2021-2022北师大版八上第一章 勾股定理常考必刷题（含解析）

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2021-2022北师大版八上第一章勾股定理常考必刷题
时间120分钟
满分120分
一．选择题（每小题3分，共12分）
1．（2020秋?遵化市期末）如图，正方形ABCD的面积是（　　）
A．5
B．25
C．7
D．1
2．（2020秋?射阳县期末）如图，已知正方形B的面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（　　）
A．313
B．144
C．169
D．25
3．（2020秋?江阴市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（　　）
A．45
B．36
C．25
D．18
4．（2020秋?兴化市期中）下列几组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5
B．2，3，5
C．5，12，13
D．32，42，52
5．（2020秋?丹徒区期末）下列条件中，不能判断△ABC（a、b、c为三边，∠A、∠B、∠C为三内角）为直角三角形的是（　　）
A．a2＝1，b2＝2，c2＝3
B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C
D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
6．（2020秋?苏州期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠B＝∠C+∠A
B．a2＝（b+c）（b﹣c）
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
D．a：b：c＝3：4：5
7．（2021春?固始县期末）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（　　）
A．h≤17cm
B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm
D．7cm≤h≤16cm
8．（2021春?会昌县期末）由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（　　）
A．8m
B．10m
C．16m
D．18m
9．（2020?海门市一模）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2
B．x2﹣32＝（10﹣x）2
C．x2+3＝（10﹣x）2
D．x2+32＝（10﹣x）2
10．（2018秋?沛县期末）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　）
A．16秒
B．18秒
C．20秒
D．22秒
11．（2019春?商州区期中）如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（　　）
A．7m
B．8m
C．9m
D．10m
12．（2020秋?成都期中）如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（　　）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
二．填空题（每小题4分，共24分）
13．（2020秋?淮安期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为　
　．
14．（2020秋?姜堰区期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是　
　三角形．
15．（2020秋?海州区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10，BD⊥AC于D，且BD＝8，则S△ABC＝　
　．
16．（2020秋?盐都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，BC＝24，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长是　
　．
17．（2020秋?姜堰区期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为△ABC外一点，AD＝13，CD＝12，则AB、BC、CD、AD所围成的四边形的面积为　
　．
18．（2021?宿迁）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是
　
　尺．
三．解答题（共60分）
19．（8分）（2017秋?盱眙县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，
（1）求AB的长；
（2）求CD的长．
20．（10分）（2017秋?亭湖区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．
21．（8分）（2017秋?无锡期中）在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
（2）若BC＝15，CD＝12，求AC的长．
22．（8分）（2020秋?宜兴市期中）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种方式证明．下图是1876年美国总统Garfield证明勾股定理所用的图形：
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使C、B、D三点在一条直线上．
你能利用该图证明勾股定理吗？写出你的证明过程．
23．（6分）（2020秋?泰州期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝13cm，BC＝12cm，CD＝4cm，AD＝3cm，求该四边形的面积．
24．（10分）（2020秋?仪征市期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，AD是边BC上的中线，点E在AD的延长线上，AD＝ED＝6．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）求△ABD的面积．
25．（10）（2020秋?惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？
2021-2022北师大版八上第一章勾股定理常考必刷题
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2020秋?遵化市期末）如图，正方形ABCD的面积是（　　）
A．5
B．25
C．7
D．1
【分析】根据勾股定理以及正方形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：设正方形的边长为c，
由勾股定理可知：c2＝32+42，
∴c2＝25，
故选：B．
2．（2020秋?射阳县期末）如图，已知正方形B的面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（　　）
A．313
B．144
C．169
D．25
【分析】由正方形的面积得出EF2＝169，DF2＝144，在Rt△DEF中，由勾股定理得出DE2＝EF2﹣DF2，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
根据题意得：EF2＝169，DF2＝144，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
DE2＝EF2﹣DF2＝169﹣144＝25，
即正方形A的面积为25；
故选：D．
3．（2020秋?江阴市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（　　）
A．45
B．36
C．25
D．18
【分析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，2ab＝216，再根据完全平方公式求出a+b的值，进而可得一个直角三角形的周长．
【解答】解：设直角三角形两条直角边长分别为a和b，
由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝3，
根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：
225＝4×ab+9，
所以2ab＝216，
根据勾股定理，得a2+b2＝152，
所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝225+216＝441，
因为a+b＞0，
所以a+b＝21，
所以21+15＝36．
所以一个直角三角形的周长是36．
故选：B．
4．（2020秋?兴化市期中）下列几组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5
B．2，3，5
C．5，12，13
D．32，42，52
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，但不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、2+3＝5，不能构成三角形，不符合题意；
C、52+122＝132，是勾股数，符合题意；
D、92+162≠252，不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
5．（2020秋?丹徒区期末）下列条件中，不能判断△ABC（a、b、c为三边，∠A、∠B、∠C为三内角）为直角三角形的是（　　）
A．a2＝1，b2＝2，c2＝3
B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C
D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和，可以判断各个选项中的条件是否可以构成直角三角形，从而可以解答本题．
【解答】解：当a2＝1，b2＝2，c2＝3时，
则a2+b2＝c2，
即△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；
当a：b：c＝3：4：5时，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
则a2+b2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2＝c2，
即△ABC是直角三角形，故选项B不符合题意；
当∠A+∠B＝∠C时，则∠C＝90°，
即△ABC是直角三角形，故选项C不符合题意；
当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，则最大的∠C＝180°×＝75°，
即△ABC不是直角三角形，故选项D符合题意；
故选：D．
6．（2020秋?苏州期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠B＝∠C+∠A
B．a2＝（b+c）（b﹣c）
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
D．a：b：c＝3：4：5
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、∵∠B＝∠C+∠A，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，故△ABC是直角三角形；
B、∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，故△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；
D、由条件可设a＝3k，则b＝4k，c＝5k，那么a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；
故选：C．
7．（2021春?固始县期末）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（　　）
A．h≤17cm
B．h≥8cm
C．15cm≤h≤16cm
D．7cm≤h≤16cm
【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h＝24﹣8＝16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝15，BD＝8，∴
=289，∴AB＝17，
∴此时h＝24﹣17＝7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选：D．
8．（2021春?会昌县期末）由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（　　）
A．8m
B．10m
C．16m
D．18m
【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【解答】解：由题意得BC＝8m，AC＝6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴，
∴AB＝10米．
所以大树的高度是10+6＝16米．
故选：C．
9．（2020?海门市一模）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣3＝（10﹣x）2
B．x2﹣32＝（10﹣x）2
C．x2+3＝（10﹣x）2
D．x2+32＝（10﹣x）2
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
故选：D．
10．（2018秋?沛县期末）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　）
A．16秒
B．18秒
C．20秒
D．22秒
【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD＝AB＝200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【解答】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，
∵∠QON＝30°，OA＝240米，
∴AC＝120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，
∵AB＝200米，AC＝120米，
∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，
∵火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶，
∴影响时间应是：320÷20＝16秒．
故选：A．
11．（2019春?商州区期中）如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（　　）
A．7m
B．8m
C．9m
D．10m
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【解答】解：由勾股定理得：
，
楼梯的水平宽度＝4，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是3+4＝7（m）．
故选：A．
12．（2020秋?成都期中）如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（　　）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
【分析】此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：在侧面展开图中，AC的长等于底面圆周长的一半，即×2π×＝6（cm），
∵BC＝8cm，AC＝6cm，
∴根据勾股定理得：，
∴AB＝10（cm），
∴要爬行的最短路程是10cm．
故选：C．
二．填空题
13．（2020秋?淮安期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为　36　．
【分析】根据正方形的性质和勾股定理，可以得到AC2+BC2＝AC2＝36，然后即可得到正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和，本题得以解决．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，
∴AC2+BC2＝AB2＝36，
∵正方形ADEC的面积是AC2，正方形BCFG的面积是BC2，
∴正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为：AC2+BC2，
∴正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和是36，
故答案为：36．
14．（2020秋?姜堰区期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是　等腰直角　三角形．
【分析】根据非负数的性质求出a﹣b＝0，且a2+b2﹣c2＝0，进而判断出△ABC的形状．
【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，且a2+b2﹣c2＝0，
∴a＝b，且a2+b2＝c2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．
15．（2020秋?海州区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10，BD⊥AC于D，且BD＝8，则S△ABC＝　　．
【分析】先根据勾股定理得出CD的长，再根据勾股定理得出方程求出AC的长，即可解决问题．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°，
∵BC＝10，BD＝8，
∴，
∴CD＝6，
设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣6，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∴（x﹣6）2+82＝x2，
∴x＝，
∴AC＝，
∴S△ABC＝AC?BD＝××8＝，
故答案为：．
16．（2020秋?盐都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，BC＝24，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长是　25　．
【分析】连接BE，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，设AE＝BE＝x，知CE＝8﹣x，在Rt△BCE中，由BC2+CE2＝BE2列出关于x的方程，解之可得答案．
【解答】解：连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，则CE＝32﹣x，
在Rt△BCE中，
∵BC2+CE2＝BE2，
∴242+（32﹣x）2＝x2，
解得x＝25，
∴AE＝25，
故答案为：25．
17．（2020秋?姜堰区期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为△ABC外一点，AD＝13，CD＝12，则AB、BC、CD、AD所围成的四边形的面积为　24或36　．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2=AB2+BC2=
32+42=25，
∴AC＝5，
在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝AB?BC+AC?CD，
＝×3×4+×5×12，
＝36．
或S四边形ABCD＝AC?CD﹣AB?BC，
＝×5×12﹣×3×4，
＝24．
故答案为：24或36．
18．（2021?宿迁）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是
　12　尺．
【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EC′的长为10尺，则C′B＝5尺，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【解答】解：依题意画出图形，
设芦苇长AC＝AC′＝x尺，
则水深AB＝（x﹣1）尺，
∵C′E＝10尺，
∴C′B＝5尺，
在Rt△AC′B中，
52+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝13，
即芦苇长13尺，水深为12尺，
故答案为：12．
三．解答题
19．（2017秋?盱眙县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，
（1）求AB的长；
（2）求CD的长．
【分析】（1）根据勾股定理∴AB2=
AC2
+BC2，代入计算即可；
（2）根据三角形的面积公式，代入计算即可求出CD的长．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∵BC＝15，AC＝20，
AB2=
AC2
+BC2=
202
+152
∴AB＝25，
∴AB的长是25；
（2）∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CD，
∴AC?BC＝AB?CD，
∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，
∴20×15＝25CD，
∴CD＝12，
∴CD的长是12．
20．（2017秋?亭湖区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）分∠BPE＝90°、∠BEP＝90°两种情况，根据勾股定理计算．
【解答】解：（1）∵CD＝10，DE＝7，
∴CE＝10﹣7＝3，
在Rt△CBE中，BE2=BC2
+CE2=25，
BE＝5；
（2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7，
则t＝7÷1＝7（秒），
当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2，
解得，t＝，
∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形．
21．（2017秋?无锡期中）在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．
（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；
（2）若BC＝15，CD＝12，求AC的长．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求得；
（2）根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理列方程，即可得到AC的长．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠DBC＝70°，
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB＝90°﹣70°＝20°；
（2）Rt△BCD中，，BD2=BC2-CD2=152-122=81
∴BD＝9，
设AC＝AB＝x，则AD＝x﹣9，
∵Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，
∴（x﹣9）2+122＝x2，
解得x＝＝12.5，
∴AC＝12.5．
22．（2020秋?宜兴市期中）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种方式证明．下图是1876年美国总统Garfield证明勾股定理所用的图形：
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使C、B、D三点在一条直线上．
你能利用该图证明勾股定理吗？写出你的证明过程．
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．
【解答】解：∵Rt△ACB≌Rt△BDE，
∴∠CAB＝∠DBE．
∵∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠DBE＝90°．
∴∠ABE＝180°﹣90o＝90o．
∴△ABE是一个等腰直角三角形，S△ABE＝c2．
又∵S梯形ACDE＝（a+b）2，
S梯形ACDE＝S△ABC+S△BDE+S△ABE＝ab+c2．
∴（a+b）2＝ab+c2，
即a2+b2＝c2．
由此验证勾股定理．
23．（2020秋?泰州期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝13cm，BC＝12cm，CD＝4cm，AD＝3cm，求该四边形的面积．
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，然后利用勾股定理的逆定理推导出△ABC是直角三角形，然后利用三角形面积公式将两个三角形的面积相加即可．
【解答】解：连接AC．
在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC＝5cm，
在△ABC中，52+122＝132，
即AC2+BC2＝AC2，
∴∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝SRt△ACD+SRt△ABC＝×3×4+×5×12＝36（cm2）．
24．（2020秋?仪征市期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，AD是边BC上的中线，点E在AD的延长线上，AD＝ED＝6．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）求△ABD的面积．
【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△ECD即可；
（2）由全等三角形的性质得出AB＝CE＝5，利用勾股定理逆定理证得△ACE是直角三角形，求得△ACE的面积，即可得出△ABC的面积．
【解答】证明：（1）∵AD是边BC上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
（2）∵△ABD≌△ECD，
∴AB＝CE＝5，
∵AE＝AD+ED＝12，AC＝13，CE＝5，
∴AE2+CE2＝AC2，
∴△ACE是直角三角形，
∴△ABC的面积＝△ACE的面积＝×5×12＝30，
∴△ABD的面积＝△ABC的面积＝15．
25．（2020秋?惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：OA2=AB2-OB2=4，
AO=2（米）；
（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5（米），
根据勾股定理：OB′2=A＇B＇2-OA＇2=4，
OB′＝2（米），
所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5（米），
答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．
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精品试卷·第
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