1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 教案（解析版）

第一章　集合与常用逻辑用语
1.5全称量词与存在量词
1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定
学
习
任
务
核
心
素
养
1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．(重点)2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(难点)
　通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养.
梳理教材
夯实基础
知识点　含有一个量词的命题的否定
p
p
结论
全称量词命题?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题
二．探究重点
素养提升
探究三
全称量词命题和存在量词命题的否定
1.定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。
牛刀小试：说出下列命题的否定。
（1）
56是7的倍数；
（2）
空集是集合A={1,2,3}的真子集；
【解析】（1）否定：
56不是7的倍数；（2）否定：
空集不是集合A={1,2,3}的真子集。
2.思考：
（2）每一个素数都是奇数；
。
【解析】
(2)存在一个素数表示奇数；
。
从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题。
【结论】含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论：全称量词命题的否定是存在量词命题。（此为题型一）
（2）p:每一个四边形的四个顶点在同一个圆上
【解析】（1）否定：
存在一个能被3整除的整数不是奇数.
否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上；
（3）否定：的个位数字等于3.
3.思考：
（2）某些平行四边形是菱形；
。
【答案】否定:
（1）所有实数的绝对值都不是正数;
（2）每一个平行四边形都不是菱形;
（3）
从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
【结论】存在量词命题的否定是全称量词命题。（此为题型二）
（3）有一个偶数是素数.
【解析】
（2）
该命题的否定：所有三角形都不是等边三角形
（3）
该命题的否定：任意一个偶数都不是素数
反思感悟：
对全称量词命题否定的两个步骤
对存在量词命题否定的两个步骤
例6
写出下列命题的否定，并判断真假（题型三）；
（1）任意两个等边三角形都相似；
【解析】（1）
该命题的否定：存在两个对边三角形，它们不相似。
因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都
相似。因此这是一个假命题。
（2）该命题的否定：
.
所以这是一个假命题。
4.跟进巩固：
【练习1】　对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．
以“函数值恒大于实数m”为切入点，思考探求建立二次函数y＝x2＋4x－1的最大值还是最小值与实数m的不等关系．
[解]　令y＝x2＋4x－1，x∈R，
则y＝(x＋2)2－5，
因为?x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，
所以只要m<－5即可．
所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．
把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．
[解]　令y＝－x2＋4x－1，
因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3，
又因为?x∈R，－x2＋4x－1>m有解，
所以只要m小于函数的最大值即可，
所以所求m的取值范围是{m|m<3}．
【练习2】．若命题“?x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
{a|a≤4}　[∵命题?x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题，
∴?x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题，
∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.]
反思感悟
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)
对于全称量词命题“?x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞y最值．(或a＜
y最小值)
(2)对于存在量词命题“?x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞y最小值．(或a＜
y最大值)
三．当堂检测
检验成果
1．命题“?x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A．?x?R，x2≠x　　　
B．?x∈R，x2＝x
C．?x?R，x2≠x
D．?x∈R，x2＝x
D　[此全称量词命题的否定为?x∈R，x2＝x.]
2．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(　　
)
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
C　[利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．
“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.]
3．已知命题p：?x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1)　　　
B．(－∞，1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
D　[因为p为假命题，所以p为真命题，所以?x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，选D.]
4．量词“至多有一个”的否定为________．
[答案]　至少有两个
5．命题“?x∈Q，x2＝5”的否定是________(填“真”或“假”)命题．
[答案]　真
四．课堂小结
检验成果
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．全称量词命题的否定是什么量词命题？存在量词命题呢？
[提示]　全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．对只含有一个量词的命题否定时只否定结论吗？
[提示]　不是，需先改变量词，再否定结论，如全称量词命题：?x∈M，p(x)的否定为存在量词命题：
?x∈M，p(x)．
3．当全称量词命题为真命题时，其命题的否定为真命题还是假命题？
[提示]　假命题．
五．课后作业
训练巩固（课后素养落实九）