均不为0，故 ，即 为定值
方法二：
设直线 ，代入椭圆方程可得： .
所以 .
所以 ，即 ，
所以 ，
即 为定值 .
方法三：
设直线 ，代入椭圆方程可得： .
所以 ，
所以 .
所以 ，
把 代入得 .
方法四：
设直线 ，代入椭圆的方程可得 ，
则 .
所以 .
因为 ，
代入得
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】 （1）首先求出直线AB的方程，然后代入椭圆方程消去x，从而可求出点A的坐标，从而可求出直线AF的方程；
（2）根据题意设出直线AB的方程，代入椭圆方程消去x，利用韦达定理表示出y1+y2，y1y2，表示出k1+k2，从而可得结论．
22．【答案】（1）由 ， ， ，解得 ， ， ，
故所求椭圆的方程为 ．
（2）由题意知 ，
①当l的斜率为0时， ，P为上顶点时 的面积最大，最大值为 ．
②当l的斜率不为0时，设直线l的方程为 ， ， ，
由 ，去x得 ，故 ， ，
则| ．
设与l平行的直线 与椭圆相切，
则 消去 得 ，
由 得 ，故 ，
所以 与 的最大距离 ，
则 ，
令 ，则 ，
且 ，
令 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故 在 上单调递减，所以 的最大值是 ，
所以 ，因为 ．
所以 面积的最大值为 ．
【知识点】平面内两条平行直线间的距离；椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合椭圆的性质可求解椭圆的方程；
（2） ①当l的斜率为0时，P为上顶点时 的面积最大；②当l的斜率不为0时，设直线l的方程为 ， ， ，将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系结合弦长公式可得 ； 设与l平行的直线 与椭圆相切， 将其方程与椭圆方程联立化简计算可得 ， 与 的最大距离 ，令， ，令 ，利用导数判断其单调性进而求解 的最大值 ， 进而求解 面积的最大值为。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修一3.1 椭圆同步练习
一、单选题
1．（2021高二下·湖南期末）已知椭圆 的离心率为 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】 ，得 ，得 ，即 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合椭圆的离心率公式变形，从而结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而求出a，b的关系式。
2．（2021·宁波模拟）已知椭圆C： 的离心率为 ，则椭圆C的长轴长为（　　）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以椭圆C的长轴长为 .
故答案为：C.
【分析】 根据离心率建立关于m的方程，再解出m进而可得椭圆C的长轴长2a.
3．（2021·内江模拟）以椭圆 的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆 的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则 ，
椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即 ，
则 ， ， .
则椭圆的标准方程为： .
故答案为：C.
【分析】 由椭圆短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形可得 ，再由椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6，得，又a2= b2+c2，解得a， b， c，进而可得答案.
4．（2021高二下·盐城期末）若椭圆 的焦点在 轴上，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆 的焦点在 轴上，
所以 .
故答案为：C
【分析】 根据焦点在x轴上的椭圆的标准方程的性质列不等式即可解得m的范围。
5．（2021高二下·河南月考）已知椭圆 的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（　　）
A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知 ，∴ ，∴
故答案为：D.
【分析】由椭圆的性质，结合椭圆里a、b、c的关系计算出m的值即可。
6．（2021·章丘模拟）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别 、 、 ，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为 、 、 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】因为椭圆的离心率 ，
所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.
因为 ， ， ，则 ，所以 .
故答案为：A.
【分析】根据题意首先由椭圆的简单性质以及离心率公式，结合题意即可分析出椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大，由此得出答案。
7．（2021·自贡模拟）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8 π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】∵焦点F1，F2在y轴上，
∴可设椭圆标准方程为 ，
由题意可得 ，
∴ ，即 ，
∵△F2AB的周长为32，
∴4a＝32，则a＝8，∴ ，
故椭圆方程为 ．
故答案为：B．
【分析】由题意可得 ，结合已知化简得 ， 再由△F2AB的周长为32可求出长半轴长a，进而得b，即可求得。
8．（2021高二下·成都期中）“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕 着陆 巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为（　　）
A．0.61 B．0.67 C．0.71 D．0.77
【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆的方程为(a>b>0),
由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c，最大值为a+c,
根据题意可得近火点满足a-c= 3400+ 265= 3665，a+c= 3400+ 11945= 15345，解得a=9505，c= 5840，
所以椭圆的离心率为
故答案为: A
【分析】根据椭圆的几何性质列出关于a,c的方程，然后解方程并求离心率即可.
二、多选题
9．（2020高二上·沭阳期中）若椭圆 的离心率为 ，则m的取值为（　　）
A． B．6 C．3 D．
【答案】A,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】当 时，焦点在x轴上，此时离心率为 ，
解得 ，满足
当 时，焦点在y轴上，此时离心率为 ，
解得 ，满足
综上m的值为 或3，
故答案为：AC．
【分析】利用分类讨论的方法确定焦点的位置，再利用焦点的位置结合离心率公式，从而求出满足要求的m的值。
10．（2020高二上·莆田期中）若 为椭圆的方程，则 （　　）
A．3 B．6 C．8 D．11
【答案】A,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为 为椭圆的方程，所以 解得 或
故答案为：AC
【分析】依题意得到 ，解得即可.
11．（2021·汕头模拟）2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道I(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米 远火点n千米，火星半径为r千米，若用 和 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ焦距，用 和 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是（　　）
A．
B．
C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长
D．
【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：对于A，由图可知，a1+c1>a2+c2，故A错误；
对于B，由图可知，a1-c1=a2-c2，故B正确；
对于C，由题意得a2+c2=n+r，a2-c2=m+r，
∴
∴
则椭圆轨道Ⅱ的短轴长为，故C正确；
对于D，∵a1-c1=a2-c2=|PF|>0，c1>c2>0，
∴
∴
∴a2c1>a1c2
故D错误.
故答案为：BC
【分析】根据椭圆的几何性质直接求解即可.
12．（2021·新邵模拟）已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上，点 在圆 上，且圆 上的所有点均在椭圆 外，若 的最小值为 ，且椭圆 的长轴长恰与圆 的直径长相等，则下列说法正确的是（　　）
A．椭圆 的焦距为2
B．椭圆 的短轴长为
C． 的最小值为
D．过点 的圆 的切线斜率为
【答案】A,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】圆 的圆心为 ，半径长为2，
由于椭圆 的长轴长恰与圆 的直径长相等，则 ，可得 ，
设椭圆的左焦点为点 ，由椭圆的定义可得 ， ，
所以， ，
当且仅当 、 、 、 四点共线，且当 、 分别为线段 与椭圆 、圆 的交点时，等号成立，
则 ， ，解得 ，
所以，椭圆 的焦距为 ，A选项正确；
椭圆 的短轴长为 ，B选项错误；
，
当且仅当 、 、 、 四点共线，且当 、 分别为线段 与椭圆 、圆 的交点时，等号成立，C选项错误；
若所求切线的斜率不存在，则直线方程为 ，圆心 到该直线的距离为 ，则直线 与圆 相离，不合乎题意；
若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为 ，即 ，
由题意可得 ，整理得 ，解得 .
D选项正确.
故答案为：AD.
【分析】 由题知，a=2，设椭圆的左焦点为F1(-c，0)，由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF|=2a，进而推出 从而求得|EF1|的值，再结合两点间的距离公式解出c的值即可判断选项A；由 ，求出b的值后即可判断选项B；由，利用两点间距离公式算出|EF|的长，即可判断选项C；设切线的方程为 ，结合点到直线的距离公式即可判断选项D.
三、填空题
13．（2021高二下·舟山期末）已知椭圆 ，则其长轴长为　 　，离心率为　 　.
【答案】4；
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意 ，所以 ，长轴长为 ，离心率为 。
故答案为：4； 。
【分析】利用已知条件结合椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而结合长轴长的定义，从而求出椭圆的长轴长，再利用椭圆的离心率公式，进而求出椭圆的离心率。
14．（2021·岳阳模拟）椭圆 的左、右焦点分别为 ，点P在椭圆上，如果 的中点在y轴上，那么 是 的　 　倍
【答案】5
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由题得 ，
由题得 轴，当 时， ，所以 ,
所以 ,
所以 是 的5倍.
故答案为：5
【分析】 根据题意可得轴，再利用通径的长度的一半，可求得，利用椭圆的定义可求得 ，由此即可得答案.
15．（2021·内江模拟）设椭圆 的左、右焦点分别为 ，A是椭圆上一点， ，若原点 到直线 的距离为 ，则该椭圆的离心率为　 　．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为 ，不妨设点 ，其中 ，
代入椭圆方程 ，可得 ，解得 ，
所以 ，即 ，
过 作 ，因为原点 到直线 的距离为 ，即 ，
由 ，可得 ，即 ，
又由 ，整理得 ，即 ，
因为 ，解得 ，即椭圆的离心率为 .
故答案为： .
【分析】 由题设，及F1(-c，0)，F2(c，0)，设点 ，其中 ，则，由此利用点到直线的距离公式结合已知条件得离心率.
16．（2021·嘉定模拟）设椭圆 ，直线l过 的左顶点A交y轴于点P，交 于点Q，若 为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是 的中点，则 的长轴长等于　 　.
【答案】
【知识点】相等向量与相反向量；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ，由题意可得： ， ，
因为Q是 的中点，所以 ，
∴ ，∴ ， ，
代入椭圆方程可得： ，解得 ，∴椭圆 的长轴长等于 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件可得： ， ，再利用点Q是 的中点，所以 ，再利用向量的坐标表示结合向量相等的判断方法，从而得出点Q的坐标，再利用点Q在椭圆上结合代入法，从而求出a的值，再结合椭圆的长轴长的定义，从而求出椭圆的长轴长。
四、解答题
17．（2020高二上·辽源月考）
（1）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为( ，0).求椭圆 的方程；
（2）已知椭圆 ： 经过 ，一个焦点为 .求椭圆 的方程.
【答案】（1）解：由右焦点为( ，0)，则 ，又 ，所以 ， ，那么 .
（2）解：由题意得 解得 ，所以椭圆 的方程是 .
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）已知焦点、离心率求椭圆方程；（2）已知焦点、椭圆上的点求椭圆方程.
18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长是短轴长的 倍，且过点 ；
（2）椭圆过点 ，离心率 .
【答案】（1）解：设椭圆的标准方程为 或 ．由已知 且
椭圆过点 ，
∴ 或 ，
∴ 或
故所求椭圆的方程为 或
（2）解：当椭圆的焦点在 轴上时，
由题意知 ， ，∴ .
∴
∴椭圆的标准方程为 .
当椭圆的焦点在 轴上时，由题意知 ，
∴ ＝ ，∴ .
∴椭圆的标准方程为 .
综上，所求椭圆的标准方程为 或
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】求椭圆的标准方程可直接根据题意设参数；
（1）联立长短轴的等量关系及椭圆上的点得到标准方程；
（2）联立椭圆上的点与离心率的计算得到标准方程。
19．（2020高二上·莆田期中）已知椭圆两焦点 、 且经过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点 是椭圆上的一个点，且 ，求 的面积．
【答案】（1）解：由题意，设椭圆方程为 ，椭圆的半焦距为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（2）解：由余弦定理 ，
得 ，
∵点 是椭圆上的一个点，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，设椭圆方程为 ，解方程组 即可；（2）由余弦定理及椭圆的定义求得 ，再根据三角形的面积公式即可求出答案．
20．（2021·葫芦岛模拟）已知椭圆 过 ， 两点，直线 交椭圆 于 ， 两点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 过点 ，是否存在常数 ，使得 为定值，若存在，求 的值及定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由已知得 且 ，解得 ，
∴ 椭圆方程为
（2）解：①当直线 的斜率存在时，设直线 为 代入 得：
， ， ，
若 为定值，故 ，解得 ，定值为
②当直线 斜率不存在时， ，
所以 ， ， ， ， ， ，当 时，
综上所述，存在常数 ，使得 为定值
【知识点】平面向量的坐标运算；直线的点斜式方程；椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）根据椭圆标准方程即可求得。
（2） ①当直线 的斜率存在时，设直线 为 代入 ，由根与系数关系结合已知得 =，再由 为定值得 定值为 。 ②当直线 斜率不存在时 ，根据向量坐标运算求出=，代入，也得，综上 即可得出结论。
21．（2021·南京模拟）设F为椭圆 的右焦点，过点 的直线与椭圆C交于 两点.
（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线 的方程；
（2）设直线 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
【答案】（1）解：若B为椭圆的上顶点，则 .
又 过点 ，故直线
由 可得 ，解得 即点 ，
又 ，故直线
（2）解：设 ，
方法一：
设直线 ，代入椭圆方程可得： .
所以 .
故
.
又 均不为0，故 ，即 为定值
方法二：
设直线 ，代入椭圆方程可得： .
所以 .
所以 ，即 ，
所以 ，
即 为定值 .
方法三：
设直线 ，代入椭圆方程可得： .
所以 ，
所以 .
所以 ，
把 代入得 .
方法四：
设直线 ，代入椭圆的方程可得 ，
则 .
所以 .
因为 ，
代入得
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】 （1）首先求出直线AB的方程，然后代入椭圆方程消去x，从而可求出点A的坐标，从而可求出直线AF的方程；
（2）根据题意设出直线AB的方程，代入椭圆方程消去x，利用韦达定理表示出y1+y2，y1y2，表示出k1+k2，从而可得结论．
22．（2021高二下·辽宁月考）已知椭圆 ）的离心率为 ，左焦点为F，过F的直线 交椭圆于A，B两点，P为椭圆上任意一点，当直线 与x轴垂直时， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线 变动时，求 面积的最大值．
【答案】（1）由 ， ， ，解得 ， ， ，
故所求椭圆的方程为 ．
（2）由题意知 ，
①当l的斜率为0时， ，P为上顶点时 的面积最大，最大值为 ．
②当l的斜率不为0时，设直线l的方程为 ， ， ，
由 ，去x得 ，故 ， ，
则| ．
设与l平行的直线 与椭圆相切，
则 消去 得 ，
由 得 ，故 ，
所以 与 的最大距离 ，
则 ，
令 ，则 ，
且 ，
令 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故 在 上单调递减，所以 的最大值是 ，
所以 ，因为 ．
所以 面积的最大值为 ．
【知识点】平面内两条平行直线间的距离；椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合椭圆的性质可求解椭圆的方程；
（2） ①当l的斜率为0时，P为上顶点时 的面积最大；②当l的斜率不为0时，设直线l的方程为 ， ， ，将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系结合弦长公式可得 ； 设与l平行的直线 与椭圆相切， 将其方程与椭圆方程联立化简计算可得 ， 与 的最大距离 ，令， ，令 ，利用导数判断其单调性进而求解 的最大值 ， 进而求解 面积的最大值为。
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