北师大版九年级上册第二章 一元二次方程（强化卷）(word版含解析)

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第二章
一元二次方程（强化卷）
一．选择题（共10小题）
1．关于的方程的一个解是，则值为　　
A．2或4
B．0或4
C．或0
D．或2
2．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
3．用配方法解方程时，原方程变形为　　
A．
B．
C．
D．
4．关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则的值为　　
A．
B．0
C．1
D．
或
0
5．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是　　
A．4.8
B．10
C．12
D．8或10
6．某公司2019年5月份营业额为60万元，7月份营业额达到100万元，设该公司这两个月的月平均增长率为．应列方程是　　
A．
B．
C．
D．
7．设、是一元二次方程的两个根，则　　
A．
B．1
C．
D．17
8．对于实数，定义运算“☆”如下：☆，例如3☆，则方程1☆的根的情况为　　
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
9．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出的中点，再折出线段，然后通过折叠使落在线段上，折出点的新位置，因而，类似地，在上折出点使，表示方程的一个正根的线段是　　
A．线段
B．线段
C．线段
D．线段
10．已知一元二次方程和它的两个实数根为、，下列说法：
①若、异号，则方程一定有实数根
②若，则方程一定有两异实根
③若，则方程一定有两实数根
④若，，，由根与系数的关系可得，
其中正确的结论的个数为　　
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
二．填空题（共7小题）
11．若一元二次方程无实数根，则的取值范围为
　　．
12．若关于的方程的一个根为2，则的值为　　．
13．如果关于的一元二次方程的一个解是，则　　．
14．将一元二次方程化成，为常数）的形式，则　　．
15．关于的一元二次方程有两个根0和3，写出这个一元二次方程的一个一般式为　　．
16．如图，将一张矩形纸片折叠，使两个顶点、重合，折痕为，若，．则线段的长为　　．
17．已知实数，满足，，且，则的值为　　．
三．解答题（共8小题）
18．解方程：
（1）
（2）
19．已知关于的方程．
（1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是2，求的值以及方程的另一个根．
20．龙华天虹商场以120元件的价格购进一批上衣，以200元件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？
21．（1）已知：，，求代数式的值；
（2）已知，，是的三边，其中，满足，满足，求的周长．
22．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有、两种房间，种房间房价每天200元，种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将种房间房价调低元，将种房间房价下调，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，、两种房间入住量都比2月增加了，总营业收入在2月的基础上增加了，求的值．
23．如图，某城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个长方形空地的长为，宽为．
（1）求四周通道的宽度；
（2）某建筑公司希望用80万元的承包金额承揽这项工程，城建部门认为金额太高需要降价，经过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
24．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：．
解原式
．
②，利用配方法求的最小值．
解：．
，当时，有最小值．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：；
（2）若，求的最小值；
（3）已知，求的值．
25．如图，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以1厘米秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米秒的速度移动（到达点即停止运动）．
（1）如果、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于是的三分之一？
（2）如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动（到达点即停止运动），动点从出发，沿移动（到达点即停止运动），几秒钟后，、相距6厘米？
（3）如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动（到达点即停止运动），动点从出发，沿移动（到达点即停止运动），是否存在一个时刻，同时平分的周长与面积？若存在求出这个时刻的值，若不存在说明理由．
第二章
一元二次方程（强化卷）
一．选择题（共10小题）
1．关于的方程的一个解是，则值为　　
A．2或4
B．0或4
C．或0
D．或2
【解答】解：把代入方程得，
整理得，解得，，
即的值为0或4．
故选：．
2．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意得，△，
解得：，
故选：．
3．用配方法解方程时，原方程变形为　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由可得：，
则，
即：，
故选：．
4．关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则的值为　　
A．
B．0
C．1
D．
或
0
【解答】解：关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，
．
故选：．
5．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是　　
A．4.8
B．10
C．12
D．8或10
【解答】解：
，
解得：，，
，
等腰三角形的腰长只能为4，底边长为2，
则其周长为：．
故选：．
6．某公司2019年5月份营业额为60万元，7月份营业额达到100万元，设该公司这两个月的月平均增长率为．应列方程是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设该公司这两个月的月平均增长率为，
根据题意，得．
故选：．
7．设、是一元二次方程的两个根，则　　
A．
B．1
C．
D．17
【解答】解、是一元二次方程的两个根，
，，
则，
故选：．
8．对于实数，定义运算“☆”如下：☆，例如3☆，则方程1☆的根的情况为　　
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【解答】解：☆，
，
，
△，
方程1☆有两个不相等的实数根．
故选：．
9．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出的中点，再折出线段，然后通过折叠使落在线段上，折出点的新位置，因而，类似地，在上折出点使，表示方程的一个正根的线段是　　
A．线段
B．线段
C．线段
D．线段
【解答】解：设正方形的边长为1，，
则，，
在中，
，
，
，
的长为的一个正根，
故选：．
10．已知一元二次方程和它的两个实数根为、，下列说法：
①若、异号，则方程一定有实数根
②若，则方程一定有两异实根
③若，则方程一定有两实数根
④若，，，由根与系数的关系可得，
其中正确的结论的个数为　　
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
【解答】解：△，
当、异号时，，所以△，所以此时方程一定有实数根，所以①正确；
当时，则△，若、异号，此时方程一定有两个不相等的实数根，若同号，则△，此时方程一定有两异实根，所以②正确；
若时，△，则方程一定有两实数根，所以③正确；
若，，，△，所以方程没有实数根，所以④错误．
故选：．
二．填空题（共7小题）
11．若一元二次方程无实数根，则的取值范围为
　　．
【解答】解：一元二次方程无实数根，
△，
解得，
的取值范围是．
故答案为：．
12．若关于的方程的一个根为2，则的值为　或　．
【解答】解：将代入，
，
，
或，
故答案为：或．
13．如果关于的一元二次方程的一个解是，则　2020　．
【解答】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故答案为：2020．
14．将一元二次方程化成，为常数）的形式，则　21　．
【解答】解：，
，即，
故答案为：21．
15．关于的一元二次方程有两个根0和3，写出这个一元二次方程的一个一般式为　（答案不唯一）　．
【解答】解：根据题意，知方程符合题意．
故答案为：（答案不唯一）．
16．如图，将一张矩形纸片折叠，使两个顶点、重合，折痕为，若，．则线段的长为　3　．
【解答】解：将一矩形纸片折叠，使两个顶点，重合，折痕为，
是的垂直平分线，
，
设，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，．
故答案为：3．
17．已知实数，满足，，且，则的值为　10　．
【解答】解：实数，满足，，且，
、是方程的两根，
，，，
原式，
故答案为10．
三．解答题（共8小题）
18．解方程：
（1）
（2）
【解答】解：（1），
，
，
，
，．
（2）解法一：将方程变形为：，
，．
解法二：设，则原方程变为：，
，
，，
，．
19．已知关于的方程．
（1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是2，求的值以及方程的另一个根．
【解答】（1）证明：，，，
，
，
，即△，
不论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的另一个为，
根据题意得，，，
，解得，
，
的值为2，另一个根为0．
20．龙华天虹商场以120元件的价格购进一批上衣，以200元件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？
【解答】解：设每件上衣应降价元，则每件利润为元，
列方程得：，
解得：，
因为为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存，
所以．
答：应将每件上衣的售价降低30元．
21．（1）已知：，，求代数式的值；
（2）已知，，是的三边，其中，满足，满足，求的周长．
【解答】解：（1），
，
，
两边同时平方得：①，
，
，
②，
把②代入①得：，
，
；
（2），
，
，
，，
，，
，
或6，
当时，三边为3，4，7，因为，不能构成三角形，此种情况不成立，
当时，三边为3，6，7，能构成三角形，此时的周长．
22．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有、两种房间，种房间房价每天200元，种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将种房间房价调低元，将种房间房价下调，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，、两种房间入住量都比2月增加了，总营业收入在2月的基础上增加了，求的值．
【解答】解：（1）设今年2月该酒店种房间入住了间，则种房间入住了间，
依题意得：，
解得：．
答：今年2月该酒店种房间入住了80间．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为20．
23．如图，某城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个长方形空地的长为，宽为．
（1）求四周通道的宽度；
（2）某建筑公司希望用80万元的承包金额承揽这项工程，城建部门认为金额太高需要降价，经过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【解答】解：（1）设四周通道的宽度为，则停车场的长为，宽为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：四周通道的宽度为．
（2）设每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每次降价的百分率为．
24．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：．
解原式
．
②，利用配方法求的最小值．
解：．
，当时，有最小值．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：；
（2）若，求的最小值；
（3）已知，求的值．
【解答】解：（1）
；
（2），
，
则的最小值为；
（3），
整理得：，
即，
，，，
，，，
解得：，，
则．
25．如图，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以1厘米秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米秒的速度移动（到达点即停止运动）．
（1）如果、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于是的三分之一？
（2）如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动（到达点即停止运动），动点从出发，沿移动（到达点即停止运动），几秒钟后，、相距6厘米？
（3）如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动（到达点即停止运动），动点从出发，沿移动（到达点即停止运动），是否存在一个时刻，同时平分的周长与面积？若存在求出这个时刻的值，若不存在说明理由．
【解答】解：（1）设经过秒钟，的面积等于是的三分之一，
由题意得：，，，
，
解得：或4，
，
或4符合题意，
答：经过2或4秒钟，的面积等于是的三分之一；
（2）在中，，
，
解得：（舍，，
答：秒钟后，、相距6厘米；
（3）解法一：由题意得：，，
分两种情况：
①当平分面积时，
，
，
解得：，，
从到，一共需要秒，，
不符合题意，舍去，
当时，，，，，
将的周长分为两部分：
一部分为：，
另一部分：，
，
②当平分周长时，
，
，
，
当时，，
，
，
综上所述，不存在这样一个时刻，同时平分的周长与面积．
解法二：当平分面积时，
，
，
解得：（舍，，
当平分周长时，
，
，
，
，
不存在这样一个时刻，同时平分的周长与面积．
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精品试卷·第
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