第1章 1.4 1.4.2 充要条件 教案（解析版）

1.4.2　充要条件
学
习
任
务
核
心
素
养
1．结合具体实例，理解充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.
课本17页
思考
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形.
若p，则q
若一个平行四边形是菱形，则其对角线互相垂直
若q，则p
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.
若p，则q
若两个三角形全等，则其周长相等
若q，则p
观察以上两组命题，可以发现什么规律？
以上两组命题中，每组的第一个命题与第二个命题的条件与结论互换了.
将命题中的条件和结论互换，得到一个新的命题，称这个命题为原命题的逆命题.
例：写出下列命题的逆命题
（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等.
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等.
（3）若三角形是等边三角形，则三角形是等腰三角形.
（4）若四边形的两组对边分别平行，则四边形为平行四边形.
写出后，观察原有的命题和所写出的逆命题是真命题还是假命题？
观察发现（1）（4）两个命题为真命题，其逆命题也为真命题，（2）（3）两个命题为真命题，其逆命题为假命题.
知识点　充要条件
(1)定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．
命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：①充分必要条件(充要条件)，即p?q且q?p；
②充分不必要条件，即p?q且qp.
③必要不充分条件，即pq且q?p.
④既不充分也不必要条件，即pq且qp.
“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示]　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
注：易错点
例：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
说出证明充分性与必要性分别由哪个条件推到哪个条件？
从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________．
(2)“x<5”是“x<3”的________．
(1)充要条件　(2)必要不充分条件　[(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B,
即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．
(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．]
类型1　充分、必要、充要条件的判断
【例1】　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．
(1)p：x－3＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；
(3)p：a＞b；q：ac＞bc.
[解]　(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，
故p是q的既不充分也不必要条件．
判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要条件也有传递性．
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；
(4)p：A∩B＝A，q：?UB??UA.
[解]　(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，
故p是q的必要不充分条件．
(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，
故p是q的充分不必要条件．
(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，
q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，
故p是q的必要不充分条件．
(4)∵A∩B＝A?A?B??UB??UA，
∴p是q的充要条件．
类型2　充要条件的证明
【例2】　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[解]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．
类型3　充要条件的应用
【例3】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以AB.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，
即实数m的取值范围是m≥9.
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
1．“x>0”是“x≠0”的(　　
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[由“x>0”?“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．]
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]
3．若“x(　　)
A．a≥3　　　　
B．a≤－1
C．－1≤a≤3
D．a≤3
B　[因为“x4．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
m＝－2　[函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]
5．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：充要条件①________；充要条件②________.
[答案]　两组对边分别平行　一组对边平行且相等
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．命题“若p，则q”及其逆命题的真假与充分必要条件间存在怎样的关系？
[提示]　
条件p与结论q的关系
结　论
p?q，且qp
p是q的充分不必要条件
q?p，且pq
p是q的必要不充分条件
p?q，且q?p，即p?q
p是q的充要条件
pq，且qp
p是q的既不充分也不必要条件
2.要证明一个命题的充要条件需要证明几个方面？
[提示]　需要证明充分性和必要性两个方面．
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