(共10张PPT)
1.1.2余 弦 定 理
（1）已知两角及一边；
（2）已知两边和其中一边的对角；
（3）已知两边及夹角；
（4）已知三边.
A
B
C
a
b
c
课题导入
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c
A
B
C
b
a
c
A
B
C
a
b
c
即 c2=a2＋b2－2abcosC.
同理 b2=c2＋a2－2cacosB.
c2=a2＋b2－2abcosC;
b2=c2＋a2－2cacosB;
a2=b2＋c2－2bccosA.
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其 他两边平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的积的两倍
观察：
(1)定理左边有几项？右边有几项？式子中有几项？
(2)有什么特点？
(3)这个定理有什么作用？若已知b=8,c=3,
能求 a
解：
由 c2=a2＋b2－2abcosC,
得 c=
例 1：
c2=a2＋b2－2abcosC;
b2=c2＋a2－2cacosB;
a2=b2＋c2－2bccosA.
由
b2＋c2－a2
2bc
cosA＝
;
c2＋a2－b2
2ca
cosB＝
;
a2＋b2－c2
2ab
cosC＝
.
得
例 2：在 ABC中，已知a＝7，b＝8，
c＝5，求A
解：
b2＋c2－a2
2bc
∵ cosA＝
∴ A=
练习(1):在三角形ABC中，a=20,b=29,c=21,求B
(2)在三角形ABC中，a2=b2+c2+bc,求A
(3)在三角形ABC中，AB=5，BC=4，AC= 求B
小结
1.余弦定理是解三角形的一重要工具
c2=a2＋b2－2abcosC;
b2=c2＋a2－2cacosB;
a2=b2＋c2－2bccosA;
b2＋c2－a2
2bc
cosA＝
c2＋a2－b2
2ca
cosB＝
a2＋b2－c2
2ab
cosC＝
2.余弦定理可解以下两种类型的三角形：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边及夹角，求第三边和
其他两个角.
;
;
.
得到的结论：
在三角形ABC中，(共13张PPT)
1.1.1 正弦定理
回忆一下直角三角形的边角关系
A
B
C
c
b
a
两等式间有联系吗？
那么对于一般三角形，以上关系式是否仍然成立哪？
B
C
A
D
当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数定义，
CD=asinB,
CD=bsinA
所以，
asinB=bsinA
同理，在 ABC中
＝ ＝
a
sinA
b
sinB
c
sinC
＝2R.
=2R
b
sinB
B`
A
B
C
b
O
A
B
C
b
O
B`
A
B
C
b
O
（1）已知两角及一边；
（2）已知两边和其中一边的对角；
A
B
C
a
b
c
＝ ＝
a
sinA
b
sinB
c
sinC
＝2R.
例题讲解
例1 在 中，已知 ，求b（保
留两个有效数字）.
解：∵ 且
例2 在 中，已知 ，求 。
例题讲解
解：由
得
∵ 在 中
∴ A 为锐角
练习：
（1）在 中，一定成立的等式是（ ）
C
（2）在 中，若 ，则 是( )
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
D
在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 ;
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 ;
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
60°
A
B
C
b
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3
sinB＝ ＝ ，
b sinA
a
1
2
B＝30°或150°，
∵ 150°＋60°> 180°，
∴ B＝150°应舍去.
60°
20
20√3
A
B
C
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3
sinB＝ ＝1 ，
b sinA
a
B＝90°.
B
60°
A
C
20
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
sinB＝ ＝ ，
b sinA
a
2√3
3
2√3
3
∵ > 1，
∴ 无解.
60°
20
A
C
思考： 当b＝20，A＝60°，a＝？时，
有1解、2解、无解.
√2
30°
练习
ABC中，
（1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°，
则a＝____，
（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，
则B＝____，
（3）已知c＝2，A＝45°，a＝ ，则
B＝_____________.
2√6
3
75°或15°
