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专题15.1
分式
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·甘肃甘谷·初二期末）在代数式，，，，，中，分式有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2．（2020·辽宁丹东·初二期末）下列各式从左到右的变形一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2019·河南宜阳·初二期末）计算的结果为（
）
A．1
B．a
C．b
D．
4．（2020·江苏东海·初二期末）根据分式的基本性质，分式可以变形为
（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·广东惠来·初二期末）下列各式中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·江苏邳州·期末）若分式的值为0，则的值是（ ）
A．
B．
C．0
D．3
7．（2020·山东昌乐·期末）下列各式中，无论取何值分式都有意义的是(
)
A．
B．
C．
D．
8．（2019·浙江瑞安·初一期末）分式与的最简公分母是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2019·广东郁南·月考）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3
B．x＜3
C．x≠﹣3
D．x≠3
10．（2020·扬州市梅岭中学月考）将中的、都扩大到原来的3倍，则分式的值（
）
A．不变
B．扩大3倍
C．扩大6倍
D．扩大9倍
11．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）式子有意义，则a的取值范围是（
）
A．且
B．或
C．或
D．且
12．（2019·浙江瑞安·初一期末）若，且，则的值为（
）
A．1
B．2
C．0
D．不能确定
13．（2020·全国初二课时练习）若m为整数，则能使的值也为整数的m有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
14．（2020·重庆一中月考）若，且a、b、k满足方程组，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·扬州市梅岭中学月考）分式的最简公分母为_____．
16．（2020·江苏镇江·其他）若分式的值为0，则x=
17．（2020·福建南平·初一期末）已知是方程的解，则代数式的值为______．
18．（2020·福建省南安市第六中学月考）若分式的值是负整数，则整数m的值是__________．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·全国初二课时练习）约分
（1）；
（2）.
【答案】（1）-
；
（2）
.
20．（2020·全国初二课时练习）当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？
（1）；（2）；（3）；（4）．
21．（2020·全国初二课时练习）把下列各式化为最简分式：
（1）=_________；
（2）=_________．
22．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）求下列各分式的值：
（1），其中．
（2），其中．
23．（2020·全国初二课时练习）若分式的和化简后是整式，则称是一对整合分式．
（1）判断与是否是一对整合分式，并说明理由；
（2）已知分式M，N是一对整合分式，，直接写出两个符合题意的分式N．
24．（2020·连云港市和安中学初一月考）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式，
解：∵，∴可化为，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1）或（2）
解不等式组（1），得，解不等式组（2），得，
故的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
问题：（1）一元二次不等式的解集为______．
（2）求分式不等式的解集．
25．（2020·扬州市江都区国际学校初二期中）探索：（1）如果，则n=
；
（2）如果，则n=
；
总结：如果（其中a、b、c为常数），则n=
；
应用：利用上述结论解决：若代数式的值为为整数，求满足条件的整数x的值．
26．（2020·湖北黄石·初二期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4
即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则
根据材料回答问题：
（1）已知，求x+的值．
（2）已知，（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．
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专题15.1
分式
(
条
码
粘
贴
处
（正面朝上贴在此虚线框内）
)
姓名：______________班级：______________
准考证号
(
注意事项
1
、
答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2
、
请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
3
、
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4
、
请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5
、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
6
、填涂样例
正确
[
■
]
错误
[
--
][
√
]
[
×
]
)
(
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记
！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
)
选择题（请用2B铅笔填涂）
１、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
２、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
３、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
４、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
５、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
６、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
７、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
８、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
９、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
10、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
11、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
12、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
13、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
14、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
非选择题（请在各试题的答题区内作答）
15题、
16题、
17题、
18题、
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
25题、
26题、
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专题15.1
分式
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·甘肃甘谷·初二期末）在代数式，，，，，中，分式有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】C
【解析】
解：，，，的分母中含有字母，属于分式，
故选C．
2．（2020·辽宁丹东·初二期末）下列各式从左到右的变形一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A．中不符合分式的基本性质，故错误；
B．中没有说明c不为0，故错误；
C．不符合分式的基本性质，故错误；
D．中运用了分式的约分，正确；
故选：D．
3．（2019·河南宜阳·初二期末）计算的结果为（
）
A．1
B．a
C．b
D．
【答案】D
【解析】解：
=
=
故选：D．
4．（2020·江苏东海·初二期末）根据分式的基本性质，分式可以变形为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，
故选：B．
5．（2020·广东惠来·初二期末）下列各式中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A．，此选项错误；
B．，此选项正确；
C．，此选项错误；
D．
，此选项错误，
故选：B．
6．（2020·江苏邳州·期末）若分式的值为0，则的值是（ ）
A．
B．
C．0
D．3
【答案】D
【解析】解：由分式为零的条件得，x-3=0，x+2≠0，解得x=3；
故答案为D.
7．（2020·山东昌乐·期末）下列各式中，无论取何值分式都有意义的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A、分母，不论x取什么值，分母都大于0，分式有意义；
B、当时，分母，分式无意义；
C、当x=0时，分母x2=0，分式无意义；
D、当x=0时，分母2x=0，分式无意义．
故选A．
8．（2019·浙江瑞安·初一期末）分式与的最简公分母是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】分式与的分母分别是、，故最简公分母是；
故选：B．
9．（2019·广东郁南·月考）若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3
B．x＜3
C．x≠﹣3
D．x≠3
【答案】D
【解析】解：由分式的基本概念可知,若分式有意义,分母必定不为零,即x-3≠0,所以x≠3.
故本题正确答案为D.
10．（2020·扬州市梅岭中学月考）将中的、都扩大到原来的3倍，则分式的值（
）
A．不变
B．扩大3倍
C．扩大6倍
D．扩大9倍
【答案】A
【解析】
故选A
11．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）式子有意义，则a的取值范围是（
）
A．且
B．或
C．或
D．且
【答案】A
【解析】解：由题意得，a-1≠0，a+1≠0，
解得，a≠1且a≠-1，
故选A．
12．（2019·浙江瑞安·初一期末）若，且，则的值为（
）
A．1
B．2
C．0
D．不能确定
【答案】A
【解析】∵，
∴
∴===1
故选A.
13．（2020·全国初二课时练习）若m为整数，则能使的值也为整数的m有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】原式，且，
若m为整数，的值也为整数，
则，，且，
解得：或或，
能使的值也为整数的m的值共有三个．
故选：C．
14．（2020·重庆一中月考）若，且a、b、k满足方程组，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【解析】解：，
由②可得：
③，
把③代入①得：，
解得，
把代入③可得：，
∴，
故选：D．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·扬州市梅岭中学月考）分式的最简公分母为_____．
【答案】
【解析】分式的最简公分母为，
故答案为：．
16．（2020·江苏镇江·其他）若分式的值为0，则x=
【答案】x=1
【解析】由分式的值为零的条件得
解得，
故答案为1.
17．（2020·福建南平·初一期末）已知是方程的解，则代数式的值为______．
【答案】1
【解析】解：将代入方程，有3a-5b=2，有，
将代入有：
故答案为：1．
18．（2020·福建省南安市第六中学月考）若分式的值是负整数，则整数m的值是__________．
【答案】4
【解析】解：1，是负整数，
则m﹣5=﹣1，解得：m=4．
故答案为：4.
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·全国初二课时练习）约分
（1）；
（2）.
【答案】（1）-
；
（2）
.
【解析】（1）原式=
；
（2）原式=
.
20．（2020·全国初二课时练习）当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）分式有意义，且；分式无意义，或；（2）分式有意义，；分式无意义，；（3）为任意实数时，分式有意义；（4）分式有意义，；分式无意义，．
【解析】
（1）当时，分式有意义，解得且；当时，分式无意义，解得或．
（2）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得．
（3）为任意实数时，，为任意实数时，分式有意义．
（4）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得．
21．（2020·全国初二课时练习）把下列各式化为最简分式：
（1）=_________；
（2）=_________．
【答案】（1），（2）
【解析】（1）=
；
（2）=
22．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）求下列各分式的值：
（1），其中．
（2），其中．
【答案】（1）
-2；（2）
【解析】（1）
当时，
原式
；
（2）
当时，
原式
．
23．（2020·全国初二课时练习）若分式的和化简后是整式，则称是一对整合分式．
（1）判断与是否是一对整合分式，并说明理由；
（2）已知分式M，N是一对整合分式，，直接写出两个符合题意的分式N．
【答案】（1）是一对整合分式，理由见解析；（2）答案不唯一，如．
【解析】（1）是一对整合分式，理由如下：
∵，
满足一对整合分式的定义，
与是一对整合分式．
（2）答案不唯一，如．
24．（2020·连云港市和安中学初一月考）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式，
解：∵，∴可化为，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1）或（2）
解不等式组（1），得，解不等式组（2），得，
故的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
问题：（1）一元二次不等式的解集为______．
（2）求分式不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】解：（1）∵，
∴可化为，
根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得
①或②
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
故的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或；
（2）∵
∴（5x+1）（2x-3）＜0
根据有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，可得：
①或②
解不等式组①，得，
解不等式组②，发现无解，
故（5x+1）（2x-3）＜0的解集为，
即分式不等式的解集．
25．（2020·扬州市江都区国际学校初二期中）探索：（1）如果，则n=
；
（2）如果，则n=
；
总结：如果（其中a、b、c为常数），则n=
；
应用：利用上述结论解决：若代数式的值为为整数，求满足条件的整数x的值．
【答案】探索：（1）n=1；（2）n=-13；总结：n=b-ac；应用：x=2或x=0．
【解析】解：
故答案为：
1
故答案为：-13
总结
故答案为：
应用
又∵代数式
的值为整数
为整数
或
或
0
26．（2020·湖北黄石·初二期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4
即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则
根据材料回答问题：
（1）已知，求x+的值．
（2）已知，（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．
【答案】（1）5；
（2）；
（3）
【解析】解：（1）∵＝，
∴＝4，
∴x﹣1+＝4，
∴x+＝5；
（2）∵设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，
∴＝＝＝；
（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），
∴①，②，③，
①+②+③得：2（）＝3k，
＝k④，
④﹣①得：＝k，
④﹣②得：，
④﹣③得：k，
∴x＝，y＝，z＝代入＝中，得：
＝，
，
k＝4，
∴x＝，y＝，z＝，
∴xyz＝＝＝；
解法二：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
将其代入中得：
＝
＝，y＝，
∴x＝，z＝＝，
∴xyz＝＝．
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