1.5.1全称量词与存在量词 教案（解析版）

第一章　集合与常用逻辑用语
1.5全称量词与存在量词
1.5.1全称量词与存在量词
学习任务
核心素养
1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．3.会写全称量词命题和存在量词命题的否定。4.
使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括、转化的能力．
1.数学抽象：全称量词与存在量词的含义；2.逻辑推理：全称量词命题和存在量词命题的真假；3..直观想象：全称量词命题和存在量词命题的否定。
梳理教材
夯实基础
知识点1　全称量词与全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示．变量x的取值范围用M表示．那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)．
知识点2　存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为?x∈M，p(x)．
探究重点
素养提升
引言：我们知道，命题是可以判断真假的陈述句。在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题。但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词。本节将学习全程量词和存在量词，以及如何正确的对含有一个量词的命题进行否定。
探究一
全称量词命题的含义
1.思考:下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?
(1)x>3
(2)2x+1是整数
(3)对所有的xR,x>3
(4)对任意一个xZ,2x+1是整数
【答案】（1）不是
(2)不是
(3)
是
（4）是
解析：(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量
x进行限定;
(4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对
变量x进行限定.
归纳新知
（1）全称量词及表示:
定义：短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。
表示：用符号“”表示。
（2）全称量词命题及表示:
定义：含有全称量词的命题，叫全称量词命题。
表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为:。
读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。
例如:命题(1)对任意的nZ,2n+1是奇数;(2)所有的正方形都是矩形。都是全称量词命题。
3.练习：用量词“
”表达下列命题:
(1)实数都能写成小数形式;
(2)凸多边形的外角和等于2；
（3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数。
解析：
（1）x能写成小数形式;
x
{x|x是凸n边形},x的外角和等于;
x·(-1)=
-x.（识别全程量词命题，注意全称量词命题可以省略量词，在转化的时候要把量词补上，此为题型一）
例1.判断下列全称量词命题的真假
(1)
所有的素数都是奇数;
(2)
,
|x|+1≥1
(3)
对每一个无理数x,x2也是无理数
【解析】（1）∵2是素数,但不是奇数,∴全称命题(1)是假命题;
(2)∵,|x|≥0,从而|x|+1≥1,∴全称命题(2)是真命题;
（3）∵是无理数,但是有理数，,∴全称命题(3)是假命题;
4、思考：如何判断全称量词命题的真假？（此为题型二）
反思感悟：
若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0
,使得P(x)不成立即可。
探究二
存在量词命题的含义
1.思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?
(1)2x+1=3
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
【解析】(1)不是
（2）不是
（3）是
（4）是
解析：(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.
2.归纳新知
存在量词命题的定义
（1）存在量词及表示:定义：短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。
表示：用符号“?”表示。
（2）存在量词命题及表示：
定义：含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为?x∈M,p(x).
读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
3.练习：下列命题是不是存在量词命题？
（1）有的平行四边形是菱形;
（2）有一个素数不是奇数
；
（3）三角形不都是中心对称图形；
（4）一元二次方程不总是有实数根。
解析：都是存在量词命题。（识别存在量词命题，注意存在量词命题的存在量词一般不能省略，若省略也能很容易判断出来，例如（3）（4），此为题型三）
例2
判断下列存在量词命题的真假
(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
(3)有些平行四边形是菱形.
解析：(1)由于
，
,
因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以,存在量词命题(1)是假命题.
(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题(2)是假命题。
（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。
4.思考：如何判断存在量词命题的真假？（此为题型四）
反思感悟：
要判断存在量词命题“?x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题.
5.跟进巩固：
1.　命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命题p为真命题，求实数a的取值范围．
判断方程ax2＋2x－1＝0是否为关于x的一元二次方程，由此思考命题为真的情况．
[解]　当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；
当a≠0时，由题意可得ax2＋2x－1＝0有实根，得Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.
综上可得a≥－1.
即实数a的取值范围是.
2．若命题“p：?x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥1
B．m＞1
C．m＜1
D．m≤1
B　[命题p：?x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1.]
反思感悟：
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围，此为题型五
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．
三．当堂检测
检验成果
1．(多选)下列是全称量词的是(　　)
A．任意一个
B．所有的
C．每一个
D．很多
ABC　[很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词．故选ABC.]
2．下列命题中是存在量词命题的是(　　)
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．任意一个负数都比零小
C．每一个正方形都是矩形
D．一定存在没有最大值的二次函数
D　[D选项是存在量词命题．]
3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
C　[B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.]
4．命题p：?x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．
存在量词命题　假　[命题p是存在量词命题，
因为方程x2＋2x＋5＝0的判别式22－4×5<0，
即方程x2＋2x＋5＝0无实根，所以命题p是假命题．]
5．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述为________．
?x<0，使(1＋x)(1－9x)>0　[有些是存在量词．所以命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”可表述为?x<0，使(1＋x)(1－9x)>0.]
四．课堂小结
检验成果
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．常见的全称量词有那些？用符号怎么表示？
[提示]　全称量词有：“所有的”“任意一个”等，并用符号“?”表示．
2．常见的存在量词有那些？用符号怎么表示？
[提示]　存在量词有：“存在一个”“至少有一个”等，用符号“?”表示．
3．全称量词命题如何用符号表述？存在量词命题呢？
[提示]　全称量词命题用符号简记为“?x∈M，p(x)”存在量词命题用符号简记为“?x∈M，p(x)”．
五．课后作业
训练巩固（课后素养落实八）