【精品解析】高中数学人教A版（2019）选择性必修一圆锥曲线的方程单元测试

高中数学人教A版（2019）选择性必修一圆锥曲线的方程单元测试
一、单选题
1．（2021高二下·怀化期末）已知抛物线 ： ，则（　　）
A．它的焦点坐标为 B．它的焦点坐标为
C．它的准线方程是 D．它的准线方程是
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 ： ，则 ，它的焦点坐标为 ，它的准线方程是 。
故答案为：B.
【分析】将抛物线的方程转化为抛物线的标准方程，从而确定焦点和准线的位置，进而求出焦点的坐标和准线方程。
2．（2021高二下·普宁期末）已知双曲线 （a＞0，b＞0）的两条渐近线斜率分别为 ，若 ，则该双曲线的离心率为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 的两条渐近线方程分别为 ， ，
不妨取 ， ，
由 ，得 ，即 ，
所以 ．
故答案为：D．
【分析】 写出双曲线的渐近线方程，求得k1 ， k2的值，代入 ，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率.
3．（2021·孝义模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆 的上顶点，若 ．则 （　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为 ，
所以 所以
又 所以
故答案为：A.
【分析】根据题意由椭圆的性质结合三角形内的几何计算关系计算出b的值即可。
4．（2021高二下·江西月考）已知椭圆 ： 的左 右焦点分别为 ， (如图)，过 的直线交 于 ， 两点，且 轴， ，则 的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由 ， ，
将 代入椭圆方程知 ，解得： ，即
过点 作 轴，则 ，又
，得 ，
所以点 的坐标为 ，即
又点 在椭圆上， ，即
又 ， ， ，即
故答案为：D
【分析】 利用题中的条件解出PF1的长度，过Q作QH垂直x轴，交×轴于H，利用三角形相似，可以表示出点Q的坐标，将Q点坐标代入椭圆方程，即可解出.
5．（2021高三上·深州开学考）已知F是抛物线 的焦点，M，N是该抛物线上两点， ，则 的中点到准线的距离为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】过点M，N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ，由 ，得 ，所以 的中点到准线的距离为 ，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A， B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离.
6．（2021高二下·洛阳期末）已知是 ， 双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点， 是右支上一点，且 是 的直角三角形，则双曲线 的离心率为（　　）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】当 时， ， ，所以 ，
当 时， ， ， ， ，所以 ．
故答案为：B．
【分析】首先由双曲线的定义结合已知条件即可求出a与c之间的关系，分情况讨论当 以及当时，再由离心率公式计算出结果即可。
7．（2021高三上·信阳开学考）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，焦距 ，过点 的直线与椭圆交于P、Q两点，若 ，且 ，则椭圆C的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】如图， ，则 ，
延长 交椭圆C于点M，得 ，
设 ，则 ，据椭圆的定义有 ，在 中， 得 ，
又在 中， 得
故 ，则椭圆C的方程为 .
故答案为：A
【分析】设 ，则 ，据椭圆的定义有 ，根据勾股定理可得，在 中， 得 ，解出 ，即可得出椭圆C的方程。
8．（2021高二下·资阳期末）抛物线 ： 的焦点为F，E的准线l与x轴交于点A，M为E上的动点.则 的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的应用
【解析】【解答】因为抛物线 ： 的焦点为 ，所以 的坐标为： ，因为 的准线 与 轴交于点 ，所以准线 的方程为： ， 的坐标为： ，因为 为 上的动点，所以设 的坐标为 ，且 ，显然 ，
所以有 ，
当 时， ，
当 时， （当且仅当 时取等号，即 时取等号），因此 ，所以 ，
所以 的最小值为 。
故答案为：C
【分析】利用抛物线 的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标，从而求出准线 的方程，再利用抛物线 的准线 与 轴交于点 ，从而求出点 的坐标，再利用 为 上的动点，所以设 的坐标为 且 ，显然 ，再利用两点距离公式结合分类讨论的方法和均值不等式求最值的方法，从而求出 的最小值。
二、多选题
9．（2021高二下·辽宁月考）已知抛物线 的焦点为F，顶点为O，过点F的直线 与抛物线交于A，B两点，A在第一象限，若 ，则下列结论正确的是（　　）
A．直线 的斜率为 B．线段AB的长度为
C． D．以AF为直径的圆与y轴相切
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】如图，过点A，B分别作抛物线的准线 的垂线，垂足为 ， ．过点B作 的垂线，垂足为E，设 ，则 ，
由抛物线定义得 ， ，
在 中， ，所以 ，所以直线l的斜率为 ，A项正确；
则直线l的方程为 ，联立 解得 即 ， ，所以 ，B项正确； ，C项错误；线段AF的中点坐标为 ，它到y轴的距离为2，因为 ，所以 ，所以以AF为直径的圆与y轴相切，D项正确．
故答案为：ABD．
【分析】选项A，过点A，B分别作抛物线的准线 的垂线，垂足为 ， ．过点B作 的垂线，垂足为E，设 ，则 ，由抛物线定义得 ， ，计算可知A正确；
B项，将直线方程与抛物线方程联立，可计算出A、B的坐标，利用两点间距离公式可知AB距离；
C项，计算，故C项错误；
D项，计算以AF为直径的圆的圆心到y轴的距离与半径的关系，可知D项正确。
10．（2020高二上·泰州期末）已知双曲线 ，则下列说法正确的是（　　）
A．渐近线方程为 B．焦点坐标为
C．顶点坐标为 D．实轴长为
【答案】B,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】对于双曲线 ， ， ， .
所以，双曲线 的渐近线方程为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，实轴长为 .
因此，AD选项错误，BC选项正确.
故答案为：BC.
【分析】首先由双曲线的方程结合双曲线的性质即可求出a、b、c的值，由此即可求出双曲线的渐近线的方程、焦点坐标、顶点坐标以及实轴长，对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2021·福建模拟）已知直线 与双曲线 无公共点，则双曲线离心率可能为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的一条渐近线为 ，因为直线 与双曲线无公共点，故有 .
即 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：BC.
【分析】根据题意由双曲线的性质结合已知条件即可得出a与b的关系再由双曲线里的 a、b 、c 三者的关系由整体思想，即可求出离心率的取值范围。
12．（2021·深圳模拟）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(-5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)且斜率之差等于n，则正确的是（　　）
A．当m>0时，点C的轨迹是双曲线.
B．当m=-1时，点C在圆x2+y2=25上运动
C．当m<-1时，点C所在的椭圆的离心率随着m的增大而增大
D．无论n如何变化，点C的运动轨迹是轴对称图形
【答案】A,B,D
【知识点】圆的标准方程；椭圆的定义；椭圆的标准方程；双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：设C(x，y)，则由题意得，即为点C的轨迹方 程
对于A，当m>0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，故A正确；
对于B，当m=-1时，点C的轨迹为圆心为(0，0)，半径为5的圆，即点C在圆x2+y2=25上运动，故B正确；
对于C，当m<-1时，点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中a2=-25m，b2=25，c2=-25m-25
则离心率为随着m的增大而减小，故C错误；
对于D，当-1故答案为：ABD
【分析】根据双曲线定义可判断A，根据圆的定义可判断B，根据椭圆的定义可判断C，根据圆锥曲线的对称性可判断D
三、填空题
13．（2021·江西模拟）若双曲线C经过点(2，2)，且与双曲线 具有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，设双曲线C的标准方程为 ，又因为双曲线过点(2，2)，所以 。
【分析】用代入法求出的值，从而求出双曲线的标准方程。
14．（2021高二下·昆明期末）已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，点 在 上，且 ，若 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的定义
【解析】【解答】设 ，由题知 ， ，
因为 ，所以
因为点 在 上，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，解得 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点F的坐标，再利用点A在抛物线上结合代入法得出点A的横纵坐标的关系式，再结合两点距离公式结合已知条件，从而求出点A的横纵坐标的另一个关系式，再解方程组求出点A的坐标，从而求出p的值。
15．（2020高二上·郑州月考）已知 ， 是椭圆 ： 的长轴的两个端点，若 上存在点 满足 ，则 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；椭圆的应用
【解析】【解答】当 轴为长轴，即 时， ， ，当点 为 轴与椭圆的交点 时， 最大.
要使椭圆 上存在点 满足 ，则 ，即 ，所以 ，故 .
当 轴为长轴时，即 时， ， ，当点 为 轴与椭圆的交点 时， 最大.
要使椭圆 上存在点 满足 ，则 ，即 ，所以 ，故 ，
综上所述， 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】利用椭圆的焦点的位置分类讨论，从而求出椭圆长轴上的两个端点A，B的坐标，当点 为 轴或x轴与椭圆的交点 时， 最大，要使椭圆 上存在点 满足 ，则 ，即 ，所以利用正切函数定义结合两角和的正切公式，从而求出实数m的取值范围。
16．（2021高二下·浙江期末）已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点， ，则线段 长为　 　．
【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，不妨设 ，直线方程为 ，
由 ，得 ，由韦达定理得 ，
因为 ，所以 ，
解得 ， ，
所以 ，
故答案为：
【分析】根据题意联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程结合韦达定理，求出由已知条件即可得出，，然后由两点间的距离公式代入数值计算出结果即可。
四、解答题
17．（2020高二上·常德期末）求下列各曲线的标准方程
（1）实轴长为12，离心率为 ，焦点在x轴上的椭圆方程；
（2）抛物线的焦点是双曲线 的左顶点.求抛物线方程.
【答案】（1）解：由题可设椭圆方程为
则 ，所以 ，故
所以椭圆方程为
（2）解：依题可设：抛物线方程为
由双曲线方程 ，即
所以左顶点为 ，故
所以抛物线方程为
【知识点】椭圆的标准方程；抛物线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用实轴长结合已知条件求出a的值，再利用椭圆离心率公式求出c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2）将双曲线的方程转化为标准方程，进而确定焦点的位置，从而求出双曲线的左顶点的坐标，再利用抛物线的焦点是双曲线 的左顶点，进而求出抛物线的焦点坐标，从而求出抛物线的标准方程。
18．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.2抛物的简单几何性质）已知双曲线 ，抛物线 的焦点与双曲线的一个焦点相同，点 为抛物线上一点.
（1）求双曲线的焦点坐标；
（2）若点 到抛物线的焦点的距离是5，求 的值.
【答案】（1）解：因为双曲线的方程为 ，
所以 .
所以 .所以 .
所以双曲线的焦点坐标分别为
（2）解：因为抛物线 的焦点与双曲线的一个焦点相同，
所以抛物线 的焦点坐标是(2，0)，
所以 .
因为点 为抛物线上一点，
所以点 到抛物线的焦点的距离等于点 到抛物线的准线 的距离.
因为点 到拋物线的焦点的距离是5，
即 ，
所以
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【分析】(1)首先由双曲线的方程求出a与b的值再由双曲线里a、b、c的关系计算出c的值由此得出焦点的坐标。
(2)由已知条件抛物线 的焦点与双曲线的一个焦点相同 ，求出抛物线的交点坐标由此计算出p的值由此得到抛物线的方程，再由抛物线的定义把点p的坐标代入计算出的值即可。
19．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程）已知抛物线 的焦点是 ，点 是抛物线上的动点，点 ．
（1）求 的最小值，并求出取最小值时点 的坐标；
（2）求点 到点 的距离与到直线 的距离之和的最小值．
【答案】（1）解：将 代入 ，得 ．
，∴点 在抛物线的内部．
过点 作 垂直拋物线的准线 ，垂足为 ，
结合抛物线的定义，知 ，
当 三点共线时， 的值最小，为 ，
即 的最小值为 ；此时点 的纵坐标为2，代入 ，得 ，
∴点 的坐标为
（2）解：易知点 在抛物线的外部．设点 到准线 的距离为 ．
结合抛物线的定义，得 ，
当且仅当 三点共线（ 在线段 上）时取等号．
又 ，
∴所求距离之和的最小值为2
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】(1) 根据题意作PM⊥准线l，M为垂足，由抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，故当P，A，M三点共线时，|PA|+|PM|最小为|AM|，此时，P点的纵坐标为2，代入抛物线的方程可求得P点的横坐标为1，从而得到P点的坐标．
(2)首先判断出点在抛物线的外部结合抛物线的定义整理即可得出，当三点共线时取得最小值结合两点间的距离计算出结果即可。
20．（2021·长沙模拟）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，该点到原点的距离与到 的准线的距离相等．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过焦点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且与以焦点 为圆心2为半径的圆交于 ， 两点，点 ， 在 轴右侧．
①证明：当直线 与 轴不平行时，
②过点 ， 分别作抛物线 的切线 ， ， 与 相交于点 ，求 与 的面积之积的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为
（2）解：由（1）知，圆 方程为： ，
由已知可设 ，且 ， ，
由 得 ，
设 是抛物线 上任一点，则 ，
故抛物线与圆相离．
①证明：当直线 与 轴不平行时，有 ，
由抛物线定义知， ， ．
所以
，
所以
②由（1）知抛物线方程为 ．所以 ．
所以过点 的切线 ，即 ．
同理可得，过点 的切线 为 ．
由 ， 方程联立，得 ，
解之，得 ，
又得 ，所以 ．
到 的距离 ，
，
从而
【知识点】直线的点斜式方程；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；抛物线的定义
【解析】【分析】（1）由题意联立方程组可求出p进而得到抛物线方程。（2）联立方程组求出点A，B所在方程，设 是抛物线 上任一点，求 可判断抛物线与圆相离，①由抛物线定义可推出 。② 根据导数求出过点A切线斜率进而求过点A出切线方程，同理求出过点B切线方程，联立方程组解出D点坐标，再根据点到直线距离公式求出高d，进而求出 与 DBN 的面积之积大于等于16.
21．（2021·陕西模拟）已知椭圆 过点 ，且离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程.
（2）设椭圆 的左 右顶点分别为 ，点 在椭圆 外且位于第一象限，直线 和 分别交椭圆 于另外两点 和 在 轴的异侧 若 ，求点 的横坐标的取值范围.
【答案】（1）由离心率 知， ，
把点 代入椭圆方程得 ，
解得 ，
则椭圆标准方程为：
（2）由（1）知， ， ，设 ，
易知使得M，N在x轴的异侧，需满足 ，
若 ，则 ，故 ，
设 ，由A，M，P共线知， ，
从而有 ，
又M点在椭圆上，满足 ，从而有
故
由 知，
故P点的横坐标取值范围为
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的简单性质
【解析】【分析】 (1)根据椭圆的离心率，可设出方程，再代入点 ，即可求解；
(2)设点 ，由于M， N在x轴的异侧，可得 ，将条件∠MBN>90°，转化为∠MBP< 90°，即 ，再结合A，M， P三点共线和点M在椭圆上的条件，即可求解.
22．（2021·浙江模拟）如图，已知椭圆 与抛物线 共焦点 ，且椭圆的离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若点 在射线 上运动，点 ， 为椭圆 上的两个动点，满足 ，且 为 的中点，连接 交抛物线 于 、 两点，连接 交椭圆 与 、 两点，求四边形 面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ）由 可知 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆方程为 .
（Ⅱ）设 ，因为 ，∴ ，
设 、 ， ，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
将直线 代入椭圆 ，得 ，
设 、 ，则 ， ，
则 ，
因为 ，所以直线 ，
将直线 与抛物线 联立，得 ，
设 、 ，
则 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以四边形 面积 ，
令 ，则 ，
，
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，则 ，
又 ，当 趋近于正无穷时， 趋近于 ，
则 ，所以 ，
所以四边形 面积的取值范围为 .
【知识点】基本不等式；椭圆的简单性质
【解析】【分析】 （Ⅰ）由 可知 ，所以 ，以 ，得 ，再根据椭圆的离心率求得b，即可得出椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 ，因为 得 ， 设 、 ， ， 得 ，可得 ， ， 设 、 ，则 ， ，当直线与抛物线联立，再根据基本不等式即可得出四边形 面积的取值范围。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修一圆锥曲线的方程单元测试
一、单选题
1．（2021高二下·怀化期末）已知抛物线 ： ，则（　　）
A．它的焦点坐标为 B．它的焦点坐标为
C．它的准线方程是 D．它的准线方程是
2．（2021高二下·普宁期末）已知双曲线 （a＞0，b＞0）的两条渐近线斜率分别为 ，若 ，则该双曲线的离心率为（　　）
A．5 B． C． D．
3．（2021·孝义模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆 的上顶点，若 ．则 （　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
4．（2021高二下·江西月考）已知椭圆 ： 的左 右焦点分别为 ， (如图)，过 的直线交 于 ， 两点，且 轴， ，则 的离心率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高三上·深州开学考）已知F是抛物线 的焦点，M，N是该抛物线上两点， ，则 的中点到准线的距离为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
6．（2021高二下·洛阳期末）已知是 ， 双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点， 是右支上一点，且 是 的直角三角形，则双曲线 的离心率为（　　）
A． B． 或 C． D． 或
7．（2021高三上·信阳开学考）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，焦距 ，过点 的直线与椭圆交于P、Q两点，若 ，且 ，则椭圆C的方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021高二下·资阳期末）抛物线 ： 的焦点为F，E的准线l与x轴交于点A，M为E上的动点.则 的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二下·辽宁月考）已知抛物线 的焦点为F，顶点为O，过点F的直线 与抛物线交于A，B两点，A在第一象限，若 ，则下列结论正确的是（　　）
A．直线 的斜率为 B．线段AB的长度为
C． D．以AF为直径的圆与y轴相切
10．（2020高二上·泰州期末）已知双曲线 ，则下列说法正确的是（　　）
A．渐近线方程为 B．焦点坐标为
C．顶点坐标为 D．实轴长为
11．（2021·福建模拟）已知直线 与双曲线 无公共点，则双曲线离心率可能为（　　）
A．1 B． C． D．
12．（2021·深圳模拟）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(-5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)且斜率之差等于n，则正确的是（　　）
A．当m>0时，点C的轨迹是双曲线.
B．当m=-1时，点C在圆x2+y2=25上运动
C．当m<-1时，点C所在的椭圆的离心率随着m的增大而增大
D．无论n如何变化，点C的运动轨迹是轴对称图形
三、填空题
13．（2021·江西模拟）若双曲线C经过点(2，2)，且与双曲线 具有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为　 　．
14．（2021高二下·昆明期末）已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，点 在 上，且 ，若 ，则 　 　.
15．（2020高二上·郑州月考）已知 ， 是椭圆 ： 的长轴的两个端点，若 上存在点 满足 ，则 的取值范围是　 　.
16．（2021高二下·浙江期末）已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点， ，则线段 长为　 　．
四、解答题
17．（2020高二上·常德期末）求下列各曲线的标准方程
（1）实轴长为12，离心率为 ，焦点在x轴上的椭圆方程；
（2）抛物线的焦点是双曲线 的左顶点.求抛物线方程.
18．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.2抛物的简单几何性质）已知双曲线 ，抛物线 的焦点与双曲线的一个焦点相同，点 为抛物线上一点.
（1）求双曲线的焦点坐标；
（2）若点 到抛物线的焦点的距离是5，求 的值.
19．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.1抛物线及其标准方程）已知抛物线 的焦点是 ，点 是抛物线上的动点，点 ．
（1）求 的最小值，并求出取最小值时点 的坐标；
（2）求点 到点 的距离与到直线 的距离之和的最小值．
20．（2021·长沙模拟）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，该点到原点的距离与到 的准线的距离相等．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过焦点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且与以焦点 为圆心2为半径的圆交于 ， 两点，点 ， 在 轴右侧．
①证明：当直线 与 轴不平行时，
②过点 ， 分别作抛物线 的切线 ， ， 与 相交于点 ，求 与 的面积之积的取值范围．
21．（2021·陕西模拟）已知椭圆 过点 ，且离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程.
（2）设椭圆 的左 右顶点分别为 ，点 在椭圆 外且位于第一象限，直线 和 分别交椭圆 于另外两点 和 在 轴的异侧 若 ，求点 的横坐标的取值范围.
22．（2021·浙江模拟）如图，已知椭圆 与抛物线 共焦点 ，且椭圆的离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若点 在射线 上运动，点 ， 为椭圆 上的两个动点，满足 ，且 为 的中点，连接 交抛物线 于 、 两点，连接 交椭圆 与 、 两点，求四边形 面积的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 ： ，则 ，它的焦点坐标为 ，它的准线方程是 。
故答案为：B.
【分析】将抛物线的方程转化为抛物线的标准方程，从而确定焦点和准线的位置，进而求出焦点的坐标和准线方程。
2．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线 的两条渐近线方程分别为 ， ，
不妨取 ， ，
由 ，得 ，即 ，
所以 ．
故答案为：D．
【分析】 写出双曲线的渐近线方程，求得k1 ， k2的值，代入 ，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率.
3．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为 ，
所以 所以
又 所以
故答案为：A.
【分析】根据题意由椭圆的性质结合三角形内的几何计算关系计算出b的值即可。
4．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由 ， ，
将 代入椭圆方程知 ，解得： ，即
过点 作 轴，则 ，又
，得 ，
所以点 的坐标为 ，即
又点 在椭圆上， ，即
又 ， ， ，即
故答案为：D
【分析】 利用题中的条件解出PF1的长度，过Q作QH垂直x轴，交×轴于H，利用三角形相似，可以表示出点Q的坐标，将Q点坐标代入椭圆方程，即可解出.
5．【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】过点M，N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ，由 ，得 ，所以 的中点到准线的距离为 ，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A， B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离.
6．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】当 时， ， ，所以 ，
当 时， ， ， ， ，所以 ．
故答案为：B．
【分析】首先由双曲线的定义结合已知条件即可求出a与c之间的关系，分情况讨论当 以及当时，再由离心率公式计算出结果即可。
7．【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】如图， ，则 ，
延长 交椭圆C于点M，得 ，
设 ，则 ，据椭圆的定义有 ，在 中， 得 ，
又在 中， 得
故 ，则椭圆C的方程为 .
故答案为：A
【分析】设 ，则 ，据椭圆的定义有 ，根据勾股定理可得，在 中， 得 ，解出 ，即可得出椭圆C的方程。
8．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；抛物线的应用
【解析】【解答】因为抛物线 ： 的焦点为 ，所以 的坐标为： ，因为 的准线 与 轴交于点 ，所以准线 的方程为： ， 的坐标为： ，因为 为 上的动点，所以设 的坐标为 ，且 ，显然 ，
所以有 ，
当 时， ，
当 时， （当且仅当 时取等号，即 时取等号），因此 ，所以 ，
所以 的最小值为 。
故答案为：C
【分析】利用抛物线 的标准方程确定焦点的位置，进而求出焦点的坐标，从而求出准线 的方程，再利用抛物线 的准线 与 轴交于点 ，从而求出点 的坐标，再利用 为 上的动点，所以设 的坐标为 且 ，显然 ，再利用两点距离公式结合分类讨论的方法和均值不等式求最值的方法，从而求出 的最小值。
9．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】如图，过点A，B分别作抛物线的准线 的垂线，垂足为 ， ．过点B作 的垂线，垂足为E，设 ，则 ，
由抛物线定义得 ， ，
在 中， ，所以 ，所以直线l的斜率为 ，A项正确；
则直线l的方程为 ，联立 解得 即 ， ，所以 ，B项正确； ，C项错误；线段AF的中点坐标为 ，它到y轴的距离为2，因为 ，所以 ，所以以AF为直径的圆与y轴相切，D项正确．
故答案为：ABD．
【分析】选项A，过点A，B分别作抛物线的准线 的垂线，垂足为 ， ．过点B作 的垂线，垂足为E，设 ，则 ，由抛物线定义得 ， ，计算可知A正确；
B项，将直线方程与抛物线方程联立，可计算出A、B的坐标，利用两点间距离公式可知AB距离；
C项，计算，故C项错误；
D项，计算以AF为直径的圆的圆心到y轴的距离与半径的关系，可知D项正确。
10．【答案】B,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】对于双曲线 ， ， ， .
所以，双曲线 的渐近线方程为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，实轴长为 .
因此，AD选项错误，BC选项正确.
故答案为：BC.
【分析】首先由双曲线的方程结合双曲线的性质即可求出a、b、c的值，由此即可求出双曲线的渐近线的方程、焦点坐标、顶点坐标以及实轴长，对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】B,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的一条渐近线为 ，因为直线 与双曲线无公共点，故有 .
即 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：BC.
【分析】根据题意由双曲线的性质结合已知条件即可得出a与b的关系再由双曲线里的 a、b 、c 三者的关系由整体思想，即可求出离心率的取值范围。
12．【答案】A,B,D
【知识点】圆的标准方程；椭圆的定义；椭圆的标准方程；双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：设C(x，y)，则由题意得，即为点C的轨迹方 程
对于A，当m>0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，故A正确；
对于B，当m=-1时，点C的轨迹为圆心为(0，0)，半径为5的圆，即点C在圆x2+y2=25上运动，故B正确；
对于C，当m<-1时，点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中a2=-25m，b2=25，c2=-25m-25
则离心率为随着m的增大而减小，故C错误；
对于D，当-1故答案为：ABD
【分析】根据双曲线定义可判断A，根据圆的定义可判断B，根据椭圆的定义可判断C，根据圆锥曲线的对称性可判断D
13．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，设双曲线C的标准方程为 ，又因为双曲线过点(2，2)，所以 。
【分析】用代入法求出的值，从而求出双曲线的标准方程。
14．【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的定义
【解析】【解答】设 ，由题知 ， ，
因为 ，所以
因为点 在 上，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，解得 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点F的坐标，再利用点A在抛物线上结合代入法得出点A的横纵坐标的关系式，再结合两点距离公式结合已知条件，从而求出点A的横纵坐标的另一个关系式，再解方程组求出点A的坐标，从而求出p的值。
15．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；椭圆的应用
【解析】【解答】当 轴为长轴，即 时， ， ，当点 为 轴与椭圆的交点 时， 最大.
要使椭圆 上存在点 满足 ，则 ，即 ，所以 ，故 .
当 轴为长轴时，即 时， ， ，当点 为 轴与椭圆的交点 时， 最大.
要使椭圆 上存在点 满足 ，则 ，即 ，所以 ，故 ，
综上所述， 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】利用椭圆的焦点的位置分类讨论，从而求出椭圆长轴上的两个端点A，B的坐标，当点 为 轴或x轴与椭圆的交点 时， 最大，要使椭圆 上存在点 满足 ，则 ，即 ，所以利用正切函数定义结合两角和的正切公式，从而求出实数m的取值范围。
16．【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，不妨设 ，直线方程为 ，
由 ，得 ，由韦达定理得 ，
因为 ，所以 ，
解得 ， ，
所以 ，
故答案为：
【分析】根据题意联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程结合韦达定理，求出由已知条件即可得出，，然后由两点间的距离公式代入数值计算出结果即可。
17．【答案】（1）解：由题可设椭圆方程为
则 ，所以 ，故
所以椭圆方程为
（2）解：依题可设：抛物线方程为
由双曲线方程 ，即
所以左顶点为 ，故
所以抛物线方程为
【知识点】椭圆的标准方程；抛物线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用实轴长结合已知条件求出a的值，再利用椭圆离心率公式求出c的值，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2）将双曲线的方程转化为标准方程，进而确定焦点的位置，从而求出双曲线的左顶点的坐标，再利用抛物线的焦点是双曲线 的左顶点，进而求出抛物线的焦点坐标，从而求出抛物线的标准方程。
18．【答案】（1）解：因为双曲线的方程为 ，
所以 .
所以 .所以 .
所以双曲线的焦点坐标分别为
（2）解：因为抛物线 的焦点与双曲线的一个焦点相同，
所以抛物线 的焦点坐标是(2，0)，
所以 .
因为点 为抛物线上一点，
所以点 到抛物线的焦点的距离等于点 到抛物线的准线 的距离.
因为点 到拋物线的焦点的距离是5，
即 ，
所以
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【分析】(1)首先由双曲线的方程求出a与b的值再由双曲线里a、b、c的关系计算出c的值由此得出焦点的坐标。
(2)由已知条件抛物线 的焦点与双曲线的一个焦点相同 ，求出抛物线的交点坐标由此计算出p的值由此得到抛物线的方程，再由抛物线的定义把点p的坐标代入计算出的值即可。
19．【答案】（1）解：将 代入 ，得 ．
，∴点 在抛物线的内部．
过点 作 垂直拋物线的准线 ，垂足为 ，
结合抛物线的定义，知 ，
当 三点共线时， 的值最小，为 ，
即 的最小值为 ；此时点 的纵坐标为2，代入 ，得 ，
∴点 的坐标为
（2）解：易知点 在抛物线的外部．设点 到准线 的距离为 ．
结合抛物线的定义，得 ，
当且仅当 三点共线（ 在线段 上）时取等号．
又 ，
∴所求距离之和的最小值为2
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】(1) 根据题意作PM⊥准线l，M为垂足，由抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，故当P，A，M三点共线时，|PA|+|PM|最小为|AM|，此时，P点的纵坐标为2，代入抛物线的方程可求得P点的横坐标为1，从而得到P点的坐标．
(2)首先判断出点在抛物线的外部结合抛物线的定义整理即可得出，当三点共线时取得最小值结合两点间的距离计算出结果即可。
20．【答案】（1）解：由题意可得 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为
（2）解：由（1）知，圆 方程为： ，
由已知可设 ，且 ， ，
由 得 ，
设 是抛物线 上任一点，则 ，
故抛物线与圆相离．
①证明：当直线 与 轴不平行时，有 ，
由抛物线定义知， ， ．
所以
，
所以
②由（1）知抛物线方程为 ．所以 ．
所以过点 的切线 ，即 ．
同理可得，过点 的切线 为 ．
由 ， 方程联立，得 ，
解之，得 ，
又得 ，所以 ．
到 的距离 ，
，
从而
【知识点】直线的点斜式方程；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；抛物线的定义
【解析】【分析】（1）由题意联立方程组可求出p进而得到抛物线方程。（2）联立方程组求出点A，B所在方程，设 是抛物线 上任一点，求 可判断抛物线与圆相离，①由抛物线定义可推出 。② 根据导数求出过点A切线斜率进而求过点A出切线方程，同理求出过点B切线方程，联立方程组解出D点坐标，再根据点到直线距离公式求出高d，进而求出 与 DBN 的面积之积大于等于16.
21．【答案】（1）由离心率 知， ，
把点 代入椭圆方程得 ，
解得 ，
则椭圆标准方程为：
（2）由（1）知， ， ，设 ，
易知使得M，N在x轴的异侧，需满足 ，
若 ，则 ，故 ，
设 ，由A，M，P共线知， ，
从而有 ，
又M点在椭圆上，满足 ，从而有
故
由 知，
故P点的横坐标取值范围为
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的简单性质
【解析】【分析】 (1)根据椭圆的离心率，可设出方程，再代入点 ，即可求解；
(2)设点 ，由于M， N在x轴的异侧，可得 ，将条件∠MBN>90°，转化为∠MBP< 90°，即 ，再结合A，M， P三点共线和点M在椭圆上的条件，即可求解.
22．【答案】（Ⅰ）由 可知 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆方程为 .
（Ⅱ）设 ，因为 ，∴ ，
设 、 ， ，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
将直线 代入椭圆 ，得 ，
设 、 ，则 ， ，
则 ，
因为 ，所以直线 ，
将直线 与抛物线 联立，得 ，
设 、 ，
则 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以四边形 面积 ，
令 ，则 ，
，
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，则 ，
又 ，当 趋近于正无穷时， 趋近于 ，
则 ，所以 ，
所以四边形 面积的取值范围为 .
【知识点】基本不等式；椭圆的简单性质
【解析】【分析】 （Ⅰ）由 可知 ，所以 ，以 ，得 ，再根据椭圆的离心率求得b，即可得出椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 ，因为 得 ， 设 、 ， ， 得 ，可得 ， ， 设 、 ，则 ， ，当直线与抛物线联立，再根据基本不等式即可得出四边形 面积的取值范围。
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