高中数学人教A版（2019）选择性必修一3.2 双曲线同步练习

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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高中数学人教A版（2019）选择性必修一3.2 双曲线同步练习
一、单选题
1.（2021高二下·昆明期末）双曲线 的顶点焦点到C的一条渐近线的距离分别为 和 ，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
2.（2021高二下·浙江期末）双曲线 的离心率是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
3.（2021高二下·资阳期末）双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4.（2021高二下·泗县期末）若双曲线C的中心为坐标原点，其焦点在y轴上，离心率为2，则该双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.（2021高二下·开封期末）双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 是双曲线 上一点， 轴， ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.（2021·四川模拟）与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 的双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
7.（2021·安徽模拟）已知双曲线 的左右焦点为 ， ，过 的直线交双曲线于M ， N两点 在第一象限），若 与 的内切圆半径之比为3：2，则直线 的斜率为（　　）
A. B. C. D.
8.（2021高二下·诸暨期末）已知 为双曲线 的左 右焦点，过 作 的垂线分别交双曲线的左 右两支于 两点(如图).若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9.（2021高二下·遵义期末）某双曲线两条渐近线的夹角为 ，则该双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. 2 D.
10.（2021高二下·深圳期末）若 是双曲线 上一点， 的一个焦点坐标为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 渐近线方程为
C. 的最小值是 D. 焦点到渐近线的距离是
11.（2021高二下·云浮期末）已知双曲线 ，（ ）
A. B. 若W的顶点坐标为 ，则
C. W的焦点坐标为 D. 若 ，则W的渐近线方程为
12.（2021·烟台模拟）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则（ ）
A. 为 的一个焦点
B. 双曲线 的离心率为
C. 过点 作直线与 交于 两点，则满足 的直线有且只有两条
D. 设 为 上三点且 关于原点对称，则 斜率存在时其乘积为
三、填空题
13.（2021高二下·番禺期末）已知双曲线C的渐近线方程为 ，写出双曲线C的一个标准方程： .
14.（2021高三上·信阳开学考）已知双曲线 的左焦点为F，虚轴的端点为A，B，若 为等边三角形，则C的离心率为 .
15.（2021·蚌埠模拟）已知双曲线 ： 的左焦点为 ，右顶点为 ，虚轴上顶点为 ．若双曲线 的离心率是 ，则 ．
16.（2021·西安模拟）已知直线 与双曲线 的两条渐近线围成的三角形的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值为 .
四、解答题
17.（2021高二下·资阳期末）解答下列两个小题：
（1）双曲线 ： 离心率为 ，且点 在双曲线 上，求 的方程；
（2）双曲线 实轴长为2，且双曲线 与椭圆 的焦点相同，求双曲线 的标准方程．
18.已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ，点 在双曲线上．
（1）.求双曲线方程；
（2）.求证： ；
（3）.求△ 的面积．
19.（2020高二上·邢台期中）在① ，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为 ，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线 ，__________，求C的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20.（2017高二上·安平期末）已知双曲线过点P（﹣3 ，4），它的渐近线方程为y=± x．
（1）.求双曲线的标准方程；
（2）.设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1| |PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．
21.（2021·广东模拟）已知双曲线 的离心率为 ，过双曲线 的右焦点 作渐近线的垂线，垂足为 ，且 ( 为坐标原点)的面积为 .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若 ， 是双曲线 上的两点，且 ， 关于原点对称， 是双曲线上异于 ， 的点.若直线 和直线 的斜率均存在，则 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
22.（2021·湛江模拟）已知双曲线C： ＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，其中c>0， M(c，3)在C上，且C的离心率为2.
（1）求C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，∠F1MF2的角平分线l与曲线D： ＝1的交点为P，Q，试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】双曲线 的焦点 到渐近线 的距离为 ，
顶点 到渐近线 的距离为 ，
由 解得 ，
所以双曲线的方程为 。
故答案为：D
【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而求出顶点坐标和焦点的坐标以及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式，从而结合已知条件和双曲线中a,b,c三者的关系式，进而解方程组求出a,b,c的值，从而求出双曲线的标准方程。
2.【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程知： ， ，
∴ .
故答案为：C
【分析】根据题意由双曲线的简单性质求出a与c的值，从而计算出离心率的结果。
3.【答案】 B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由 可得： ， ，
所以双曲线的渐近线方程为： ，即 。
故答案为：B.
【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而求出a,b的值，再利用双曲线的渐近线方程求解方法，从而求出双曲线的渐近线方程。
4.【答案】 A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得c=2a，
则
又∵ 双曲线C的焦点在y轴上
∴ 该双曲线C的渐近线方程为
故答案为：A
【分析】根据双曲线的几何性质直接求解即可.
5.【答案】 D
【考点】直线的斜率，双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为 轴，则 ，故 ，
由勾股定理可得 ，
由双曲线的定义可得 ，
因此，该双曲线的离心率为 .
故答案为：D.
【分析】首项由直线斜率的定义即可得出 ， 然后由勾股定理以及双曲线的定义整理即可求出双曲线的离心率。
6.【答案】 B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设与双曲线 共渐近线的方程为： ；
已知，所求双曲线经过点 ，则 ；
所以，所求双曲线方程为 ，整理得 .
故答案为：B.
【分析】 依题意，设双曲线的方程为 ， 将点 的坐标代入可求 ， 即可得出求双曲线方程。
7.【答案】 B
【考点】双曲线的定义，任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 记 与 的内切圆分别为圆O1与圆O2 ， 半径分别为R1 ， R2 ，
设圆O1与△MF1F2的三边的切点分别为A，B，C，如图
令MA=MC=m，AF1=BF1=n，BF2=CF2=t，
根据双曲线的定义可得 ， 可得n=a+c，
由此可知，在△F1F2M中O1B⊥x轴于B，同理O2B⊥x轴于B，
∴O1O2⊥x轴
过圆心O2作CO1的垂线，垂足为D
易知直线l的倾斜角θ与∠O2O1D大小相等
不妨设R1=4，R2=1，则O2O1=5，O1D=1，
所以根据勾股定理， ，
所以
故答案为：B
【分析】根据双曲线定义，结合内切圆的性质以及正切函数的定义求解即可.
8.【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质，余弦定理
【解析】【解答】解：由 ，设 ，由 得， ，所以 ，
，又 得 ，
，令 ，化简得： ，得 ，所以渐近线方程为 ，
故答案为：C.
【分析】 结合已知条件通过 ， 利用余弦定理推出 ， 然后求解渐近线方程即可.
二、多选题
9.【答案】 C,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线的方程为 ，渐近线方程为： ，
根据双曲线的对称性可知： 的倾斜角为 或
当 的倾斜角为 时，可得 ，
所以 ，
当 的倾斜角为 ，可得 ，
所以 ，
所以离心率为2或 ，
故答案为：CD.
【分析】根据题意首先求出双曲线的渐近线方程，由直线的倾斜角即可求出直线的斜率即 ， 再由双曲线里a、b、c的关系以及离心率公式计算出个即可。
10.【答案】 B,C,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】对于A选项，由题意可得 ，故 ，A不符合题意；
对于B选项，对于双曲线 ， ， ，该双曲线的渐近线方程为 ，B对；
对于C选项， 的最小值为 ，C对；
对于D选项，双曲线 的右焦点 到渐近线 的距离为 ，D对.
故答案为：BCD.
【分析】 利用双曲线 的一个焦点坐标为F (4, 0)，可得m= 7，逐项进行判断可得答案。
11.【答案】 B,D
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【解答】A项：因为方程 表示双曲线，
所以 ，解得 或 ，A不符合题意；
B项：因为 的顶点坐标为 ，
所以 ，解得 ，B符合题意；
C项：当 时， ，
当 时， ，C不符合题意；
D项：当 时，双曲线 的标准方程为 ，
则渐近线方程为 ，D符合题意，
故答案为：BD.
【分析】 根据双曲线的方程，分析顶点，焦点，渐近线方程.
12.【答案】 B,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，
所以 ，解得 ，所以双曲线 ，所以 ， ， ，所以则其焦点为 、 ，离心率 ，A不符合题意，B符合题意；过点 作直线与 交于 两点，因为 为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时 ，当直线的斜率为 时， ，所以由双曲线的对称性得，满足 的直线有4条，C不符合题意；
设 ， ， ，所以 ， ，因为 在双曲线上，所以 ， ，两式相减得 ，所以 ，D符合题意；
故答案为：BD
【分析】 由渐近线方程，可得m的方程，求得m，可得a，b，c，可判断A；由双曲线的离心率公式，计算可判断B；分别讨论A，B分别在左、右两支上和都在右支上，结合弦的最小值，可判断C；由点差法和直线的斜率公式，计算可判断D．
三、填空题
13.【答案】 (答案不唯一)
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意，双曲线C的渐近线方程为 ，
不妨设双曲线焦点在 轴上，则 ，
可令 ，可得双曲线C的一个标准方程为 ，
也可令 等等。
故答案为： (答案不唯一)。
【分析】利用双曲线的渐近线求解方法得出a,b的关系式，进而求出满足要求的双曲线的一个标准方程。
14.【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为 为等边三角形，所以 ，即 ，则有 .
【分析】 利用为等边三角形，列出方程，即可求解C的离心率.
15.【答案】
【考点】双曲线的简单性质，余弦定理
【解析】【解答】作出简图，如图所示：
所以有 ，又因为 ，
所以 ，即 ，
在 中， ，即 ．
故答案为： ．
【分析】根据题意做出简图，由双曲线的简单几何性质可知， 结合 ，以及余弦定理即可求出。
16.【答案】 4
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图：
依题意
所以S△AOB=a×2b=ab=2，则双曲线的焦距2c==4，a=b时“＝”成立。
即双曲线的焦距最小值是4.
【分析】先写出两条渐近线方程，再联立求解得到A,B坐标，再求得线段AB的长度，再根据面积建立方程，进而用基本不等式求得结果。
四、解答题
17.【答案】 （1）由 ，得 ，即 ，
又 ，即 ，
双曲线 的方程即为 ，点 坐标代入得 ，解得 ．
所以，双曲线 的方程为 ．
（2）椭圆 的焦点为 ，
设双曲线 的方程为 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以，双曲线 的方程为 ．
【考点】椭圆的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的离心率公式，从而求出a,c的关系式，再利用点 在双曲线 上结合代入法，从而求出a,b的关系式，再结合双曲线中a,b,c的关系式，从而解方程组求出a,b,c的值，进而求出双曲线的标准方程。
（2） 利用椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出焦点坐标，再利用双曲线 与椭圆 的焦点相同，从而求出双曲线的焦点坐标，进而求出c的值，再利用双曲线的实轴的定义，从而求出a的值，再结合双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出双曲线 的标准方程。
18.【答案】 （1）解：∵ ， ， ， ，
∴可设双曲线方程为 ．
∵双曲线过点 ，∴ ，即 ，∴双曲线方程为
（2）证明：由（1）可知，在双曲线中 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵点 在双曲线上，∴ ， ．
∴ ，∴
（3）解：由（2）知 ∴△ 为直角三角形．又 ， ，∴ 或 ，由两点间距离公式得： ， ，
∴ ．
即△ 的面积为6
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的应用
【解析】【分析】（1）由离心率及双曲线上的点可以直接得到双曲线的标准方程；
（2）由标准方程可得到焦点坐标，也易求点M的坐标，根据斜率直接得证；
（3）可根据三角形面积计算公式直接求得答案。
19.【答案】 解：若选①，因为 ，所以 ，所以 ．
因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为 ，所以 ，
解得 ，C的方程为 ．
若选②，则 . 若 ，则 ，所以 ，
解得 ，则C的方程为 ； 若 ，则 ，所以 ，
解得 ，则C的方程为 ．
选③，因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4，所以 ，即 . 若 ，则 ， 所以 ，
解得 ，则C的方程为 ； 若 ，则 ，所
以 ，
解得 ，则C的方程为 ．
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】根据双曲线的性质，从①②③三个条件中选一个，求出双曲线的方程即可.
20.【答案】 （1）解：设双曲线的方程为y2﹣ x2=λ（λ≠0），
代入点P（﹣3 ，4），可得λ=﹣16，
∴所求求双曲线的标准方程为
（2）解：设|PF1|=d1 ， |PF2|=d2 ， 则d1 d2=41，又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6，∴d12+d22﹣2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=118，又|F1F2|=2c=10，∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2
∴cos∠F1PF2=
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】(1)根据待定系数法求出双曲线的方程。（2）利用双曲线的定义得出关系式，两边平方可得出d12+d22 的值，根据余弦定理可求出cos的值即可。
21.【答案】 （1）解：双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
所以点 到渐近线的距离为 .
所以 的面积为
即 .
因为双曲线 的离心率为 ，
所以 ，即 .
代人 ，解得 ，
所以 ，
故双曲线 的标准方程为 .
（2）解： 是定值，理由如下：
设 ， ，则 ， ，
所以
两式相减并整理得
所以 .
所以 是定值，且该定值为 .
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1） 求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得F到渐近线的距离，再由三角形的面积公式，可得a,b的关系式，由离心率公式和a,b,c的关系式，解方程可得a,b进而得到双曲线的方程；
（2） 设 ， ，则 ， ， 由点差法和直线的斜率公式，化简整理，可得定值.
22.【答案】 （1）解：由题意得 ，即 ，解得 ，又 ，可得 ，故双曲线C的标准方程为
（2）解：设角平分线与 轴交于点 ，根据角平分线性质可得 ，
， ，
设 ，联立方程 ，可得
，
即OP与OQ不垂直
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】 （1）由离心率公式和a，b，c的关系，以及M的坐标满足双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；
（2）求得M的坐标和椭圆D的方程，由直角三角形的勾股定理和角平分线的性质定理求得直线l的斜率和方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和两直线垂直的条件，计算可判断OP，OQ是否垂直．
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高中数学人教A版（2019）选择性必修一3.2 双曲线同步练习
一、单选题
1.（2021高二下·昆明期末）双曲线 的顶点焦点到C的一条渐近线的距离分别为 和 ，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【考点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】双曲线 的焦点 到渐近线 的距离为 ，
顶点 到渐近线 的距离为 ，
由 解得 ，
所以双曲线的方程为 。
故答案为：D
【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而求出顶点坐标和焦点的坐标以及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式，从而结合已知条件和双曲线中a,b,c三者的关系式，进而解方程组求出a,b,c的值，从而求出双曲线的标准方程。
2.（2021高二下·浙江期末）双曲线 的离心率是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程知： ， ，
∴ .
故答案为：C
【分析】根据题意由双曲线的简单性质求出a与c的值，从而计算出离心率的结果。
3.（2021高二下·资阳期末）双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由 可得： ， ，
所以双曲线的渐近线方程为： ，即 。
故答案为：B.
【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而求出a,b的值，再利用双曲线的渐近线方程求解方法，从而求出双曲线的渐近线方程。
4.（2021高二下·泗县期末）若双曲线C的中心为坐标原点，其焦点在y轴上，离心率为2，则该双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得c=2a，
则
又∵ 双曲线C的焦点在y轴上
∴ 该双曲线C的渐近线方程为
故答案为：A
【分析】根据双曲线的几何性质直接求解即可.
5.（2021高二下·开封期末）双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 是双曲线 上一点， 轴， ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【考点】直线的斜率，双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为 轴，则 ，故 ，
由勾股定理可得 ，
由双曲线的定义可得 ，
因此，该双曲线的离心率为 .
故答案为：D.
【分析】首项由直线斜率的定义即可得出 ， 然后由勾股定理以及双曲线的定义整理即可求出双曲线的离心率。
6.（2021·四川模拟）与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 的双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设与双曲线 共渐近线的方程为： ；
已知，所求双曲线经过点 ，则 ；
所以，所求双曲线方程为 ，整理得 .
故答案为：B.
【分析】 依题意，设双曲线的方程为 ， 将点 的坐标代入可求 ， 即可得出求双曲线方程。
7.（2021·安徽模拟）已知双曲线 的左右焦点为 ， ，过 的直线交双曲线于M ， N两点 在第一象限），若 与 的内切圆半径之比为3：2，则直线 的斜率为（　　）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】双曲线的定义，任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 记 与 的内切圆分别为圆O1与圆O2 ， 半径分别为R1 ， R2 ，
设圆O1与△MF1F2的三边的切点分别为A，B，C，如图
令MA=MC=m，AF1=BF1=n，BF2=CF2=t，
根据双曲线的定义可得 ， 可得n=a+c，
由此可知，在△F1F2M中O1B⊥x轴于B，同理O2B⊥x轴于B，
∴O1O2⊥x轴
过圆心O2作CO1的垂线，垂足为D
易知直线l的倾斜角θ与∠O2O1D大小相等
不妨设R1=4，R2=1，则O2O1=5，O1D=1，
所以根据勾股定理， ，
所以
故答案为：B
【分析】根据双曲线定义，结合内切圆的性质以及正切函数的定义求解即可.
8.（2021高二下·诸暨期末）已知 为双曲线 的左 右焦点，过 作 的垂线分别交双曲线的左 右两支于 两点(如图).若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质，余弦定理
【解析】【解答】解：由 ，设 ，由 得， ，所以 ，
，又 得 ，
，令 ，化简得： ，得 ，所以渐近线方程为 ，
故答案为：C.
【分析】 结合已知条件通过 ， 利用余弦定理推出 ， 然后求解渐近线方程即可.
二、多选题
9.（2021高二下·遵义期末）某双曲线两条渐近线的夹角为 ，则该双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. 2 D.
【答案】 C,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线的方程为 ，渐近线方程为： ，
根据双曲线的对称性可知： 的倾斜角为 或
当 的倾斜角为 时，可得 ，
所以 ，
当 的倾斜角为 ，可得 ，
所以 ，
所以离心率为2或 ，
故答案为：CD.
【分析】根据题意首先求出双曲线的渐近线方程，由直线的倾斜角即可求出直线的斜率即 ， 再由双曲线里a、b、c的关系以及离心率公式计算出个即可。
10.（2021高二下·深圳期末）若 是双曲线 上一点， 的一个焦点坐标为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 渐近线方程为
C. 的最小值是 D. 焦点到渐近线的距离是
【答案】 B,C,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】对于A选项，由题意可得 ，故 ，A不符合题意；
对于B选项，对于双曲线 ， ， ，该双曲线的渐近线方程为 ，B对；
对于C选项， 的最小值为 ，C对；
对于D选项，双曲线 的右焦点 到渐近线 的距离为 ，D对.
故答案为：BCD.
【分析】 利用双曲线 的一个焦点坐标为F (4, 0)，可得m= 7，逐项进行判断可得答案。
11.（2021高二下·云浮期末）已知双曲线 ，（ ）
A. B. 若W的顶点坐标为 ，则
C. W的焦点坐标为 D. 若 ，则W的渐近线方程为
【答案】 B,D
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【解答】A项：因为方程 表示双曲线，
所以 ，解得 或 ，A不符合题意；
B项：因为 的顶点坐标为 ，
所以 ，解得 ，B符合题意；
C项：当 时， ，
当 时， ，C不符合题意；
D项：当 时，双曲线 的标准方程为 ，
则渐近线方程为 ，D符合题意，
故答案为：BD.
【分析】 根据双曲线的方程，分析顶点，焦点，渐近线方程.
12.（2021·烟台模拟）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则（ ）
A. 为 的一个焦点
B. 双曲线 的离心率为
C. 过点 作直线与 交于 两点，则满足 的直线有且只有两条
D. 设 为 上三点且 关于原点对称，则 斜率存在时其乘积为
【答案】 B,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，
所以 ，解得 ，所以双曲线 ，所以 ， ， ，所以则其焦点为 、 ，离心率 ，A不符合题意，B符合题意；过点 作直线与 交于 两点，因为 为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时 ，当直线的斜率为 时， ，所以由双曲线的对称性得，满足 的直线有4条，C不符合题意；
设 ， ， ，所以 ， ，因为 在双曲线上，所以 ， ，两式相减得 ，所以 ，D符合题意；
故答案为：BD
【分析】 由渐近线方程，可得m的方程，求得m，可得a，b，c，可判断A；由双曲线的离心率公式，计算可判断B；分别讨论A，B分别在左、右两支上和都在右支上，结合弦的最小值，可判断C；由点差法和直线的斜率公式，计算可判断D．
三、填空题
13.（2021高二下·番禺期末）已知双曲线C的渐近线方程为 ，写出双曲线C的一个标准方程： .
【答案】 (答案不唯一)
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意，双曲线C的渐近线方程为 ，
不妨设双曲线焦点在 轴上，则 ，
可令 ，可得双曲线C的一个标准方程为 ，
也可令 等等。
故答案为： (答案不唯一)。
【分析】利用双曲线的渐近线求解方法得出a,b的关系式，进而求出满足要求的双曲线的一个标准方程。
14.（2021高三上·信阳开学考）已知双曲线 的左焦点为F，虚轴的端点为A，B，若 为等边三角形，则C的离心率为 .
【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为 为等边三角形，所以 ，即 ，则有 .
【分析】 利用为等边三角形，列出方程，即可求解C的离心率.
15.（2021·蚌埠模拟）已知双曲线 ： 的左焦点为 ，右顶点为 ，虚轴上顶点为 ．若双曲线 的离心率是 ，则 ．
【答案】
【考点】双曲线的简单性质，余弦定理
【解析】【解答】作出简图，如图所示：
所以有 ，又因为 ，
所以 ，即 ，
在 中， ，即 ．
故答案为： ．
【分析】根据题意做出简图，由双曲线的简单几何性质可知， 结合 ，以及余弦定理即可求出。
16.（2021·西安模拟）已知直线 与双曲线 的两条渐近线围成的三角形的面积为2，则双曲线C的焦距的最小值为 .
【答案】 4
【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图：
依题意
所以S△AOB=a×2b=ab=2，则双曲线的焦距2c==4，a=b时“＝”成立。
即双曲线的焦距最小值是4.
【分析】先写出两条渐近线方程，再联立求解得到A,B坐标，再求得线段AB的长度，再根据面积建立方程，进而用基本不等式求得结果。
四、解答题
17.（2021高二下·资阳期末）解答下列两个小题：
（1）双曲线 ： 离心率为 ，且点 在双曲线 上，求 的方程；
（2）双曲线 实轴长为2，且双曲线 与椭圆 的焦点相同，求双曲线 的标准方程．
【答案】 （1）由 ，得 ，即 ，
又 ，即 ，
双曲线 的方程即为 ，点 坐标代入得 ，解得 ．
所以，双曲线 的方程为 ．
（2）椭圆 的焦点为 ，
设双曲线 的方程为 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以，双曲线 的方程为 ．
【考点】椭圆的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合双曲线的离心率公式，从而求出a,c的关系式，再利用点 在双曲线 上结合代入法，从而求出a,b的关系式，再结合双曲线中a,b,c的关系式，从而解方程组求出a,b,c的值，进而求出双曲线的标准方程。
（2） 利用椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出焦点坐标，再利用双曲线 与椭圆 的焦点相同，从而求出双曲线的焦点坐标，进而求出c的值，再利用双曲线的实轴的定义，从而求出a的值，再结合双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出双曲线 的标准方程。
18.已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ，点 在双曲线上．
（1）.求双曲线方程；
（2）.求证： ；
（3）.求△ 的面积．
【答案】 （1）解：∵ ， ， ， ，
∴可设双曲线方程为 ．
∵双曲线过点 ，∴ ，即 ，∴双曲线方程为
（2）证明：由（1）可知，在双曲线中 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵点 在双曲线上，∴ ， ．
∴ ，∴
（3）解：由（2）知 ∴△ 为直角三角形．又 ， ，∴ 或 ，由两点间距离公式得： ， ，
∴ ．
即△ 的面积为6
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的应用
【解析】【分析】（1）由离心率及双曲线上的点可以直接得到双曲线的标准方程；
（2）由标准方程可得到焦点坐标，也易求点M的坐标，根据斜率直接得证；
（3）可根据三角形面积计算公式直接求得答案。
19.（2020高二上·邢台期中）在① ，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为 ，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线 ，__________，求C的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】 解：若选①，因为 ，所以 ，所以 ．
因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为 ，所以 ，
解得 ，C的方程为 ．
若选②，则 . 若 ，则 ，所以 ，
解得 ，则C的方程为 ； 若 ，则 ，所以 ，
解得 ，则C的方程为 ．
选③，因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4，所以 ，即 . 若 ，则 ， 所以 ，
解得 ，则C的方程为 ； 若 ，则 ，所
以 ，
解得 ，则C的方程为 ．
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】根据双曲线的性质，从①②③三个条件中选一个，求出双曲线的方程即可.
20.（2017高二上·安平期末）已知双曲线过点P（﹣3 ，4），它的渐近线方程为y=± x．
（1）.求双曲线的标准方程；
（2）.设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1| |PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．
【答案】 （1）解：设双曲线的方程为y2﹣ x2=λ（λ≠0），
代入点P（﹣3 ，4），可得λ=﹣16，
∴所求求双曲线的标准方程为
（2）解：设|PF1|=d1 ， |PF2|=d2 ， 则d1 d2=41，又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6，∴d12+d22﹣2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=118，又|F1F2|=2c=10，∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2
∴cos∠F1PF2=
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】(1)根据待定系数法求出双曲线的方程。（2）利用双曲线的定义得出关系式，两边平方可得出d12+d22 的值，根据余弦定理可求出cos的值即可。
21.（2021·广东模拟）已知双曲线 的离心率为 ，过双曲线 的右焦点 作渐近线的垂线，垂足为 ，且 ( 为坐标原点)的面积为 .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若 ， 是双曲线 上的两点，且 ， 关于原点对称， 是双曲线上异于 ， 的点.若直线 和直线 的斜率均存在，则 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】 （1）解：双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
所以点 到渐近线的距离为 .
所以 的面积为
即 .
因为双曲线 的离心率为 ，
所以 ，即 .
代人 ，解得 ，
所以 ，
故双曲线 的标准方程为 .
（2）解： 是定值，理由如下：
设 ， ，则 ， ，
所以
两式相减并整理得
所以 .
所以 是定值，且该定值为 .
【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1） 求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得F到渐近线的距离，再由三角形的面积公式，可得a,b的关系式，由离心率公式和a,b,c的关系式，解方程可得a,b进而得到双曲线的方程；
（2） 设 ， ，则 ， ， 由点差法和直线的斜率公式，化简整理，可得定值.
22.（2021·湛江模拟）已知双曲线C： ＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，其中c>0， M(c，3)在C上，且C的离心率为2.
（1）求C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，∠F1MF2的角平分线l与曲线D： ＝1的交点为P，Q，试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由.
【答案】 （1）解：由题意得 ，即 ，解得 ，又 ，可得 ，故双曲线C的标准方程为
（2）解：设角平分线与 轴交于点 ，根据角平分线性质可得 ，
， ，
设 ，联立方程 ，可得
，
即OP与OQ不垂直
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【分析】 （1）由离心率公式和a，b，c的关系，以及M的坐标满足双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；
（2）求得M的坐标和椭圆D的方程，由直角三角形的勾股定理和角平分线的性质定理求得直线l的斜率和方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和两直线垂直的条件，计算可判断OP，OQ是否垂直．
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