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专题14.3
因式分解
典例体系（本专题112题36页）
一、知识点
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解；（也叫做把这个多项式分解
因式）；
公因式：多项式的各项都有的一个公共因式；
因式分解的方法：
提公因式法：关键在于找出最大公因式
因式分解：
平方差公式：a?
-b?
=(a
+
b)(a
-
b)
公式法
完全平方公式：(a
+
b)?
=
a?
+
2ab
+b?
(a
-
b)?
=
a?
+
2ab
+b?
二、考点点拨与训练
考点1：用提公因式法因数分解
典例：63．（2020·山东中区·初二期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是
，共应用了
次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2019，则需应用上述方法
次，结果是
．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是
．
【答案】（1）提公因式法；2；（2）2019；（x+1）2020；（3）（x+1）n+1.
【解析】（1）因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次；
故答案为提公因式法，2；
（2）1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019
=(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(x+1)2018]
=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)
+…+x(x+1)2017]
….
=(1+x)2020
则需应用上述方法2019次，结果是(1+x)2020；故答案为2019，(1+x)2020；
(3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n
=(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(x+1)n-1]
=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)
+…+x(x+1)
n-2]]
….
=(1+x)n+1.
方法或规律点拨
本题考查因式分解-提公因式法，解题的关键是掌握因式分解-提公因式法.
巩固练习
1．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）把多项式m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）因式分解，结果正确的是（ ）
A．（a﹣2）（m2﹣m）
B．m（a﹣2）（m+1）
C．m（a﹣2）（m﹣1）
D．m（2﹣a）（m+1）
【答案】C
【解析】解：m2(a﹣2)﹣m(a﹣2)
＝m(a﹣2)(m﹣1)．
故选：C．
2．（2020·重庆月考）一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为________．
【答案】30
【解析】解：长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，
，，
故，
则．
故答案为30．
3．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）分解因式：ab﹣b＝_____．
【答案】b（a﹣1）
【解析】原式＝b（a﹣1），
故答案为：b（a﹣1）．
4．（2019·广东潮州·其他）分解因式：x2y﹣2xy＝_____．
【答案】xy（x﹣2）
【解析】解：x2y﹣2xy＝xy（x﹣2）．
故答案为xy（x﹣2）．
5．（2020·山东东明·期末）若，则代数式的值为_________．
【答案】－2
【解析】∵xy＝2，x?y＝1，
∴代数式?x2y＋xy2＝?xy（x?y）＝?2×1＝?2．
故答案为：?2．
6．（2020·安徽省安庆市外国语学校期末）因式分解：_________.
【答案】a(a-4)
【解析】a2﹣4a=a（a﹣4）．
故答案为a（a﹣4）．
7．（2020·四川开江·期末）因式分解：____．
【答案】
【解析】解：原式=
故答案为．
8．（2020·江西省南丰县教育局教学研究室一模）分解因式：
.
【答案】
【解析】直接提取公因式即可：．填：.
9．（2020·山东日照·中考真题）分解因式：mn+4n＝_____．
【答案】n（m+4）
【解析】解：mn+4n＝n（m+4）．
故答案为：n（m+4）．
10．（2021·温州市第二十三中学初三开学考试）因式分解：________．
【答案】．
【解析】解：a2-2a=a(a-2).
故答案为a(a-2)．
11．（2020·陕西城固·初二期末）分解因式；x2﹣16x＝______．
【答案】x（x﹣16）
【解析】解：原式＝x（x﹣16）．
故答案为：x（x﹣16）．
考点2：由因式分解的结果求参数
典例：（2018·安徽初一期中）已知多项式kx2-6xy-8y2可写成（2mx+2y）(x-4y)的形式，求k，m的值．
【答案】k=2，m=1．
【解析】解：∵多项式kx2-6xy-8y2可写成（2mx+2y）（x-4y）的形式，
∴kx2-6xy-8y2=（2mx+2y）（x-4y），
=2mx2-8mxy+2xy-8y2，
=2mx2-（8m-2）xy-8y2，
∴8m-2=6，
解得：m=1，
故k=2，m=1．
方法或规律点拨
此题主要考查了多项式乘以多项式，正确得出m的值是解题关键．
巩固练习
1．（2020·福建宁德·初二期末）多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），则m的值是（ ）
A．4
B．﹣4
C．10
D．﹣10
【答案】B
【解析】解：∵多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），
∴m＝﹣7+3＝﹣4．
故选：B．
2．（2020·江苏相城·初一期末）若代数式x2﹣mx+4因式分解的结果是（x+2）2，则m的值是（ ）
A．﹣4
B．4
C．﹣2
D．±4
【答案】A
【解析】解：因为（x+2）2＝x2+4x+4，
所以m的值为：﹣4．
故选：A．
3．（2020·贵州铜仁·初一期末）多项式可因式分解为，则的值为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：∵==x2-5x+6，
∴m=-5
故选D
4．（2019·四川大邑·初二期末）已知多项式x2+bx+c分解因式为（x+3）（x﹣1），则b、c的值为（ ）
A．b＝3，c＝﹣2
B．b＝﹣2，c＝3
C．b＝2，c＝﹣3
D．b＝﹣3，c＝﹣2
【答案】C
【解析】解：根据题意得：x2+bx+c＝(x+3)(x-1)＝x2+2x-3，
则b＝2，c＝﹣3，
故选：C．
5．（2020·山东中区·济南外国语学校初二期中）已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．﹣4
B．﹣2
C．2
D．4
【答案】A
【解析】解：根据题意得：x2+ax﹣6＝（x+2）（x+b）＝x2+（b+2）x+2b，
∴a＝b+2，2b＝﹣6，
解得：a＝﹣1，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣1﹣3＝﹣4，
故选：A．
6．（2020·江苏广陵·初一期中）若，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：∵，
∴（3x+2）（x+p）=3x2+（3p+2）x+2p=mx2-nx-2，
∴m=3，p=-1，3p+2=-n，
∴n=1，
故选B.
7．（2020·重庆南开中学期末）若，则__________．
【答案】-3
【解析】解：∵x2+x+m=（x-2）（x+n）=x2+（n-2）x-2n，
∴n-2=1，m=-2n，
解得n=3，m=-2×3=-6，
∴m+n=-6+3=-3．
故答案为-3．
8．（2020·江苏南京·初一期中）若x2＋ax﹣2＝（x﹣1）（x＋2），则a＝_____．
【答案】1
【解析】由题意知，a＝﹣1＋2＝1；
故答案是：1．
9．（2020·黑龙江虎林·初二期末）多项式kx2－9xy－10y2可分解因式得(mx＋2y)(3x－5y)，则k=_______，m=________．
【答案】k=9
m=3
【解析】解：∵kx2-9xy-10y2=（mx+2y）（3x-5y），
∴kx2-9xy-10y2=3mx2-5mxy+6xy-10y2=3mx2-（5mxy-6xy）-10y2，
∴
解得：
故答案为：9，3．
10．（2020·常德市淮阳中学初一期中）若多项式可以因式分解成，那么a=_____．
【答案】1
【解析】解：，
即，
，
解得：．
故答案为：1．
11．（2019·深圳市罗湖外语学校初中部初二期中）多项式因式分解得，则a=_______，b=________．
【答案】6
1
【解析】解：∵（x+5）（x+b）=x2+（b+5）x+5b，∴x2+ax+5=x2+（b+5）x+5b．
∴
解得
故答案为：6；1．
考点3：用平方差公式因式分解
典例：（2020·思南县张家寨初级中学期末）因式分解：
(1)
；
(2)
．
【答案】（1），（2）
【解析】（1）
=
=；
（2）
=
=．
方法或规律点拨
本题考查了运用提公因式法和平方差公式法分解因式，难度不大，属于基础题，熟练掌握基本运算公式和方法是解答的关键．
巩固练习
1．（2020·陕西横山·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2
B．﹣x2+16y2
C．﹣a2﹣4b2
D．a﹣4b2
【答案】B
【解析】解：A、是a、2b平方的和，不能用平方差公式分解因式；故此选项错误；
B、﹣x2+16y2＝（4y）2﹣x2是4y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式,故此选项正确；
C、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故此选项错误；
D．a不是平方形式，故不能因式分解，故此选项错误．
故选B．
2．（2020·湖南邵阳·期末）（______）．
【答案】x+2
【解析】解：∵x2-4=（x+2）（x-2），
∴（x+2）（x-2）=x2-4．
故答案为：x+2．
3．（2020·全国月考）因式分解：a2b﹣25b＝_____．
【答案】b（a﹣5）（a+5）
【解析】解：a2b﹣25b＝b（a2﹣25）＝b（a﹣5）（a+5），
故答案为：b（a﹣5）（a+5）．
4．（2020·深圳市福田区南华实验学校其他）
因式分解：（x+2）2﹣9＝_____．
【答案】
【解析】解：（x+2）2﹣9
＝（x+2+3）（x+2﹣3）
＝（x+5）（x﹣1）．
故答案为：（x+5）（x﹣1）．
5．（2020·广东高州·期中）在实数范围内分解因式：a4﹣4＝_____．
【答案】（a2+2）（a+）（a-）
【解析】解：原式=a4-22=（a2+2）（a2-2）=（a2+2）（a+）（a-）．
故答案为：．
6．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）如果，，那么______.
【答案】-900
【解析】原式=
∵，
∴原式=
7．（2019·四川南充·一模）把分解因式，结果是
_________．
【答案】
【解析】解：
=
故答案为：
8．（2021·浙江瑞安·开学考试）若是方程组的解，则代数式的值是_______．
【答案】35
【解析】解：∵
是方程组的解，
∴
，
∴
，
故填：35．
考点4：用完全平方公式因式分解
典例：（2020·沈阳市第一二七中学期中）如果二次三项式x2﹣16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（
）
A．±8
B．4
C．±4
D．8
【答案】A
【解析】解：∵﹣16x＝﹣2×8?x，
∴m2＝82＝64，
解得m＝±8．
故选：A．
方法或规律点拨
本题考查了完全平方公式．能够掌握完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．
巩固练习
1．（2020·湖南期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A．
，故正确；
B．
，故正确；
C．
，故正确；
D．
，故错误．
故选D．
2．（2020·重庆月考）下列多项式中，不能进行因式分解的是（
）
A．﹣a2+b2
B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2a
D．a2﹣2ab+b2﹣1
【答案】B
【解析】解：A、两个平方项异号，可用平方差公式进行因式分解，故A正确；
B、两个平方项同号，不能运用平方差公式进行因式分解，故B错误；
C、可先运用提公因式法，再运用十字相乘法，原式=a（a2-3a+2）=a（a-1）（a-2），故C正确；
D、可先分组，再运用公式法，原式=（a-b）2-1=（a-b+1）（a-b-1），故D正确．
故选B．
3．（2020·思南县张家寨初级中学期末）已知x2＋kx＋25可以用完全平方公式进行因式分解，那么k的值是（
）
A．5
B．±5
C．10
D．±10
【答案】D
【解析】解：因为x2＋kx＋25可以用完全平方公式进行因式分解，
所以x2＋kx＋25=，所以．
故选：D．
4．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）下列各式能分解因式的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，故无法分解因式；
，可分解因式；
和均无法分解因式；
故选：B．
5．（2020·吉林市舒兰市教育局初三开学考试）分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( )
A．(x－1)(x－2)
B．x2
C．(x＋1)2
D．(x－2)2
【答案】D
【解析】解：(x－1)2－2(x－1)＋1=(x－1－1)2=(x－2)2
故选：D
6．（2020·银川唐徕回民中学二模）分解因式：2x3-8x2y+8xy2=______．
【答案】2x(x-2y)2
【解析】原式＝2x（x2﹣4xy+4y2）＝2x（x﹣2y）2，
故答案为：2x(x﹣2y)2
7．（2020·广东高州·期中）分解因式：x2﹣8x+16＝_____．
【答案】（x﹣4）2
【解析】x2-8x+16，
=x2-2×4×x+42，
=（x-4）2．
故答案为：（x-4）2．
8．（2020·江苏徐州·期末）因式分解：__________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
9．（2020·江苏初三一模）分解因式：（a+b）2﹣4ab=
．
【答案】（a﹣b）2．
【解析】解：（a+b）2﹣4ab
=a2+2ab+b2﹣4ab
=a2+b2﹣2ab
=（a﹣b）2．
故答案为（a﹣b）2．
10．（2020·湖南期末）因式分解：__________．
【答案】
【解析】解：
故答案为：．
11．（2020·思南县张家寨初级中学期末）分解因式：x3y－2x2y2＋xy3＝____．
【答案】
【解析】
解：x3y－2x2y2＋xy3＝．
故答案为：．
12．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）把下列各式进行因式分解
（1）
（2）
【答案】（1）2(2xy+3)(2xy－3)；（2）ab(a－1)2．
【解析】解：(1)原式=2(4x2y2－9)=2(2xy+3)(2xy－3)；
(2)原式=ab(a2－2a+1)
=ab(a－1)2．
13．（2020·黑龙江哈尔滨·初三一模）分解因式：
【答案】
【解析】原式．
14．（2020·湖南永州·初一期末）因式分解：
(1)
；(2)
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）=；
（2）原式=．
15．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）把分解因式，并求时的值．
【答案】，16．
【解析】原式，
，
，
当时，原式．
考点5：综合应用提公因式法和公式法进行因式分解
典例：（2020·福建宁化·期末）已知有理数，满足，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）（x+1）（y+1）
=xy+（x+y）+1
=
=；
（2）x2+y2
=（x+y）2-2xy
=
=．
方法或规律点拨
本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题关键是整体思想的应用．
巩固练习
1．（2020·湖南邵阳·期末）把因式分解．
【答案】
【解析】解：
原式=
=
2．（2020·湖南期末）因式分解：a2（x﹣y）+b2（y﹣x）
【答案】
【解析】解：原式
3．（2020·江苏梁溪·期末）把下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式
（2）原式
4．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）分解因式：
（1）x3﹣x；
（2）2a2﹣4a+2；
（3）m4﹣2m2+1．
【答案】（1）x(x+1)(x﹣1)；（2）2(a﹣1)2；（3）(m+1)2(m﹣1)2
【解析】解：（1）原式＝x(x2-1)
＝x(x+1)(x-1)；
（2）原式＝2(a2-2a+1)
＝2(a﹣1)2；
（3）原式＝(m2﹣1)2
＝(m+1)2(m﹣1)2．
5．（2020·江苏盱眙·期末）因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）（3a+5b）（x－y）；（2）ab（b-5a）2
【解析】解：（1）
（2）
6．（2021·浙江长兴·开学考试）已知，求
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1）2；（2）18
【解析】解：（1），
，
又，
；
（2）由（1）得：
，
∴=xy(x?-2xy+y?)=xy(x-y)?=2×9=18．
7．（2020·苏州市吴江区同里中学期末）因式分解：
(1)3m2n-12mn+12n；
(2)a2(x-y)+9(y-x)
【答案】（1）3n(m-2)2；（2）(x-y)(a+3)(a-3)
【解析】解：（1）3m2n-12mn+12n
=3n(m2-4m+4)
=3n(m-2)2；
（2）a2(x-y)+9(y-x)
=(x-y)
(a2-9)
=(x-y)(a+3)(a-3)．
8．（2020·西藏日喀则·期末）已知
a+b=3，ab
=
2，求代数式
a3b+2a2b2+ab3
的值．
【答案】，18
【解析】解：
．
将，代入得，
原式．
9．（2019·陕西商州·初二期末）先因式分解，再求值：a3b+a2b2+ab3，其中a＝2，b＝3．
【答案】ab（a+b）2，代数式的值是75．
【解析】解:原式＝
＝ab（a+b）2
把a＝2，b＝3代入式子得：＝75
故代数式的值是75．
考点6：利用因式分解进行简便计算
典例：（2019·湖南邵东·初一期中）计算：
①2032﹣203×206+1032
②20192﹣2018×2020．
【答案】①10000；②1．
【解析】解：①原式＝2032﹣2×203×103+1032
＝（203﹣103）2
＝1002
＝10000；
②原式＝20192﹣（2019﹣1）×（2019+1）
＝20192﹣（20192﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1．
方法或规律点拨
本题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：．完全平方公式：．
巩固练习
1．（2020·广西兴宾·初一期中）计算：的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：原式=
=
=
=．
故选：B．
2．（2020·全国初二课时练习）计算：1252-50×125+252=(
)
A．100
B．150
C．10000
D．22500
【答案】C
【解析】1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000．
故选C．
3．（2020·全国初二课时练习）计算：752-252=（
）
A．50
B．500
C．5000
D．7100
【答案】C
【解析】原式=（75+25）×（75-25）=100×50=5000，
故选C．
4．（2020·河南初二期末）已知，那么的值为（
）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021．
【答案】B
【解析】解：
∴
∴x=2019
故选：B．
5．（2020·河北定兴·初一期末）利用因式分解计算__________．
【答案】500
【解析】解：．
故答案为：500．
6．（2020·江苏锡山·初一期末）计算：__．
【答案】2
【解析】
．
故答案为：．
7．（2020·辽宁省丹东市第二十一中学初二期中）计算2018×512﹣2018×492的结果是_____．
【答案】403600
【解析】2018×512－2018×492
=2018×(512－492)
=2018×(51+49)
×(51-49)
=2018×100×2
=403600.
故答案为：403600
8．（2020·重庆沙坪坝·初三期末）计算：__________．
【答案】55
【解析】
=
=19+15+11+7+3
=55
故答案为：55
9．（2018·湖南靖州·初一期末）计算：6002-599×601=__________．
【答案】1
【解析】解：．
故答案为：1．
10．（2019·四川恩阳·期末）用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是_____．
【答案】1．
【解析】20082﹣4016×2007+20072，
＝20082﹣2×2008×2007+20072，
＝（2008﹣2007）2，
＝1．
11．（2019·河南遂平·初二期中）计算：__________.
【答案】10000
【解析】解：原式=
故答案为：10000.
12．（2020·沭阳县马厂实验学校初一期中）利用因式分解计算：
（1）342+34×32+162
（2）38.92-2×38.9×48.9+48.92
【答案】（1）2500；（2）100．
【解析】解：（1）342+34×32+162=342+2×34×16+162=(34+16)2=502=2500；
（2）38.92-2×38.9×48.9+48.92=(38.9-48.9)2=(-10)2=100．
13．（2019·湖南芷江·初一期末）把分解因式．
把分解因式．
计算:
【答案】（1）2（x＋2）（x?2）（2）（8m＋3n）2（3）?1009
【解析】（1）2x3?8x
＝2（x2?4）
＝2（x＋2）（x?2）；
（2）＝[4（2m＋n）-n]2＝（8m＋3n）2；
（3）
＝
＝1?2＋3?4＋5?6＋…＋2017?2018
＝?1×1009
＝?1009．
考点7：利用十字相乘法进行因式分解
典例：（2019·河北涿鹿·期末）阅读与思考
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解
x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？
我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．所以x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．
上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．
这样我们也可以得到x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．
请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值．
【答案】（1）（y+4）（y﹣6）；（2）﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11
【解析】解：（1）y2﹣2y﹣24＝（y+4）（y﹣6）；
（2）若
，此时
若
，此时
若
，此时
若
，此时
若
，此时
，此时
综上所述，若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，
m的值可能是﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11．
方法或规律点拨
本题主要考查了十字相乘法分解因式，读懂题意，理解题中给出的例子是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·四川成都实外开学考试）计算结果为a2﹣5a﹣6的是（ ）
A．（a﹣6）（a+1）
B．（a﹣2）（a+3）
C．（a+6）（a﹣1）
D．（a+2）（a﹣3）
【答案】A
【解析】解：a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a+1）．
故选：A．
2．（2020·湖南鹤城·初一期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：，
，
，
结果中不含有因式的是选项D；
故选：D．
3．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，则，的值是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解析】解：由x2-4x-m=（x-5）（x-n），
得：-5-n=-4，（-5）（-n）=-m
所以n=-1，m=5．
故选：C．
4．（2020·全国初二课时练习）下列各式中，计算结果是的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】原式=（x－2）（x＋9）
故选D.
5．（2020·湖南茶陵·初一期末）分解因式x2+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请利用这种方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝_____．
【答案】（2x+1）（x﹣2）
【解析】
解：原式＝（2x+1）（x﹣2），
故答案为（2x+1）（x﹣2）
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
【答案】
【解析】
=．
7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】原式
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
【答案】
【解析】
=．
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】解：原式
．
10．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
【答案】
【解析】
=．
11．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解
【答案】
【解析】解：
12．（2019·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而
所以
而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式
例：分解因式
解：如图3，其中，，
而，，
所以
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：①
．
②
．
（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】（1）；；（2）61或-82．
【解析】解：（1）①如下图，其中，
所以，；
②如下图，其中，
而，
所以，；
（2）如下图，其中，
而
或，
∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82．
13．（2020·全国初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
考点8：利用分组分解法进行因式分解
典例：（2020·全国初二课时练习）将下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）原式
；
（2）原式
．
方法或规律点拨
本题考查了多项式的因式分解，正确变形、熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2019·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
【答案】3
【解析】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac
=
=
=
=3，
故答案为：3．
2．（2020·全国初二课时练习）分解因式：__________.
【答案】
【解析】解：原式=（a+b）2-22
=（a+b+2）（a+b-2），
故答案为：（a+b+2）（a+b-2）．
3．（2020·全国初二课时练习）分解因式：_______．
【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：
4．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为：；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）三边a，b，c满足，判断的形状.
【答案】（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等边三角形
【解析】解：（1）9x2-6xy+y2-16
=（3x-y）2-42
=（3x-y+4）（3x-y-4）；
（2）∵a2-ab-ac+bc=0
∴a（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a-c）=0，
∴a=b或a=c或a=b=c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．
5．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）先分解因式，再求值：，其中，．
【答案】，．
【解析】原式，
，
，
当，时，原式，
，
．
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）分解因式：
【答案】
【解析】解：
7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】解：原式
．
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】．
【解析】原式，
，
．
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
【答案】
【解析】解：原式
考点9：应用因式分解解决问题
典例：（2019·南阳市第三中学月考）阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴
∴
，而，，
∴
且，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则a=______；b=_________．
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足=0，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为________________．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且，求△ABC的周长．
【答案】（1）2,0；（2）①②③④；（3）7.
【解析】(1)已知等式整理得：
解得：a=2，b=0；
故答案为2；0；
(2)∵
①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．都正确.
故答案为①②③④
(3)∵
∴
∴
则a-1=0，b-3=0，解得：a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
则△ABC的周长为1+3+3=7．
方法或规律点拨
考查因式分解的应用，非负数的性质，几个非负数的和为0，则它们都为0.
巩固练习
1．（2019·广西玉林·期末）设
是三角形的三边长，且满足，关于此三角形的形状有以下判断：①是直角三角形；
②是等边三角形；
③是锐角三角形；④是钝角三角形，其中正确的说法的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】∵，
∴，
即，
∴，
∴此三角形为等边三角形，同时也是锐角三角形．
故选：B．
2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若、、为一个三角形的三条边，则的值（
）
A．一定为正数
B．一定为负数
C．可能为0
D．可能为正数，也可能为负数
【答案】B
【解析】解：首先运用因式分解，得：原式=（a-c+b）（a-c-b）．
再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
即a-c+b＞0，a-c-b＜0，两数相乘，异号得负，故代数式的值小于0．
故选：B．
3．（2020·丹阳市珥陵初级中学初一期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4，则当x2﹣2x﹣4＝0时，d的值为（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
【答案】D
【解析】解：∵x2﹣2x﹣4＝0，
∴x2﹣2x＝4，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4＝x2（x2﹣2x）+（x2﹣2x）﹣8x﹣4＝4x2+4﹣8x﹣4＝4（x2﹣2x）＝4×4＝16．
故选：D．
4．（2020·全国初二课时练习）若是三角形的三边长，则式子的值（?
?
?）.
A．小于0
B．等于0
C．大于0
D．不能确定
【答案】A
【解析】解：=(a-b+c)(a-b-c)
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
(a-c+b)(a-c-b)<0
故选A.
5．（2020·全国初二课时练习）若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则之值为何？（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：利用十字交乘法将因式分解，
可得：．
，，
．
故选：A．
6．（2020·河北河间·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．
(1)分解因式：；
(2)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状．
【答案】（1）；（2）△ABC的形状是等腰三角形；
【解析】（1）；
（2）∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的形状是等腰三角形.
7．（2020·山东平阴·初二期末）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．
即：
（m＋n）2＋（n－3）2＝0，
∴m＋n＝0，n－3＝0，
∴m＝－3，n＝3．
为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
（1）若x2－4xy＋5y2
＋2y＋1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长．
【答案】（1）-；（2）△ABC的周长为16或17.
【解析】（1）∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，
∴x2－4xy＋4y2?＋y2＋2y＋1＝0．
即：（x-2y）2＋（y+1）2＝0，
∴x-2y＝0，y+1＝0，
∴x＝－2，y＝-1，
∴xy=(-2)-1=-；
（2）∵a2－10a＋b2－12b＋61＝0，
∴a2－10a＋25＋b2－12b＋36＝0，
即：（a-5）2＋（b-6）2＝0，
∴a-5＝0，b-6＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵a、b、c是等腰△ABC的三边长，
∴当a=c=5时，△ABC的周长为5+5+6=16，
当b=c=6时，△ABC的周长为5+6+6=17，
故△ABC的周长为16或17．
8．（2020·山东章丘·初二期末）阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公园式，前、后两部分分别分解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
x2－4y2－2x＋4y
＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：
（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1)
；(2)等腰三角形，理由见解析．
【解析】解：(1)原式，
故答案为．
(2)∵
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴△ABC为等腰三角形．
故答案为等腰三角形．
9．（2020·渠县崇德实验学校初一期末）在学习整式乘法的拓展知识时，老师让各学习小组先阅读以下材料：若，求
m，
n
的值．
解：因为
所以（m?+2mn+n?）+（n?－6n+9）=0
即：（m+n)?+（n－3)?=0
所以解得
n＝3，m=－3
请你根据以上解题思路，发挥你的聪明才智，解决下列问题：求当
a，b
取何值时，代数式
a?+b?－
2a+4b+8
的值最小，最小值多少．
【答案】当a=1，b=-2时，有最小值，为3．
【解析】==，
∵，
，
∴当a=1，b=-2时，即有最小值，为3．
10．（2020·江阴市祝塘中学初一月考）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、字相乘法等等，将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解．
例如：
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式；
（2）三边a，b，c满足判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）是等腰三角形，理由见解析
【解析】解：（1）
=
=
=
（2）是等腰三角形，理由如下
∵
∴
∴
∴
∵a，b，c是△ABC的三边
∴
∴
∴
∴是等腰三角形
11．（2020·沙坪坝·重庆八中课时练习）若正整数是4的倍数，那么规定正整数为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”．
（1）已知正整数是任意两个连续偶数的平方差，求证：是“四季数”；
（2）已知一个两位正整数（，其中，为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数，若与的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数．
【答案】（1）见解析；（2）所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19
【解析】解：（1）证明：设任意两个连续偶数为2n和2n+2（n≥0，且为整数）
则p=(2n+2)2-(2n)2
=[(2n+2)+2n][(2n+2)-2n]
=(4n+2)×2
=4(2n+1)，
∵n≥0，且为整数，
∴2n+1必为正整数，
∴4(2n+1)一定是4的倍数，
∴P是“四季数”；
（2）由题意得：m=10y+x，
则m-k=10y+x-(10x+y)=4n(n≥0，且n为整数)，
∴9(y-x)=4n，
y-x=，
∵1≤x＜y≤9，其中x，y为自然数，
∴1≤y-x≤8，
当n=9时，y-x=4，
∴，，，，；
当n=18时，y-x=8，
∴．
∴所有符合条件的两位正整数k有：15，26，37，48，59，19．
12．（2020·广东高州·期中）下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2-4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2-4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）不彻底；；（2）
【解析】（1）该同学因式分解的结果不彻底，
原式=（x2-4x+4）2=[（x-2）2]2=（x-2）4，
故答案为不彻底、（x-2）4．
（2）设：x2-2x=m，
原式=m（m+2）+1=m2+2m+1=（m+1）2=（x2-2x+1）2=（x-1）4．
13．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则
原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝_______________；
(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；
(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．
【答案】(1)(x－y＋1)2；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】(1).1+2(x-y)+(x+y)
?=（x﹣y+1）2；
（2）令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，
故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1
=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
=（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
14．（2020·江苏相城·初一期末）如图1示．用两块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的正方形．
（1）用两种不同的方法计算图1中正方形的面积；
（2）如图2示，用若干块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的长方形，试由图形推出2a2+3ab+b2因式分解的结果；
（3）请你用拼图等方法推出3a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．
【答案】（1）；（a+b）2
（2）
（3）见解析
【解析】解：（1）从整体上看，图1是边长（a+b）的正方形，其面积为（a+b）2，
各个部分的面积之和：a2+2ab+b2；
（2）根据计算图2面积的不同计算方法可得，2a2+3ab+b2＝（a+b）（2a+b）；
（3）3a2+5ab+2b2＝（a+b）（3a+2b），
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专题14.3
因式分解
典例体系（本专题112题36页）
一、知识点
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解；（也叫做把这个多项式分解
因式）；
公因式：多项式的各项都有的一个公共因式；
因式分解的方法：
提公因式法：关键在于找出最大公因式
因式分解：
平方差公式：a?
-b?
=(a
+
b)(a
-
b)
公式法
完全平方公式：(a
+
b)?
=
a?
+
2ab
+b?
(a
-
b)?
=
a?
+
2ab
+b?
二、考点点拨与训练
考点1：用提公因式法因数分解
典例：63．（2020·山东中区·初二期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是
，共应用了
次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2019，则需应用上述方法
次，结果是
．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是
．
方法或规律点拨
本题考查因式分解-提公因式法，解题的关键是掌握因式分解-提公因式法.
巩固练习
1．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）把多项式m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）因式分解，结果正确的是（ ）
A．（a﹣2）（m2﹣m）
B．m（a﹣2）（m+1）
C．m（a﹣2）（m﹣1）
D．m（2﹣a）（m+1）
2．（2020·重庆月考）一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为________．
3．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）分解因式：ab﹣b＝_____．
4．（2019·广东潮州·其他）分解因式：x2y﹣2xy＝_____．
5．（2020·山东东明·期末）若，则代数式的值为_________．
6．（2020·安徽省安庆市外国语学校期末）因式分解：_________.
7．（2020·四川开江·期末）因式分解：____．
8．（2020·江西省南丰县教育局教学研究室一模）分解因式：
.
9．（2020·山东日照·中考真题）分解因式：mn+4n＝_____．
10．（2021·温州市第二十三中学初三开学考试）因式分解：________．
11．（2020·陕西城固·初二期末）分解因式；x2﹣16x＝______．
考点2：由因式分解的结果求参数
典例：（2018·安徽初一期中）已知多项式kx2-6xy-8y2可写成（2mx+2y）(x-4y)的形式，求k，m的值．
方法或规律点拨
此题主要考查了多项式乘以多项式，正确得出m的值是解题关键．
巩固练习
1．（2020·福建宁德·初二期末）多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），则m的值是（ ）
A．4
B．﹣4
C．10
D．﹣10
2．（2020·江苏相城·初一期末）若代数式x2﹣mx+4因式分解的结果是（x+2）2，则m的值是（ ）
A．﹣4
B．4
C．﹣2
D．±4
3．（2020·贵州铜仁·初一期末）多项式可因式分解为，则的值为
（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2019·四川大邑·初二期末）已知多项式x2+bx+c分解因式为（x+3）（x﹣1），则b、c的值为（ ）
A．b＝3，c＝﹣2
B．b＝﹣2，c＝3
C．b＝2，c＝﹣3
D．b＝﹣3，c＝﹣2
5．（2020·山东中区·济南外国语学校初二期中）已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．﹣4
B．﹣2
C．2
D．4
6．（2020·江苏广陵·初一期中）若，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·重庆南开中学期末）若，则__________．
8．（2020·江苏南京·初一期中）若x2＋ax﹣2＝（x﹣1）（x＋2），则a＝_____．
9．（2020·黑龙江虎林·初二期末）多项式kx2－9xy－10y2可分解因式得(mx＋2y)(3x－5y)，则k=_______，m=________．
10．（2020·常德市淮阳中学初一期中）若多项式可以因式分解成，那么a=_____．
11．（2019·深圳市罗湖外语学校初中部初二期中）多项式因式分解得，则a=_______，b=________．
考点3：用平方差公式因式分解
典例：（2020·思南县张家寨初级中学期末）因式分解：
(1)
；
(2)
．
方法或规律点拨
本题考查了运用提公因式法和平方差公式法分解因式，难度不大，属于基础题，熟练掌握基本运算公式和方法是解答的关键．
巩固练习
1．（2020·陕西横山·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2
B．﹣x2+16y2
C．﹣a2﹣4b2
D．a﹣4b2
2．（2020·湖南邵阳·期末）（______）．
3．（2020·全国月考）因式分解：a2b﹣25b＝_____．
4．（2020·深圳市福田区南华实验学校其他）
因式分解：（x+2）2﹣9＝_____．
5．（2020·广东高州·期中）在实数范围内分解因式：a4﹣4＝_____．
6．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）如果，，那么______.
7．（2019·四川南充·一模）把分解因式，结果是
_________．
8．（2021·浙江瑞安·开学考试）若是方程组的解，则代数式的值是_______．
考点4：用完全平方公式因式分解
典例：（2020·沈阳市第一二七中学期中）如果二次三项式x2﹣16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（
）
A．±8
B．4
C．±4
D．8
方法或规律点拨
本题考查了完全平方公式．能够掌握完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．
巩固练习
1．（2020·湖南期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·重庆月考）下列多项式中，不能进行因式分解的是（
）
A．﹣a2+b2
B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2a
D．a2﹣2ab+b2﹣1
3．（2020·思南县张家寨初级中学期末）已知x2＋kx＋25可以用完全平方公式进行因式分解，那么k的值是（
）
A．5
B．±5
C．10
D．±10
4．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）下列各式能分解因式的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．（2020·吉林市舒兰市教育局初三开学考试）分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( )
A．(x－1)(x－2)
B．x2
C．(x＋1)2
D．(x－2)2
6．（2020·银川唐徕回民中学二模）分解因式：2x3-8x2y+8xy2=______．
7．（2020·广东高州·期中）分解因式：x2﹣8x+16＝_____．
8．（2020·江苏徐州·期末）因式分解：__________．
9．（2020·江苏初三一模）分解因式：（a+b）2﹣4ab=
．
10．（2020·湖南期末）因式分解：__________．
11．（2020·思南县张家寨初级中学期末）分解因式：x3y－2x2y2＋xy3＝____．
12．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）把下列各式进行因式分解
（1）
（2）
13．（2020·黑龙江哈尔滨·初三一模）分解因式：
14．（2020·湖南永州·初一期末）因式分解：
(1)
；(2)
15．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）把分解因式，并求时的值．
考点5：综合应用提公因式法和公式法进行因式分解
典例：（2020·福建宁化·期末）已知有理数，满足，．
（1）求的值；
（2）求的值．
方法或规律点拨
本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题关键是整体思想的应用．
巩固练习
1．（2020·湖南邵阳·期末）把因式分解．
2．（2020·湖南期末）因式分解：a2（x﹣y）+b2（y﹣x）
3．（2020·江苏梁溪·期末）把下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
4．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）分解因式：
（1）x3﹣x；
（2）2a2﹣4a+2；
（3）m4﹣2m2+1．
5．（2020·江苏盱眙·期末）因式分解：
（1）
（2）
6．（2021·浙江长兴·开学考试）已知，求
（1）的值；
（2）的值．
7．（2020·苏州市吴江区同里中学期末）因式分解：
(1)3m2n-12mn+12n；
(2)a2(x-y)+9(y-x)
8．（2020·西藏日喀则·期末）已知
a+b=3，ab
=
2，求代数式
a3b+2a2b2+ab3
的值．
9．（2019·陕西商州·初二期末）先因式分解，再求值：a3b+a2b2+ab3，其中a＝2，b＝3．
考点6：利用因式分解进行简便计算
典例：（2019·湖南邵东·初一期中）计算：
①2032﹣203×206+1032
②20192﹣2018×2020．
方法或规律点拨
本题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：．完全平方公式：．
巩固练习
1．（2020·广西兴宾·初一期中）计算：的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·全国初二课时练习）计算：1252-50×125+252=(
)
A．100
B．150
C．10000
D．22500
3．（2020·全国初二课时练习）计算：752-252=（
）
A．50
B．500
C．5000
D．7100
4．（2020·河南初二期末）已知，那么的值为（
）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021．
5．（2020·河北定兴·初一期末）利用因式分解计算__________．
6．（2020·江苏锡山·初一期末）计算：__．
7．（2020·辽宁省丹东市第二十一中学初二期中）计算2018×512﹣2018×492的结果是_____．
8．（2020·重庆沙坪坝·初三期末）计算：__________．
9．（2018·湖南靖州·初一期末）计算：6002-599×601=__________．
10．（2019·四川恩阳·期末）用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是_____．
11．（2019·河南遂平·初二期中）计算：__________.
12．（2020·沭阳县马厂实验学校初一期中）利用因式分解计算：
13．（2019·湖南芷江·初一期末）把分解因式．
把分解因式．
计算:
考点7：利用十字相乘法进行因式分解
典例：（2019·河北涿鹿·期末）阅读与思考
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解
x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？
我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．所以x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．
上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．
这样我们也可以得到x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．
请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值．
方法或规律点拨
本题主要考查了十字相乘法分解因式，读懂题意，理解题中给出的例子是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·四川成都实外开学考试）计算结果为a2﹣5a﹣6的是（ ）
A．（a﹣6）（a+1）
B．（a﹣2）（a+3）
C．（a+6）（a﹣1）
D．（a+2）（a﹣3）
2．（2020·湖南鹤城·初一期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知，则，的值是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．（2020·全国初二课时练习）下列各式中，计算结果是的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·湖南茶陵·初一期末）分解因式x2+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请利用这种方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝_____．
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
=．
7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
10．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
11．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解
12．（2019·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而
所以
而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式
例：分解因式
解：如图3，其中，，
而，，
所以
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：①
．
②
．
（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
13．（2020·全国初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
考点8：利用分组分解法进行因式分解
典例：（2020·全国初二课时练习）将下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
方法或规律点拨
本题考查了多项式的因式分解，正确变形、熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2019·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
2．（2020·全国初二课时练习）分解因式：__________.
3．（2020·全国初二课时练习）分解因式：_______．
4．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为：；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）三边a，b，c满足，判断的形状.
5．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）先分解因式，再求值：，其中，．
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）分解因式：
7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
考点9：应用因式分解解决问题
典例：（2019·南阳市第三中学月考）阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴
∴
，而，，
∴
且，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则a=______；b=_________．
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足=0，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为________________．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且，求△ABC的周长．
方法或规律点拨
考查因式分解的应用，非负数的性质，几个非负数的和为0，则它们都为0.
巩固练习
1．（2019·广西玉林·期末）设
是三角形的三边长，且满足，关于此三角形的形状有以下判断：①是直角三角形；
②是等边三角形；
③是锐角三角形；④是钝角三角形，其中正确的说法的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若、、为一个三角形的三条边，则的值（
）
A．一定为正数
B．一定为负数
C．可能为0
D．可能为正数，也可能为负数
3．（2020·丹阳市珥陵初级中学初一期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4，则当x2﹣2x﹣4＝0时，d的值为（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
4．（2020·全国初二课时练习）若是三角形的三边长，则式子的值（?
?
?）.
A．小于0
B．等于0
C．大于0
D．不能确定
5．（2020·全国初二课时练习）若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则之值为何？（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·河北河间·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．
(1)分解因式：；
(2)△ABC三边a、b、c满足，判断△ABC的形状．
7．（2020·山东平阴·初二期末）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．
即：
（m＋n）2＋（n－3）2＝0，
∴m＋n＝0，n－3＝0，
∴m＝－3，n＝3．
为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
（1）若x2－4xy＋5y2
＋2y＋1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长．
8．（2020·山东章丘·初二期末）阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公园式，前、后两部分分别分解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
x2－4y2－2x＋4y
＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：
（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
9．（2020·渠县崇德实验学校初一期末）在学习整式乘法的拓展知识时，老师让各学习小组先阅读以下材料：若，求
m，
n
的值．
解：因为
所以（m?+2mn+n?）+（n?－6n+9）=0
即：（m+n)?+（n－3)?=0
所以解得
n＝3，m=－3
请你根据以上解题思路，发挥你的聪明才智，解决下列问题：求当
a，b
取何值时，代数式
a?+b?－
2a+4b+8
的值最小，最小值多少．
10．（2020·江阴市祝塘中学初一月考）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、字相乘法等等，将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解．
例如：
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式；
（2）三边a，b，c满足判断的形状，并说明理由．
11．（2020·沙坪坝·重庆八中课时练习）若正整数是4的倍数，那么规定正整数为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”．
（1）已知正整数是任意两个连续偶数的平方差，求证：是“四季数”；
（2）已知一个两位正整数（，其中，为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数，若与的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数．
12．（2020·广东高州·期中）下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2-4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2-4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．
13．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则
原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝_______________；
(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；
(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．
14．（2020·江苏相城·初一期末）如图1示．用两块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的正方形．
（1）用两种不同的方法计算图1中正方形的面积；
（2）如图2示，用若干块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的长方形，试由图形推出2a2+3ab+b2因式分解的结果；
（3）请你用拼图等方法推出3a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．
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