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专题14.2
乘方公式
典例体系（本专题73题33页）
一、知识点
平方差公式：
即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；
完全平方公式：
即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍；
添括号：①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；
二、考点点拨与训练
考点1：平方差公式的适用条件
典例：（2020·山西左权·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．(a+b)(a-2b)
B．(x+2y)(x-2y)
C．（-a+2b)(a-2b)
D．（-2m-n）（2m+n）
【答案】B
【解析】A：无法化为形式的式子，故其不能用平方差公式计算；
B：符合平方差公式的形式，故其可以用平方差公式计算；
C：无法化为形式的式子，故其不能用平方差公式计算；
D：无法化为形式的式子，故其不能用平方差公式计算；
故选：B.
方法或规律点拨
本题主要考查了平方差公式，熟练掌握相关公式是解题关键.
巩固练习
1．（2019·河北南宫·期末）下列各式不能运用平方差公式计算的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
解：、两项都是相同的项，不能运用平方差公式；
、、中均存在相同和相反的项，
故选：．
2．（2020·河南舞钢·期中）下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵==，
∴A不符合题意，
∵==，
∴B不符合题意，
∵=
∴C符合题意，
∵=，
∴D不符合题意．
故选C．
3．（2020·江苏梁溪·期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：A、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B、（1-2a）（-1+2a）=-（1-2a）2，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
C、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．（2020·安徽临泉·期末）能用平方差公式计算的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：A．不能用平方差公式计算，该项不符合题意；
B．可以用平方差公式计算，该项符合题意；
C．不能用平方差公式计算，该项不符合题意；
D．不能用平方差公式计算，该项不符合题意；
故选：B．
5．（2020·达州市通川区第八中学期中）下列各式不能用平方差公式计算的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A.
含x、y的项都符号相反，不能用平方差公式计算；
B.
含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算；
C.
含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算；
D.
含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算．
故选:A.
6．（2020·沈阳市第一二七中学期中）下列各多项式相乘：①（-2ab+5x）(5x+2ab);②(ax－y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有
（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【解析】解：①（-2ab+5x）(5x+2ab)=
（5x
-2ab）(5x+2ab)，符合平方差公式，故①正确;
②(ax－y)(-ax-y)
=-
(ax－y)(
ax+y)，符合平方差公式，故②正确;
③(-ab-c)(ab-c)=-
(a+-c)(ab-c)
，符合平方差公式，故③正确;
④(m+n)(-m-n)=-
(m+n)(m+n)，不符合平方差公式，故④错误.
正确的有①②③.
故选B.
7．（2020·西藏日喀则·期末）下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是（
）
A．（x+1）（x﹣1）
B．（x+1）（﹣x+1）
C．（﹣x+1）（﹣x﹣1）
D．（x+1）（﹣x﹣1）
【答案】D
【解析】解：选项A：(x+1)(x-1)=x2-1，故选项A可用平方差公式计算，不符合题意，
选项B：(x+1)(-x+1)=1-x2，故选项B可用平方差公式计算，不符合题意，
选项C：(-x+1)(-x-1)=x2-1，故选项C可用平方差公式计算，不符合题意，
选项D：(x+1)(-x-1)=-(x+1)2，故选项D不可用平方差公式计算，符合题意，
故选：D．
考点2：应用平方差公式进行计算
典例：（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）______．
【答案】
【解析】
方法或规律点拨
本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
巩固练习
1．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）若，则代数式的值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．6
【答案】D
【解析】解：
，
上式
故选D．
2．（2020·湖南涟源·初一期末）计算的正确结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
．
故选：B．
3．（2020·绍兴市文澜中学期中）若，且，则_____
【答案】2.5
【解析】∵，，
∴()÷()=
2.5
4．（2020·河南洛宁·月考）计算：__________．
【答案】9
【解析】根据平方差公式可得，故答案为9.
5．（2020·山东中区·初一期末）若，，则_____．
【答案】15
【解析】解：∵，，
∴
故答案为15
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）________．
【答案】
【解析】解：
故答案为：．
7．（2020·吉林延边·初二期末）计算：=____________．
【答案】4
【解析】解：
，
故答案为：4．
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】解：原式＝
＝
＝
＝．
考点3：乘法公式与图形面积
典例：（2020·北京通州·初一期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）设图1中阴影部分的面积为S?，图2中阴影部分的面积为S?，请用含a．b的式子表示：S?＝
，S?＝
；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是
．
（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．
【答案】（1）a2﹣b2，（a＋b）（a﹣b）；（2）（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）1．
【解析】解：（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S?＝a2﹣b2，S?＝（a＋b）（a﹣b）
故答案为：a2﹣b2，（a＋b）（a﹣b）；
（2）以上结果可以验证的乘法公式是a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）．
故答案为：（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
（3）20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）×（2020＋1）
＝20202﹣（20202﹣1）
＝20202﹣20202＋1
＝1．
方法或规律点拨
本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，数形结合并明确平方差公式的形式是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·沈阳市第一二七中学期中）如图，它由两块相同的直角梯形拼成，由此可以验证的算式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，拼成的等腰梯形如下：
上图阴影的面积s＝a2?b2，下图等腰梯形的面积s＝2（a＋b）（a?b）÷2＝（a＋b）（a?b），
两面积相等所以等式成立a2?b2＝（a＋b）（a?b）．这是平方差公式．
故选：A．
2．（2020·福建省惠安科山中学月考）如下图所示，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：正方形中，S阴影=a2-b2；
梯形中，S阴影=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
故所得恒等式为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选：C．
3．（2020·广东禅城·期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为
b的小正方形（a
>b〉）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：左图的阴影部分的面积为（a＋b）（a?b），右图的阴影部分的面积为a2?b2，
因此有为a2?b2＝（a＋b）（a?b），
故选：D．
4．（2018·河南汝阳·初二期末）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意可得，正方形的边长为，故正方形的面积为。
又∵原矩形的面积为，∴中间空的部分的面积=。
故选C。
5．（2020·浙江鄞州·初一期末）有4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2．若S1＝S2，则a、b满足（
）
A．2a＝3b
B．2a＝5b
C．a＝2b
D．a＝3b
【答案】C
【解析】解：由题意可得：
S2＝b（a+b）×2+ab×2+（a﹣b）2
＝ab+b2+ab+a2﹣2ab+b2
＝a2+2b2，
S1＝（a+b）2﹣S2
＝（a+b）2﹣（a2+2b2）
＝2ab﹣b2，
∵S1＝S2，
∴2ab﹣b2＝(a2+2b2)，∴4ab﹣2b2＝a2+2b2，
∴a2+4b2﹣4ab＝0，
∴(a﹣2b)2＝0，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
故选：C．
6．（2020·福建宁德·初一期末）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中
3
个如图
1
摆放，构造一个正方形；其中5
个如图
2
摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）．若图
1
和图2
中阴影部分的面积分别为
39
和
106，则每个小长方形的面积为___．
【答案】14
【解析】解：设小长方形的长为a，宽为b，
在图1中，有：（a+b）2-3ab=39，
在图2中，有：（a+2b）（2a+b）-5ab=106，
分别整理得：a2+b2-ab=39，a2+b2=53，
将a2+b2=53代入a2+b2-ab=39中，
解得：ab=14，
故每个小长方形的面积为14，
故答案为：14.
7．（2020·福建省惠安科山中学月考）用四块长为acm、宽为bcm的矩形材料（如图1）拼成一个大矩形（如图2）或大正方形（如图3），中间分别空出一个小矩形A和一个小正方形B．
（1）求（如图1）矩形材料的面积；（用含a，b的代数式表示）
（2）通过计算说明A、B的面积哪一个比较大；
（3）根据（如图4），利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式．
【答案】（1）ab；(2)
矩形的面积大；(3)
a2-b2=（a-b）（a+b）．
【解析】（1）S=长×宽=ab；
（2）根据图形可得：矩形的长=（2b+a），宽=a；正方形的边长=a+b，
矩形的面积=2ab+a2，正方形的面积=a2+2ab+b2，
正方形面积-矩形的面积=b2，
∴矩形的面积大；
（3）根据图形可得：a2-b2=（a-b）（a+b）．
8．（2020·江苏新沂·初一期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．
【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）45；（3）20．
【解析】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2
=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；
（3）∵a+b=10，ab=20，
∴S阴影=a2+b2﹣（a+b）?b﹣a2
=a2+b2﹣ab
=（a+b）2﹣ab
=×102﹣×20
=50﹣30
=20．
9．（2020·四川成华·初一期末）图1和图2的大正方形都是由一些长方形和小正方形组成的．观察图形，完成下列各题：
(1)如图1，求S大正方形的方法有两种：S大正方形=(x+y)2，同时，S大正方形=S①+S②+S③+S④=
．所以图1可以用来解释等式：
；同理图2可以用来解释等式：
．
(2)已知a+b+c=6，ab+bc+ca=11，利用上面得到的等式，求a2+b2+c2的值．
【答案】(1)x2+2xy+y2，(x+y)2=x2+2xy+y2，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；(2)14
【解析】(1)∵S③=S④=xy，S①=x2，S②=y2，
∴S大正方形=S①+S②+S③+S④=x2+2xy+y2．
∴(x+y)2=x2+2xy+y2．
∵图2大正方形的面积=(a+b+c)2，
同时图2大正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：x2+2xy+y2，(x+y)2=x2+2xy+y2，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
(2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
=(a+b+c)2﹣2(ab+ac+bc)
=62﹣2×11
=14．
10．（2020·山东中区·初一期末）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2
＝a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32
尝试解决：
（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝
．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝
．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
【答案】（1）见解析；（2）62，推证过程见解析；（3）[n（n+1）]2
【解析】（1）∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，
右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
这就验证了平方差公式；
（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；
G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3＝33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62；
故答案为：62；
（3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，
又∵1+2+3+…+n＝n（n+1），
∴13+23+33+…+n3＝[n（n+1）]2．
故答案为：[n（n+1）]2．
11．（2020·浙江新昌·初一期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是________．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式．如果不能，请说明理由．
【答案】（1）．（2）．（3）能拼成长方形．见解析，
【解析】（1）图1的面积为a2-b2，图2的面积为
，
∴根据图1和图2的面积相等可得到；
（2）拼图前的面积为，拼图后的面积为，
因此可得；
（3）能拼成长方形．
等式：．
12．（2020·河北邢台·初一月考）若x满足(x－4)
(x－9)＝6，求(x－4)2+(x－9)2的值．
解：设x－4＝a，x－9＝b，则(x－4)(x－9)＝ab＝6，a－b＝(x－4)－(x－9)＝5，
∴(x－4)2+(x－9)2＝a2+b2＝(a－b)2＋2ab＝52＋2×6＝37
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足(x－2)(x－5)＝10，求(x－2)2
+
(x－5)2的值
(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)29
；(2)16
【解析】（1）设，，则，
∴
（2）根据题意可知正方形ABCD的边长为x，
∵EMFD是长方形，
∴MF＝ED，
∴
，
,
设，，
则S长方形EMFD＝，，
，得
∵S阴影部分＝MF2－DF2，
即S阴影部分＝
故阴影部分的面积是16.
13．（2020·浙江衢州·初一期中）（阅读材料）
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（理解应用）
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．
（拓展升华）
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）；（2）①13；②4044．
【解析】（1）．
（2）①由题意得：，
把，代入上式得：
．
②由题意得：
．
考点4：求完全平方公式的字母系数
典例：（2020·沈阳市第一二七中学期中）如果二次三项式x2﹣16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（
）
A．±8
B．4
C．±4
D．8
【答案】A
【解析】解：∵﹣16x＝﹣2×8?x，
∴m2＝82＝64，
解得m＝±8．
故选：A．
方法或规律点拨
本题考查了完全平方公式．能够掌握完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．
巩固练习
1．（2020·长春市第五十二中学月考）若是完全平方式，则的值是（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【解析】解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
解得：或；
故选：C．
2．（2020·绍兴市长城中学期中）若x2﹣2(k﹣1)x+4是完全平方式，则k的值为（
）
A．±1
B．±3
C．﹣1或3
D．1或﹣3
【答案】C
【解析】解：∵x2﹣2(k﹣1)x+4是完全平方式，
∴﹣2(k﹣1)=±4，
解得：k=﹣1或3，
故选：C．
3．（2020·达州市通川区第八中学期中）若(x-2y)2
=(x+2y)2+M,则M=
(
)
A．4xy
B．-
4xy
C．8xy
D．-8xy
【答案】D
【解析】∵(x-2y)2
=(x+2y)2+M
∴M=(x-2y)2
-(x+2y)2=x2-4xy+4y2-x2-4xy-4y2=-8xy
故选D.
4．（2020·四川巴州·期末）若是完全平方式，则的值应为（
）
A．3
B．6
C．
D．
【答案】D
【解析】∵=x2+mx+9，
∴m=±6，
故选：D．
5．（2019·南阳市第三中学月考）如果整式恰好是一个整式的平方，那么的值是（）
A．±3
B．±4.5
C．±6
D．9
【答案】C
【解析】∵整式x2+mx+9恰好是一个整式的平方，
∴mx=±2?x?3，
解得：m=±6，
故选C．
6．（2020·广东高州·期中）已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为_____________
【答案】
【解析】∵（2x±6）2=4x2±24x+36，
∴mx=±24x，
即m=±24，
故答案为：．
7．（2020·山东长清·期中）若x2﹣mx+9是个完全平方式，则m的值是__．
【答案】±6
【解析】完全平方公式：
∴
∴
故答案为：
8．（2020·达州市通川区第八中学期中）已知是完全平方式，则△＝_______．
【答案】±7
【解析】解：∵是一个完全平方式，
∴△==±7．
故填：±7．
9．（2020·达州市通川区第八中学期中）若9x2+kx+1是一个完全平方式，则k＝_____．
【答案】±6
【解析】解：∵（3k±1）2＝9x2+kx+1，
∴k＝±6
故答案为：±6．
10．（2020·广西百色·期末）在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是______（只写出一个即可）．
【答案】或
【解析】∵4x2+1±4x=（2x±1）2；
4x2+1+4x4=（2x2+1）2；
4x2+1-1=（±2x）2；
4x2+1-4x2=（±1）2．
∴加上的单项式可以是±4x、4x4、-4x2、-1中任意一个．
11．（2020·江苏盱眙·期末）若是关于的完全平方式，则的值是______．
【答案】7或－1
【解析】解：∵x2-2（a-3）x+16是一个完全平方式，
∴-2a+6=±8，
∴a=7或-1．
故答案为7或-1．
考点5：应用完全平方公式求值
典例：（2020·福建宁化·期末）已知有理数，满足，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）（x+1）（y+1）
=xy+（x+y）+1
=
=；
（2）x2+y2
=（x+y）2-2xy
=
=．
方法或规律点拨
本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题关键是整体思想的应用．
巩固练习
1．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）已知a+b＝3，ab＝，则（a+b）2的值等于（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【解析】解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝32＝9．
故选：D．
2．（2020·达州市通川区第八中学期中）已知|x+y+5|+（xy﹣6）2＝0，则x2+y2的值等于（ ）
A．1
B．13
C．17
D．25
【答案】B
【解析】解：∵|x+y+5|+（xy﹣6）2＝0，
∴x+y+5＝0，xy﹣6＝0，
∴x+y＝﹣5，xy＝6，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣12＝13．
故选：B．
3．（2019·河北涿鹿·期末）若a+b=0，ab=11，则a2－ab+b2的值为（
）
A．33
B．－33
C．11
D．－11
【答案】B
【解析】，
∵a+b=0，ab=11，
∴原式=；
故答案是B．
4．（2020·重庆南开中学期末）若，，则__________．
【答案】12
【解析】解：由完全平方公式：，代入数据：
得到：，
∴，
∴，
故答案为：12．
5．（2019·江西南康·其他）已知实数a，b满足，则=______．
【答案】8
【解析】＝=（a?b）2＝×(-4)2＝8．
故答案为：8．
6．（2020·甘肃镇原·初二期末）已知，则的值为__________．
【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
7．（2020·山东济阳·初一期末）已知，ab=6
，则a2+b2的值是__________
．
【答案】244
【解析】∵(a+b)=a+2ab+b=256，ab=6，
∴a+b=244，
故答案为244
8．（2019·河北石家庄·初一期末）若，，则的值为_________．
【答案】25
【解析】∵，∴a+b+3=0，即a+b=-3，
又，即（a+b）(a-b)=15，∴a-b=-5，
∴=．
故答案为25．
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵
∴
（2）∵
∴．
考点6：配方法及其应用
典例：（2020·四川成都·初一期末）(1)已知：a(a+1)﹣(a2+b)=3，a(a+b)+b(b﹣a)=13，求代数式ab的值．
(2)已知等腰ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58=0，求ABC的周长．
【答案】(1)2；(2)17
【解析】(1)a(a+1)﹣(a2+b)=3，
a2+a﹣a2﹣b=3，
a﹣b=3，
两边同时平方得：a2﹣2ab+b2=9①，
a(a+b)+b(b﹣a)=13，
a2+ab+b2﹣ab=13，
a2+b2=13②，
把②代入①得：13﹣2ab=9，
13﹣9=2ab，
∴ab=2；
(2)a2+b2﹣6a﹣14b+58=0，
a2﹣6a+9+b2﹣14b+49=0，
(a﹣3)2+(b﹣7)2=0，
∴a﹣3=0，b﹣7=0，
∴a=3，b=7，
当3为腰时，三边为3，3，7，因为3+3＜7，不能构成三角形，此种情况不成立，
当7为腰时，三边为7，7，3，能构成三角形，此时△ABC的周长=7+7+3=17．
方法或规律点拨
本题主要考查了完全平方公式，三角形三边关系，非负数的性质，等腰三角形的定义和整式的混合运算，（1）正确将已知条件变形是解题关键，（2）利用配方法配方得出a和b的值是关键．
巩固练习
1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）已知-2x-6y+10＝0，则的值为（ ）
A．
B．9
C．1
D．99
【答案】B
【解析】解：由题意可知：，
即：，
∴，
∴，
故选：B．
2．（2020·全国初二课时练习）代数式的值（
）
A．大于或等于零
B．小于零
C．等于零
D．大于零
【答案】A
【解析】解：
∵．
故选A．
3．（2020·湖州市第四中学教育集团期中）若a，b都是有理数，且a2﹣2ab+2b2+4b+4＝0，则＝_____．
【答案】2
【解析】解：∵a2﹣2ab+2b2+4b+4＝0，
∴a2﹣2ab+b2+b2+4b+4＝0，
∴（a﹣b）2+（b+2）2＝0，
∴a﹣b＝0，b+2＝0，
∴a＝b＝﹣2，
∴．
故答案为2．
4．（2020·兴县教育科技局教学研究室期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得_____，_______；
（2）试着把写成一个完全平方式：；
（3）若是的立方根，是的平方根，试计算：．
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】解：（1）∵，
则有，
，
故答案为：；；
（2）
（3）是的立方根，是的平方根，
，
．
5．（2020·泉州市第六中学初二期中）回答下列问题
(1)填空：x2+＝(x+)2﹣_____＝(x﹣)2+_____.
(2)若a+＝5，则a2+＝_____；
(3)若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值.
【答案】(1)2，2；(2)23；(3)7.
【解析】（1）
故答案为2，2.
（2）
.
（3）
两边同除以a得（显然）
则
.
6．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）已知，则=______．
【答案】-2
【解析】解：
即
根据非负数的非负性可得：
解得:
所以
故答案为：-2．
7．（2020·贵州石阡·期末）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
∵，
当时，的值最小，最小值是0，
∴
当时，的值最小，最小值是1，
∴的最小值是1.
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）当x=______时，代数式的最小值是______；
（2）若，当x=______时，y有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
（3）若，求的最小值.
【答案】（1）3，
3；（2）1，大，
-2；（3）当时，的最小值为-6.
【解析】（1）∵，
∴当时，有最小值3；
故答案为3，3.
（2）∵，
∴当时最大值-2；
故答案为1，大，-2.
（3）∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴当时，的最小值为-6.
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，求
【答案】23
【解析】∵，
，
∴．
9．（2019·河北安平·初二期末）阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下：
∵，由，得；
∴代数式的最小值是4.
（1）仿照上述方法求代数式的最小值.
（2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.
【答案】（1）；（2）有最大值，最大值为32.
【解析】解：（1）∵，由，
得
；
∴代数式的最小值是；
（2），
∵，
∴，
∴代数式有最大值，最大值为32.
10．（2020·广西兴宾·初一期中）阅读下列材料，解答问题：
例：已知a－b=3，ab=2，求a2＋b2的值．
解：方法1：a2＋b2=(a－b)2＋2ab=32＋4=13
方法2：∵a－b=3
∴(a－b)2=32
即a2－2ab＋b2=9
a2＋b2=9＋2ab=9+4=13
请选择任意一种解题方法解决下列问题．
（1）已知a＋b=6，ab=－3，求代数式a2＋b2的值；
（2）已知a＋b=－2，ab=－1，求代数式(a－b)2的值．
【答案】（1）42；（2）8
【解析】（1）解：方法1：a2+b2
=(a+b)2
－2ab
=62－2×(－3)
=36+6
=42；
方法2：∵a+b=6，
∴(a+b)2=36，
a2+2ab+b2=36，
a2+b2=36－2ab
=36－2×(－3)
=42；
（2）方法1：(a－b)2=
a2－2ab+b2
=(a+b)2－4ab
=(－2)2－4×(－1)
=4+4
=8；
方法2：∵a+b=－2，
∴(a+b)2=4，
(a－b)2+4ab=4，
(a－b)2=4－4ab
=4－4×(－1)
=8．
11．（2020·全国初二课时练习）观察例题，然后回答：例：，则________．
解：由，得，即
所以：
通过你的观察你来计算：当时，求下列各式的值：
（1）；（2）．
【答案】（1）34；（2）32
【解析】解：（1）
，
把代入上式得：
原式=36-2
=34；
（2）
，
把代入上式得：
原式
=32．
故答案为：34，32．
考点7：乘法公式的混合运算
典例：（2020·重庆南开中学开学考试）化简求值：，其中满足
【答案】，7
【解析】原式
，且
解得
当时
原式
方法或规律点拨
本题主要考查了整式的化简及求值，利用绝对值的非负性求字母的值，并具体考查整式的加减乘除远算法则，完全平方公式和平方差公式的应用．
巩固练习
1．（2020·沈阳市第一二七中学期中）先化简，再求值．
，其中，．
【答案】?2n?m；0
【解析】解：
当，时，
原式=2-2=0
2．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
-5
【解析】
=
=
当，时，原式=
2．（2020·辽宁北镇·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，8.
【解析】解：原式=
=
=
=，
当，时，
原式=．
3．（2020·思南县张家寨初级中学期末）先化简，再求值：2（a+b）（a-b）-+．其中a=2，b=．
【答案】，
【解析】
=
=
=，
当时，
原式==．
4．（2020·苏州市吴江区同里中学期末），其中x＝－1，y＝2．
【答案】，13
【解析】解：原式=
=
=，
把代入得：
原式=
=
=13．
5．（2020·辽宁昌图·期末）先化简，再求值：，其中
【答案】，3
【解析】解：
，
当，时，原式．
6．（2020·江苏江阴·初一期末）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（3x﹣y）2+5（x+y）（x﹣y），其中x＝，y＝2．
【答案】
【解析】解：原式＝4x2+4xy+y2﹣（9x2﹣6xy+y2）+5（x2﹣y2）
＝4x2+4xy+y2﹣9x2+6xy﹣y2+5x2﹣5y2
＝10xy﹣5y2，
当x＝，y＝2时，原式＝10××2﹣5×22＝10﹣20＝﹣10．
7．（2020·四川郫都·初一期末）先化简，再求值：[（x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣x（2x﹣5y）]+（﹣y），其中x＝﹣2，y＝﹣3．
【答案】﹣xy+5y2﹣y，42
【解析】解：原式＝（x2﹣6xy+9y2+x2﹣4y2﹣2x2+5xy）﹣y
＝﹣xy+5y2﹣y，
当x＝﹣2，y＝﹣3时，
原式＝﹣6+45+3＝42．
8．（2020·株洲景炎学校初一期中）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中，
【答案】（1）；（2），-10
【解析】解：（1）
=
=
=；
（2）
=
=
=，
将，代入，
原式=-10．
9．（2020·江苏南京·初一期中）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x＋2y）（x﹣2y），其中x＝﹣1，y＝．
【答案】﹣4xy＋8y2；1
【解析】解：原式＝x2﹣4xy＋4y2﹣（x2﹣4y2）
＝x2﹣4xy＋4y2﹣x2＋4y2
＝﹣4xy＋8y2．
当x＝﹣1，y＝，
原式＝﹣4×（﹣1）×＋8×＝1＋＝1．
10．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）化简求值：，其中，.
【答案】；.
【解析】解：原式=
=
把，代入得：
原式==．
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专题14.2
乘方公式
典例体系（本专题73题33页）
一、知识点
平方差公式：
即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；
完全平方公式：
即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍；
添括号：①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；
二、考点点拨与训练
考点1：平方差公式的适用条件
典例：（2020·山西左权·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．(a+b)(a-2b)
B．(x+2y)(x-2y)
C．（-a+2b)(a-2b)
D．（-2m-n）（2m+n）
方法或规律点拨
本题主要考查了平方差公式，熟练掌握相关公式是解题关键.
巩固练习
1．（2019·河北南宫·期末）下列各式不能运用平方差公式计算的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·河南舞钢·期中）下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·江苏梁溪·期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·安徽临泉·期末）能用平方差公式计算的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·达州市通川区第八中学期中）下列各式不能用平方差公式计算的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·沈阳市第一二七中学期中）下列各多项式相乘：①（-2ab+5x）(5x+2ab);②(ax－y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有
（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
7．（2020·西藏日喀则·期末）下列乘法运算中不能用平方差公式计算的是（
）
A．（x+1）（x﹣1）
B．（x+1）（﹣x+1）
C．（﹣x+1）（﹣x﹣1）
D．（x+1）（﹣x﹣1）
考点2：应用平方差公式进行计算
典例：（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）______．
方法或规律点拨
本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
巩固练习
1．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）若，则代数式的值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．6
2．（2020·湖南涟源·初一期末）计算的正确结果是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·绍兴市文澜中学期中）若，且，则_____
4．（2020·河南洛宁·月考）计算：__________．
5．（2020·山东中区·初一期末）若，，则_____．
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）________．
7．（2020·吉林延边·初二期末）计算：=____________．
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
考点3：乘法公式与图形面积
典例：（2020·北京通州·初一期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）设图1中阴影部分的面积为S?，图2中阴影部分的面积为S?，请用含a．b的式子表示：S?＝
，S?＝
；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是
．
（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．
方法或规律点拨
本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，数形结合并明确平方差公式的形式是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·沈阳市第一二七中学期中）如图，它由两块相同的直角梯形拼成，由此可以验证的算式为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·福建省惠安科山中学月考）如下图所示，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·广东禅城·期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为
b的小正方形（a
>b〉）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2018·河南汝阳·初二期末）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A.
B.
C.
D.
5．（2020·浙江鄞州·初一期末）有4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2．若S1＝S2，则a、b满足（
）
A．2a＝3b
B．2a＝5b
C．a＝2b
D．a＝3b
6．（2020·福建宁德·初一期末）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中
3
个如图
1
摆放，构造一个正方形；其中5
个如图
2
摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）．若图
1
和图2
中阴影部分的面积分别为
39
和
106，则每个小长方形的面积为___．
7．（2020·福建省惠安科山中学月考）用四块长为acm、宽为bcm的矩形材料（如图1）拼成一个大矩形（如图2）或大正方形（如图3），中间分别空出一个小矩形A和一个小正方形B．
（1）求（如图1）矩形材料的面积；（用含a，b的代数式表示）
（2）通过计算说明A、B的面积哪一个比较大；
（3）根据（如图4），利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式．
8．（2020·江苏新沂·初一期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．
9．（2020·四川成华·初一期末）图1和图2的大正方形都是由一些长方形和小正方形组成的．观察图形，完成下列各题：
(1)如图1，求S大正方形的方法有两种：S大正方形=(x+y)2，同时，S大正方形=S①+S②+S③+S④=
．所以图1可以用来解释等式：
；同理图2可以用来解释等式：
．
(2)已知a+b+c=6，ab+bc+ca=11，利用上面得到的等式，求a2+b2+c2的值．
10．（2020·山东中区·初一期末）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2
＝a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23＝32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32
尝试解决：
（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33＝
．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
（3）问题拓广：
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝
．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
11．（2020·浙江新昌·初一期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是________．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式．如果不能，请说明理由．
12．（2020·河北邢台·初一月考）若x满足(x－4)
(x－9)＝6，求(x－4)2+(x－9)2的值．
解：设x－4＝a，x－9＝b，则(x－4)(x－9)＝ab＝6，a－b＝(x－4)－(x－9)＝5，
∴(x－4)2+(x－9)2＝a2+b2＝(a－b)2＋2ab＝52＋2×6＝37
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足(x－2)(x－5)＝10，求(x－2)2
+
(x－5)2的值
(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．
13．（2020·浙江衢州·初一期中）（阅读材料）
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（理解应用）
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．
（拓展升华）
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
考点4：求完全平方公式的字母系数
典例：（2020·沈阳市第一二七中学期中）如果二次三项式x2﹣16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（
）
A．±8
B．4
C．±4
D．8
方法或规律点拨
本题考查了完全平方公式．能够掌握完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．
巩固练习
1．（2020·长春市第五十二中学月考）若是完全平方式，则的值是（
）
A．
B．
C．或
D．或
2．（2020·绍兴市长城中学期中）若x2﹣2(k﹣1)x+4是完全平方式，则k的值为（
）
A．±1
B．±3
C．﹣1或3
D．1或﹣3
3．（2020·达州市通川区第八中学期中）若(x-2y)2
=(x+2y)2+M,则M=
(
)
A．4xy
B．-
4xy
C．8xy
D．-8xy
4．（2020·四川巴州·期末）若是完全平方式，则的值应为（
）
A．3
B．6
C．
D．
5．（2019·南阳市第三中学月考）如果整式恰好是一个整式的平方，那么的值是（）
A．±3
B．±4.5
C．±6
D．9
6．（2020·广东高州·期中）已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为_____________
7．（2020·山东长清·期中）若x2﹣mx+9是个完全平方式，则m的值是__．
8．（2020·达州市通川区第八中学期中）已知是完全平方式，则△＝_______．
9．（2020·达州市通川区第八中学期中）若9x2+kx+1是一个完全平方式，则k＝_____．
10．（2020·广西百色·期末）在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是______（只写出一个即可）．
11．（2020·江苏盱眙·期末）若是关于的完全平方式，则的值是______．
考点5：应用完全平方公式求值
典例：（2020·福建宁化·期末）已知有理数，满足，．
（1）求的值；
（2）求的值．
方法或规律点拨
本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题关键是整体思想的应用．
巩固练习
1．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）已知a+b＝3，ab＝，则（a+b）2的值等于（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
2．（2020·达州市通川区第八中学期中）已知|x+y+5|+（xy﹣6）2＝0，则x2+y2的值等于（ ）
A．1
B．13
C．17
D．25
3．（2019·河北涿鹿·期末）若a+b=0，ab=11，则a2－ab+b2的值为（
）
A．33
B．－33
C．11
D．－11
4．（2020·重庆南开中学期末）若，，则__________．
5．（2019·江西南康·其他）已知实数a，b满足，则=______．
6．（2020·甘肃镇原·初二期末）已知，则的值为__________．
7．（2020·山东济阳·初一期末）已知，ab=6
，则a2+b2的值是__________
．
8．（2019·河北石家庄·初一期末）若，，则的值为_________．
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）
考点6：配方法及其应用
典例：（2020·四川成都·初一期末）(1)已知：a(a+1)﹣(a2+b)=3，a(a+b)+b(b﹣a)=13，求代数式ab的值．
(2)已知等腰ABC的两边分别为a、b，且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58=0，求ABC的周长．
方法或规律点拨
本题主要考查了完全平方公式，三角形三边关系，非负数的性质，等腰三角形的定义和整式的混合运算，（1）正确将已知条件变形是解题关键，（2）利用配方法配方得出a和b的值是关键．
巩固练习
1．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）已知-2x-6y+10＝0，则的值为（ ）
A．
B．9
C．1
D．99
2．（2020·全国初二课时练习）代数式的值（
）
A．大于或等于零
B．小于零
C．等于零
D．大于零
3．（2020·湖州市第四中学教育集团期中）若a，b都是有理数，且a2﹣2ab+2b2+4b+4＝0，则＝_____．
4．（2020·兴县教育科技局教学研究室期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），则有．，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得_____，_______；
（2）试着把写成一个完全平方式：；
（3）若是的立方根，是的平方根，试计算：．
5．（2020·泉州市第六中学初二期中）回答下列问题
(1)填空：x2+＝(x+)2﹣_____＝(x﹣)2+_____.
(2)若a+＝5，则a2+＝_____；
(3)若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值.
6．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）已知，则=______．
7．（2020·贵州石阡·期末）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
∵，
当时，的值最小，最小值是0，
∴
当时，的值最小，最小值是1，
∴的最小值是1.
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）当x=______时，代数式的最小值是______；
（2）若，当x=______时，y有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
（3）若，求的最小值.
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，求
9．（2019·河北安平·初二期末）阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下：
∵，由，得；
∴代数式的最小值是4.
（1）仿照上述方法求代数式的最小值.
（2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.
10．（2020·广西兴宾·初一期中）阅读下列材料，解答问题：
例：已知a－b=3，ab=2，求a2＋b2的值．
解：方法1：a2＋b2=(a－b)2＋2ab=32＋4=13
方法2：∵a－b=3
∴(a－b)2=32
即a2－2ab＋b2=9
a2＋b2=9＋2ab=9+4=13
请选择任意一种解题方法解决下列问题．
（1）已知a＋b=6，ab=－3，求代数式a2＋b2的值；
（2）已知a＋b=－2，ab=－1，求代数式(a－b)2的值．
11．（2020·全国初二课时练习）观察例题，然后回答：例：，则________．
解：由，得，即
所以：
通过你的观察你来计算：当时，求下列各式的值：
（1）；（2）．
考点7：乘法公式的混合运算
典例：（2020·重庆南开中学开学考试）化简求值：，其中满足
方法或规律点拨
本题主要考查了整式的化简及求值，利用绝对值的非负性求字母的值，并具体考查整式的加减乘除远算法则，完全平方公式和平方差公式的应用．
巩固练习
1．（2020·沈阳市第一二七中学期中）先化简，再求值．
，其中，．
2．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）先化简，再求值：，其中，．
2．（2020·辽宁北镇·期末）先化简，再求值：，其中，．
3．（2020·思南县张家寨初级中学期末）先化简，再求值：2（a+b）（a-b）-+．其中a=2，b=．
4．（2020·苏州市吴江区同里中学期末），其中x＝－1，y＝2．
5．（2020·辽宁昌图·期末）先化简，再求值：，其中
6．（2020·江苏江阴·初一期末）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（3x﹣y）2+5（x+y）（x﹣y），其中x＝，y＝2．
7．（2020·四川郫都·初一期末）先化简，再求值：[（x﹣3y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣x（2x﹣5y）]+（﹣y），其中x＝﹣2，y＝﹣3．
8．（2020·株洲景炎学校初一期中）（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中，
9．（2020·江苏南京·初一期中）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x＋2y）（x﹣2y），其中x＝﹣1，y＝．
10．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）化简求值：，其中，.
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