集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念
第2课时 集合的表示
学
习
任
务
核
心
素
养
1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)
2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)
1.通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．
2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养.
3.通过选择集合不同的语言形式描述具体的问题培养逻辑推理.
复习回顾
温故知新
基础知识：
常考题型：
(1)判断一个全体能不能构成一个集合；
(2)判断元素与集合的关系；
(3)利用元素特征求解参数值或是范围。
阅读课本2-5页，思考并完成以下问题
1.集合有哪两种表示方法？它们如何定义？
2.它们各自有什么特点？
3.它们使用什么符号表示？
二．梳理教材
夯实基础
知识点一 列举法：
知识点二 描述法：
三．探究重点
素养提升
1. 用列举法表示集合
例1 (对接教材P3例题)用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
反思感悟
1.用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来，中间用“，”隔开．
提醒：花括号“{ }”含有“所有”“全体”的含义，故{小于10的全体自然数}是不规范的写法，实数集R不能表示成{R}等.
2.用列举法表示集合应注意的三点
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．
（3）元素有特点时，元素通常按一定的顺序列举，如：从小到大等。由于集合元素的无序性，故不按由小到大也可以，不按顺序也可以，只是不美观而已。故集合的列举法表示不一定唯一。
跟进训练
用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合.
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.
（3）不等式
x－3<7的解集.
用描述法表示集合
解决上面（3）：
例2 用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的实数组成的集合；
(2)所以奇数的集合；
反思领悟
利用描述法表示集合应关注五点
(1)清楚集合代表元素是什么．例如，集合{x∈R|x<1}与{(x,y)|x<1,x，y∈R}完全不同．
(2)特征必须要与代表元素有关.例如，集合{x∈R|y<1}表述不清楚.
（3）所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(4)不能出现未被说明的字母．
(5)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
跟进训练：
（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；
（2）被3除余数等于1的正整数组成的集合；
（3）抛物线y＝x2－4上的点组成的集合.
问题：上面三个集合能不能用列举法表示？
反思感悟：不是每一个集合都能用两种表示形式去写。
问题：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？
自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.
3集合表示方法的综合应用
例3 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
跟进训练：本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．
反思领悟：
（1）解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点．
（2）本题因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程，而分为k＝0和k≠0两种情况进行讨论，从而做到不重不漏．
（3）解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
补充训练：若集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．(用集合表示)
四．当堂检测
检验成果
1．集合{x∈N|x－3<2}的另一种表示法可以是是( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－33．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )
A．{1，－2}
B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)}
D．{(1，－2)}
4．大于－2小于3的整数用列举法表示为________；用描述法表示为________．
5．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________．
五．课堂小结
提炼精华
1．本节课学习的集合的表示方法有哪些？
2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含义有什么不同？
3.列举法与描述法的各自特点
六．课后作业
训练巩固
课本P_63.4题第2课时 集合的表示
学
习
任
务
核
心
素
养
1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)
2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)
1.通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．
2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养.
3.通过选择集合不同的语言形式描述具体的问题培养逻辑推理.
复习回顾
温故知新
基础知识：
提示：集合概念、元素与集合关系、元素的特征、常见数集的记法等
常考题型：
提示：
（1）判断一个全体能不能构成一个集合；
判断元素与集合的关系；
利用元素特征求解参数值或是范围。
阅读课本2-5页，思考并完成以下问题
1.集合有哪两种表示方法？它们如何定义？
2.它们各自有什么特点？
3.它们使用什么符号表示？
二．梳理教材
夯实基础
知识点一 列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
知识点二 元素与集合的关系
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
三．探究重点
素养提升
1. 用列举法表示集合
例1 (对接教材P3例题)用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(4)由所有正整数构成的集合．
解析(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是
{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．
(4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．
反思感悟
1.用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来，中间用“，”隔开．
提醒：花括号“{ }”含有“所有”“全体”的含义，故{小于10的全体自然数}是不规范的写法，实数集R不能表示成{R}等.
2.用列举法表示集合应注意的三点
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．
（3）元素有特点时，元素按常按一定的顺序列举，如：从小到大等。由于集合元素的无序性，故不按由小到大也可以，不按顺序也可以，只是不美观而已。故集合的列举法表示不一定唯一。
跟进训练
用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合.
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.
（3）不等式
x－3<7的解集.
解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}.
（3）无法用列举法表示.
用描述法表示集合
解决上面（3）：{x∈R|x<10}．
例2 用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的实数组成的集合；
(2)所以奇数的集合；
解析：(1){x∈R|1(2){x|x＝2n＋1，n∈Z}．
反思领悟
利用描述法表示集合应关注六点
(1)清楚集合代表元素是什么．例如，集合{x∈R|x<1}与{(x,y)|x<1,x，y∈R}完全不同．
(2)特征必须要与代表元素有关.例如，集合{x∈R|y<1}表述不清楚.
（3）所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(4)不能出现未被说明的字母．
(5)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
（6）在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.
跟进训练：
（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；
（2）被3除余数等于1的正整数组成的集合；
（3）抛物线y＝x2－4上的点组成的集合.
解析：（1）设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件x2-2=0，因此，用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}；
（2）{x|x＝3n＋1，n∈N}；
（3）{(x，y)|y＝x2－4}．
问题：上面三个集合能不能用列举法表示？
参考：（1）{}；（2）{}；（3）没法写
反思感悟：不是每一个集合都能用两种表示形式去写。
问题：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？
自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.
3
集合表示方法的综合应用
例3 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
解析：(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．
跟进训练：本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．
解析：由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．
①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；
②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1.
综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．
反思领悟：
（1）解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点．
（2）本题因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程，而分为k＝0和k≠0两种情况进行讨论，从而做到不重不漏．
（3）解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
补充训练：若集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．(用集合表示)
答案：
解析:当a＝0时，方程有实数解x＝－1，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝1－4a≤0，解得a≥.
故实数a的取值范围为
四．当堂检测
检验成果
1．集合{x∈N|x－3<2}的另一种表示法可以是是( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
答案：A
解析：{x∈N|x－3<2}＝{x∈N|x<5}＝{0,1,2,3,4}．故选A.
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3答案：D
解析：由题意可知，满足题设条件的只有选项D，故选D.
3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )
A．{1，－2}
B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)}
D．{(1，－2)}
答案：D
解析：由得∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．
4．大于－2小于3的整数用列举法表示为________；用描述法表示为________．
答案：{－1,0,1,2} {x|－2解析：大于－2小于3的整数为－1,0,1,2，故用列举法表示为{－1,0,1,2}，用描述法表示为{x|－25．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________．
答案：{－1,4}
解析：∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．
五．课堂小结
提炼精华
1．本节课学习的集合的表示方法有哪些？
提示： 列举法和描述法．
2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含义有什么不同？
提示：(1)前两个集合为数集，后一个集合为点集；
(2){x|y＝x＋1，x∈R}表示自变量x的取值组成的集合；
{y|y＝x＋1，x∈R}表示因变量y的取值组成的集合；
{(x，y)|y＝x＋1}表示函数y＝x＋1上的点(x，y)组成的集合．
3.列举法与描述法的各自特点
提示：列举法简易明了，当不能表示所有集合；描述法体现元素的共同特征，比较直观.
六．课后作业
训练巩固
课本综合运用3.4题
