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专题14.3
因式分解
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·江苏常州·期中）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·辽宁昌图·初二期末）下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．3x﹣2与6x2﹣4x
B．ab﹣ac与ab﹣bc
C．2（a﹣b）2与3（b﹣a）3
D．mx﹣my与ny﹣nx
3．（2020·山东历城·期中）如图，边长为，的矩形的周长为14，面积为10，则的值为（
）.
A．140
B．70
C．35
D．24
4．（2021·浙江长兴·开学考试）下列四个多项式中，能因式分解的是（
）
A．a2+1
B．a2-6a+9
C．x2+5y
D．x2-5y
5．（2020·黑龙江香坊·初二期末）如果，那么的值为（
）．
A．9
B．
C．
D．5
6．（2020·广西平桂·其他）下列因式分解正确的是（
)
A．
B．
C．
D．
7．（2020·江苏省南菁高级中学实验学校初一其他）已知有一个因式为，则另一个因式为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学月考）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·湖南涟源·期末）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（
）
A．x2+2x﹣1
B．
x2﹣x
+
C．x2+xy+y2
D．9+x2﹣3x
10．（2020·广西百色·期末）式子因式分解的最后结果是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2019·四川锦江·初一期末）将变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2019·重庆八中初二课时练习）已知，，则代数式的值为（
）
A．4
B．
C．
D．
13．（2018·上海市延安初级中学初一期末）已知，，，那么的值是（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2019·山东沂源·初二期中）设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·江苏常州·期中）已知，，则___________．
16．（2020·辽宁沈阳·其他）分解因式：x3﹣16x＝______．
17．（2020·重庆月考）已知：关于x的二次三项式是完全平方式，则常数k等于______．
18．（2020·扬州市梅岭中学月考）对于x2﹣3在有理数范围内不能进行因式分解，但，故，这就把x2﹣3在实数范围内进行了因式分解．按照这个思路，2a2﹣14在实数范围内因式分解的结果是______．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·江苏海州·初一期末）将下列各式因式分解：
（1）x3﹣x；
（2）x4﹣8x2y2+16y4．
20．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）利用因式分解进行计算：
(1)2003×99－27×11；
(2)13.7×＋19.8×－2.5×.
21．（2020·陕西横山·期末）已知，，求下列式子的值：
（l）；
（2）．
22．（2020·河北中考真题）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，，两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
23．（2020·广东禅城·期末）（1）现
在的“互联网
+”时代，密码与我们的生活己经密不可分，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：利用多项式的分解因式结果，
如，将多项式因式分解，当其结果写成时，如x=18时，，此时可以得到数字密码171920．
根据上式方法，当x=21，y=7时，对于多项式分解因式后可以形成那些数字密码？（请写出三组）
（2）可以被60和70之间的两个数整除，求这两个数．
24．（2019·河南太康·期中）下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了
．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？
（填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果
．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
25．（2019·河北南宫·期末）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题，
已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值
解法一：设2x3﹣x2+m＝x+m＝（2x+1）（x2+ax+b）
则2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得∴m＝．
解法二：设2x3﹣x2+m＝A（2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算取x＝，，故m＝
选择恰当的方法解答下列各题
（1）已知关于的多项式x2+mx﹣15有一个因式是x﹣3，m＝
．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值：
（3）已知x2+2x+1是多项式x3﹣x2+ax+b的一个因式，求a，b的值，并将该多项式分解因式．
26．（2020·河北高阳·期末）先阅读下列材料，再回答问题：
材料：因式分解：
解：将“”看成整体，令，则
原式=
再将“”还原，原式．
上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：
（2）因式分解：．
（3）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方．
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专题14.3
因式分解
(
条
码
粘
贴
处
（正面朝上贴在此虚线框内）
)
姓名：______________班级：______________
准考证号
(
注意事项
1
、
答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2
、
请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
3
、
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4
、
请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
6
、填涂样例
正确
[
■
]
错误
[
--
][
√
]
[
×
]
)
(
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记
！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
)
选择题（请用2B铅笔填涂）
１、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
２、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
３、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
４、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
５、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
６、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
７、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
８、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
９、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
10、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
11、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
12、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
13、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
14、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
非选择题（请在各试题的答题区内作答）
15题、
16题、
17题、
18题、
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
25题、
26题、
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专题14.3
因式分解
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·江苏常州·期中）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：A.
，不是因式分解，此项错误；
B.
中，不是因式分解，此项错误；
C.
，不是因式分解，此项错误；
D.
，是因式分解，此项正确．
故选：D．
2．（2020·辽宁昌图·初二期末）下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．3x﹣2与6x2﹣4x
B．ab﹣ac与ab﹣bc
C．2（a﹣b）2与3（b﹣a）3
D．mx﹣my与ny﹣nx
【答案】B
【解析】解：A、6x2﹣4x＝2x（3x﹣2），3x﹣2与6x2﹣4x有公因式（3x﹣2），故本选项不符合题意；
B、ab﹣ac＝a（b﹣c）与ab﹣bc＝b（a﹣c）没有公因式，故本选项符合题意；
C、2（a﹣b）2与3（b﹣a）3有公因式（a﹣b）2，故本选项不符合题意；
D、mx﹣my＝m（x﹣y），ny﹣nx＝﹣n（x﹣y），mx﹣my与ny﹣nx有公因式（x﹣y），故本选项不符合题意．
故选：B．
3．（2020·山东历城·期中）如图，边长为，的矩形的周长为14，面积为10，则的值为（
）.
A．140
B．70
C．35
D．24
【答案】B
【解析】根据题意可得：2(a+b)=14，ab=10
则
故答案选择：B.
4．（2021·浙江长兴·开学考试）下列四个多项式中，能因式分解的是（
）
A．a2+1
B．a2-6a+9
C．x2+5y
D．x2-5y
【答案】B
【解析】
A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、D不能因式分解；
B是完全平方公式的形式，故B能分解因式；
故选B．
5．（2020·黑龙江香坊·初二期末）如果，那么的值为（
）．
A．9
B．
C．
D．5
【答案】C
【解析】∵，
∴．
故选：C．
6．（2020·广西平桂·其他）下列因式分解正确的是（
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】Ａ．，故Ａ．正确；
Ｂ．，故Ｂ．错误；
Ｃ．，故Ｃ．错误；
Ｄ．，故Ｄ．错误
故选:A
7．（2020·江苏省南菁高级中学实验学校初一其他）已知有一个因式为，则另一个因式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：设另一个因式为（x＋a），
则x2?5x＋m＝（x?2）（x＋a），即x2?5x＋m＝x2＋（a?2）x?2a，
∴a?2＝?5，
解得：a＝?3，
∴另一个因式为（x?3）．
故选：C．
8．（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学月考）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：A、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B、不能运用平方差公式分解，故此选项错误：
C、能运用平方差公式分解，故此选项正确：
D、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故答案为C．
9．（2020·湖南涟源·期末）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（
）
A．x2+2x﹣1
B．
x2﹣x
+
C．x2+xy+y2
D．9+x2﹣3x
【答案】B
【解析】A.
x2+2x﹣1不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意;
B.
x2﹣x
+=(
x-)2，能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意;
C.
x2+xy+y2不能直接用完全平方公式进行因式分解,故此选项不合题意;
D.
9+x2
-
3x不能直接用完全平方公式进行因式分解,故此选项不合题意;
故选B
.
10．（2020·广西百色·期末）式子因式分解的最后结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
==，
故选：A.
11．（2019·四川锦江·初一期末）将变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】原式=（200+2）（200-2）
=
=
故选A.
12．（2019·重庆八中初二课时练习）已知，，则代数式的值为（
）
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：因为，，
∴
，
将，代入得：，
故选：D．
13．（2018·上海市延安初级中学初一期末）已知，，，那么的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵，，，
∴=a(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a-c)
=(2017x+2016-2017x-2017)×(2017x+2016-2017x-2018)=-1×(-2)=2．
故选：A．
14．（2019·山东沂源·初二期中）设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】解：∵a3-b3=a2b-ab2+ac2-bc2，
∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0，
（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，
a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，
（a-b）（a2+b2-c2）=0，
所以a-b=0或a2+b2-c2=0．
所以a=b或a2+b2=c2．
故选：D.
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·江苏常州·期中）已知，，则___________．
【答案】－8
【解析】解：∵，
而，，
∴原式，
故答案为：．
16．（2020·辽宁沈阳·其他）分解因式：x3﹣16x＝______．
【答案】x（x+4）（x–4）.
【解析】解：原式=x（x2﹣16）=x（x+4）（x﹣4），
故答案为x（x+4）（x﹣4）．
17．（2020·重庆月考）已知：关于x的二次三项式是完全平方式，则常数k等于______．
【答案】16
【解析】解：二次三项式是完全平方式，
16
故答案为：16．
18．（2020·扬州市梅岭中学月考）对于x2﹣3在有理数范围内不能进行因式分解，但，故，这就把x2﹣3在实数范围内进行了因式分解．按照这个思路，2a2﹣14在实数范围内因式分解的结果是______．
【答案】
【解析】解：2a2﹣14
＝2（a2﹣7）
＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·江苏海州·初一期末）将下列各式因式分解：
（1）x3﹣x；
（2）x4﹣8x2y2+16y4．
【答案】（1）x（x+1）（x﹣1）；（2）（x+2y）2（x﹣2y）2．
【解析】解：（1）原式＝x（x2﹣1）
＝x（x+1）（x﹣1）；
（2）原式＝（x2﹣4y2）2
＝（x+2y）2（x﹣2y）2．
20．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）利用因式分解进行计算：
(1)2003×99－27×11；
(2)13.7×＋19.8×－2.5×.
【答案】(1)198000；(2)17.
【解析】（1）原式=2003×99－3×99=99×(2003－3)=99×2000=198000；
（2）原式=×(13.7＋19.8－2.5)=×31=17．
21．（2020·陕西横山·期末）已知，，求下列式子的值：
（l）；
（2）．
【答案】（1）12；（2）144
【解析】
解：（1）
∵，，
∴；
（2）
，
∴．
22．（2020·河北中考真题）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，，两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【答案】（1）；；（2）；和不能为负数，理由见解析．
【解析】解：（1）A区显示结果为：
，
B区显示结果为：；
（2）初始状态按4次后A显示为：
B显示为：
∴A+B=
=
=
∵恒成立，
∴和不能为负数．
23．（2020·广东禅城·期末）（1）现
在的“互联网
+”时代，密码与我们的生活己经密不可分，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：利用多项式的分解因式结果，
如，将多项式因式分解，当其结果写成时，如x=18时，，此时可以得到数字密码171920．
根据上式方法，当x=21，y=7时，对于多项式分解因式后可以形成那些数字密码？（请写出三组）
（2）可以被60和70之间的两个数整除，求这两个数．
【答案】（1）数字密码是211428；212814；142128；（2）这两个数是63，65．
【解析】
当
x=21，y=7
时，x?y=14，x+y=28
可得数字密码是
211428；也可以是
212814；142128；
(2)
248?1＝（224＋1）（224?1），
＝（224＋1）（212＋1）（212?1），
＝（224＋1）（212＋1）（26＋1）（26?1）；
∵26＝64，
∴26?1＝63，26＋1＝65，
∴这两个数是65、63．
24．（2019·河南太康·期中）下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了
．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？
（填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果
．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）不彻底，（x﹣1）4；（3）（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16＝（x﹣2）4
【解析】（1）运用了两数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）原式=，
故答案为：不彻底，；
（3）设，
原式
，
即．
25．（2019·河北南宫·期末）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题，
已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值
解法一：设2x3﹣x2+m＝x+m＝（2x+1）（x2+ax+b）
则2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得∴m＝．
解法二：设2x3﹣x2+m＝A（2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算取x＝，，故m＝
选择恰当的方法解答下列各题
（1）已知关于的多项式x2+mx﹣15有一个因式是x﹣3，m＝
．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值：
（3）已知x2+2x+1是多项式x3﹣x2+ax+b的一个因式，求a，b的值，并将该多项式分解因式．
【答案】（1）2；（2）m＝﹣5，n＝20；（3）a＝﹣5，b＝﹣3，该多项式分解因式为：x3﹣x2﹣5x﹣3＝（x﹣3）（x+1）2
【解析】解：（1）由题设知：x2+mx﹣15＝（x﹣3）（x+n）＝x2+（n﹣3）x﹣3n，
故m＝n﹣3，﹣3n＝﹣15，
解得n＝5，m＝2．
故答案为2；
（2）设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
分别令x＝1和x＝2得：
，
解得：，
∴m＝﹣5，n＝20；
（3）设x3﹣x2+ax+b＝（x+p）（x2+2x+1），
∵（x+p）（x2+2x+1）
＝x3+（2+p）x2+（1+2p）x+p，
∴，
解得：，
∴多项式x3﹣x2+ax+b＝x3﹣x2﹣5x﹣3，
∴x3﹣x2﹣5x﹣3
＝（x﹣3）（x2+2x+1）
＝（x﹣3）（x+1）2，
∴a＝﹣5，b＝﹣3，该多项式分解因式为：x3﹣x2﹣5x﹣3＝（x﹣3）（x+1）2．
26．（2020·河北高阳·期末）先阅读下列材料，再回答问题：
材料：因式分解：
解：将“”看成整体，令，则
原式=
再将“”还原，原式．
上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：
（2）因式分解：．
（3）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【解析】解：（1）
将“”看成整体，令，则
原式=
再将“”还原，原式．
（2）
将“”看成整体，令，则
原式=
再将“”还原，原式．
（3）证明：
=
=
将“”看成整体，令，则
原式=
再将“”还原，原式．
∴代数式的值一定是某一个整数的平方．
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