集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
学
习
任
务
核
心
素
养
1.理解充分条件、必要条件的概念．(重点、易混点)
2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(重点)
3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(难点)
1.通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．借助充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养.
阅读课本17-18页，思考并完成以下问题
1.什么是命题？命题的一般形式是？
2.充分条件和必要条件的定义是什么？
梳理教材
夯实基础
知识点 充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
pq
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
探究重点
素养提升
1.命题的判断
思考1：下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若
（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。
【答案】（1）真
(2)假
(3)
假
（4）真
2．充分条件的判断
上面思考中p是q的什么条件？
答案与解析（1）、（4）中，p是q的充分条件；（2）、（3）中，
p不是q的充分条件。
【解析】（1）这是一条平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件；
(2)这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件；
（3）这是一条菱形的性质定理，,所以p是q的充分条件;
（4）由于,
所以p不是q的充分条件。
（5）由等式的性质知，，所以p是q的充分条件。
（6）为无理数，但为有理数，，所以p不是q的充分条件。
反思感悟：充分条件的判断方法
(1)定义法：判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p?q问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A?B，则p是q的充分条件．
思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？
【解析】四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，四边形的两条对角线互相平分都是其充分条件。
结论：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。
跟进巩固：设x∈R，则使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4
B．x>0
C．x>2
D．x<2
答案A [只有x>4?x>3，其他选项均不可推出x>3.]
3．必要条件的判断
【解析】（1）这是一条平行四边形的性质定理，，所以q是p的必要条件；
（2）这是一条三角形相似的性质定理，，所以q是p的必要条件；
（3）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，，所以q不是p的必要条件；
（4）显然，
所以q是p的必要条件。
（5）由于
所以q不是p的必要条件；
（6）为无理数，但1，不全是无理数，，所以q不是p的必要条件。
反思感悟：必要条件的判断方法
(1)定义法：判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p?q为真，则p是q的充分条件，若q?p为真，则p是q的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A?B，则甲是乙的必要条件．
思考：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要条件吗？
【解析】四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，四边形的两条对角线互相平分都是其必要条件。
【结论】一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。
跟进巩固：指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C；q：AC>AB；
(2)p：|x|>2；q：x>2.
解：(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C?AC>AB，所以q是p的必要条件．
(2)因为当|x|>2时，x>2或x<－2，所以pq，所以q不是p的必要条件．
4．充分条件与必要条件的应用
例3:(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值；
(2)已知M＝{x|a－1
问题：由p与q的推出关系，思考采用采用什么方式建立待求参数的关系式．
[解] (1)
x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，令A＝{2，－3}，B＝，
∵q是p的充分条件，∴B?A.
当－＝2时，m＝－；
当－＝－3时，m＝.
所以m＝－或m＝.
(2)因为N是M的必要条件，所以M?N.于是从而可得－2≤a≤7.
故a的取值范围为－2≤a≤7.
反思感悟：充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
跟进巩固：已知p：实数x满足3a解：p：3a因为p?q，所以A?B，
所以?－≤a<0，所以a的取值范围是－≤a<0.
三．当堂检测
检验成果
1．若“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是( )
A．0
B．2
C．4
D．16
答案B [由“x＝2”能得出“x2＝4”，选项B正确．]
2．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是( )
A．四边形是平行四边形且对角线相等
B．四边形两组对边相等
C．四边形的对角线互相平分
D．四边形的对角线垂直
答案A [四边形是平行四边形且对角线相等，则四边形是矩形，故选A.]
3．用符号“?”与“”填空：
(1)x2＝1________x＝1；
(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．
答案(1) (2)? [(1)命题“若x2＝1，则x＝1”是假命题，故x2＝1x＝1.
(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数?a＋b是偶数．]
4．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
答案a≤1 [因为x>1?x>a，所以a≤1.]
四．课堂小结
检验成果
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1.若“p?q”是真命题，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
[提示] p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2.“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”相同吗？
[提示] 不同．若p是q的充分条件，则p?q；若p的充分条件是q，则q?p.
3.充分条件、必要条件的主要判断方法有那些？
[提示] 定义法和集合关系法.
4.判别技巧：
①
可先简化命题；
②
否定一个命题只要举出一个反例即可；
五．课后作业
训练巩固
《非常学案》课后素养落实（六）集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
学
习
任
务
核
心
素
养
1.理解充分条件、必要条件的概念．(重点、易混点)
2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(重点)
3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(难点)
1.通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．借助充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养.
阅读课本17-18页，思考并完成以下问题
1.什么是命题？命题的一般形式是？
2.充分条件和必要条件的定义是什么？
梳理教材
夯实基础
知识点 充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
条件关系
p是q的___条件
q是p的___条件
p不是q的___条件
q不是p的___条件
探究重点
素养提升
1.命题的判断
思考：下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若
（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。
2．充分条件的判断
上面思考中p是q的什么条件？
反思感悟：充分条件的判断方法
(1)定义法：判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p?q问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A?B，则p是q的充分条件．
思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？
跟进巩固：设x∈R，则使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4
B．x>0
C．x>2
D．x<2
3．必要条件的判断
反思感悟：必要条件的判断方法
(1)定义法：判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p?q为真，则p是q的充分条件，若q?p为真，则p是q的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A?B，则甲是乙的必要条件．
思考：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要条件吗？
跟进巩固：指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C；q：AC>AB；
(2)p：|x|>2；q：x>2.
4．充分条件与必要条件的应用
例3:(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值；
(2)已知M＝{x|a－1问题：由p与q的推出关系，思考采用采用什么方式建立待求参数的关系式．
反思感悟：充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
跟进巩固：已知p：实数x满足3a三．当堂检测
检验成果
1．若“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是( )
A．0
B．2
C．4
D．16
2．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是( )
A．四边形是平行四边形且对角线相等
B．四边形两组对边相等
C．四边形的对角线互相平分
D．四边形的对角线垂直
3．用符号“?”与“”填空：
(1)x2＝1________x＝1；
(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．
4．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
四．课堂小结
检验成果
1.若“p?q”是真命题，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
2.“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”相同吗？
3.充分条件、必要条件的主要判断方法有那些？
4.判别技巧：
①
可先简化命题；
②
否定一个命题只要举出一个反例即可；
五．课后作业
训练巩固
《非常学案》课后素养落实（六）