中小学教育资源及组卷应用平台
专题15.1
分式
典例体系（本专题83题30页）
一、知识点
1.分式的定义：
一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
2.与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（）
②分式无意义：分母为0（）
③分式值为0：分子为0且分母不为0（）
④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）
⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
3.分式的基本性质
（1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。
（2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，
即：
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
4.分式的约分
1)．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2)．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3)．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4)．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
约分时。分子分母公因式的确定方法：
1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.
2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.
3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.
5.分式的通分
1)．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）
2)．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
通分时，最简公分母的确定方法：
1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
二、考点点拨与训练
考点1:分式的定义
典例：（2020·河南洛宁·期中）下列各式：，，，中，是分式的共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式的定义，形如，其中A、B为整式，且B中含有字母的式子叫分式，进行判断即可．
【详解】
解：，，这三个式子分母中都含有字母，因此是分式．
故选：C
方法或规律点拨
本题考查了分式的定义，注意中，π表示圆周率，是常数，所以不是分式，是整式．
巩固练习
1．（2020·扬州市梅岭中学月考）在代数式中，分式的个数为（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2．（2020·吉林期末）在代数式中，分式共有(
)．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
3．（2020·吉林长春·期末）下列各式是分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·河南遂平·期中）下列各式中，属于分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）下列式子中是分式的是(
)
A．
B．
C．
D．
6．（2020·四川巴州·期末）在式子、、、、中，分式有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（2020·四川南江·期末）下列各式，，，，，中，是分式的有（
）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．（2020·山东青州·期中）在式子，，，，，中，分式的个数有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
9．（2020·广西平桂·期末）下列式子中，属于分式的是
(
)
．
A．
B．
C．
D．
10．（2020·西藏日喀则·期末）下列各式：，，，，其中分式共有几个（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
考点2：分式有（无）意义的条件
典例：（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）写出一个分式，使它分别满足下列条件：
（1）当时，它没有意义．
（2）当时，它有意义．
方法或规律点拨
本题考查了分式有、无意义的条件，当分式分母为0时，分式无意义，当分式分母不等于0时，分式有意义．
巩固练习
1．（2020·河北灵寿·期末）若分式有意义，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2019·河北南宫·期末）若分式有意义，的值可以是（
）
A．1
B．0
C．2
D．－2
3．（2020·山东青州·期中）若分式无意义,则x的值是(
)
A．0
B．1
C．-1
D．
4．（2020·河南唐河·初二期末）下列说法错误的是（
）
A．当时，分式有意义
B．当时，分式无意义
C．不论取何值，分式都有意义
D．当时，分式的值为0
5．（2020·全国其他）要使分式有意义，则应满足的条件是___．
6．（2020·吉林期末）要使分式有意义，则x的取值范围为_____．
7．（2020·广西百色·期末）要使式子有意义，则的取值范围为________．
8．（2020·广西平桂·期末）若分式无意义，则实数x的值是
．
9．（2020·安徽泗县·初二期末）当______时，分式无意义．
10．（2020·全国初二课时练习）若分式无意义，则的值等于_____．
考点3：分式的值为零
典例：（2020·衡阳县井头镇大云中学期末）若分式的值为零，则x=______．
方法或规律点拨
本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握是解题的关键.若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
巩固练习
1．（2020·辽宁灯塔·期末）若分式的值为零，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·河南遂平·期末）若分式的值为零，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·吉林期末）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．±3
B．﹣3
C．3
D．0
4．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．±1
B．1
C．﹣1
D．0
5．（2020·黄石经济技术开发区教研室学业考试）使分式的值等于零的x的值是(
)
A．1或6
B．2或3
C．3
D．2
6．（2020·四川郫都·期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0
B．1
C．﹣1
D．±1
7．（2019·广西玉林·期末）若分式的值为零，则x的值为________．
8．（2020·扬州市梅岭中学月考）当x＝_____时，分式的值为0．
9．（2020·安徽临泉·期末）若分式的值为0，则x的值是_________．
10．（2021·四川简阳·月考）使分式
的值等于零的x是
．
11．（2020·北京海淀·人大附中月考）当_____时，代数式的值为．
考点4：根据分式值的符号求字母参数的范围
典例：（2020·北京市通州区第二中学初一月考）分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式＞0时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①，得x＞3，
解不等式组②，得x＜－.
所以原分式不等式的解集为x＞3或x＜－
.
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式＜0.
方法或规律点拨
本题考查了分式的值为正与为负的条件及一元一次不等式组的解法，根据“两数相除，同号得正，异号得负”，把分式不等式转化为两个不等式组求解是解答本题的关键.
巩固练习
1．（2020·福建省泉州实验中学初二期中）若分式的值为正数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．取任意实数
2．（2020·江西育华学校初二期中）关于分式，下列说法不正确的是（ ）
A．当x=0时，分式没有意义
B．当x＞5时，分式的值为正数
C．当x＜5时，分式的值为负数
D．当x=5时，分式的值为0
3．（2020·山西初二月考）如果分式的值为正数，则的范围是（ ）
A．
B．或
C．
D．
4．（2020·射阳县第二初级中学初二期中）分式的值为负数，则a的取值范围是___________．
5．（2020·北京清华附中初二期中）如果分式的值大于，那么的取值范围是_______．
6．（2019·重庆一中初二月考）若分式的值为负数，则的取值范围是_________．
7．（2019·四川青羊·树德中学初二期中）若分式值为正，应满足的条件：__________．
8．（2019·南通市启秀中学初二期中）若分式的值为负数，则的取值范围是__________．
考点5：分式的基本性质
典例：（2020·陕西城固·初二期末）下列代数式变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
方法或规律点拨
本题考查了分式的基本性质.熟练应用分式的基本性质对分式进行约分和通分是解题的关键.
巩固练习
1．（2021·浙江长兴·开学考试）分式可变形为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·山东青州·期中）下列分式的变形正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
3．（2020·广西平桂·期末）下列变形正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
4．（2020·福建宁化·期末）下列各式中，化简正确的是
（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·福建南平·初三二模）下列变形正确的是(
)
A．＝
B．
C．-1=
D．=
6．（2019·张掖市育才中学期末）下列等式从左到右的变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）下列式子正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·浙江慈溪·初一期末）不改变分式
的值，把它的分子与分母中各项的系数化为整数，其结果正确的是(???
)
A．?
B．??
C．?
D．
9．（2020·河南卫辉·初二期中）不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化成整数，那么结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2019·山西初二月考）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·山东沂水·初二期末）不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则______.
12．（2020·全国初二课时练习）不改变分式的值，把的分子与分母中各项系数都化为整数为_______．
考点6：约分
典例：（2020·江苏沭阳·初二期末）下列分式中，最简分式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】
直接利用分式的性质分别判断得出答案．
解：A、＝＝，故原式不是最简分式，不合题意；
B、＝＝，故原式不是最简分式，不合题意；
C、＝，故原式不是最简分式，不合题意；
D、，是最简分式，符合题意．
故选：D．
方法或规律点拨
此题考查最简分式问题，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．
巩固练习
1．（2020·广东郁南·初二期末）下列约分正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·淮阳第一高级中学初中部期末）下列属于最简分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·山东青州·期中）下列各式中的最简分式是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）下列分式是最简分式的是（
）
A．；
B．；
C．；
D．
6．（2020·江苏常州·初二期末）分式可化简为（ ）
A．x﹣y
B．
C．x+y
D．
7．（2020·福建宁德·初二期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·广西岑溪·初一期末）下列四个分式中，最简分式是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·全国初二课时练习）下列分式，，，，，其中最简分式的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．（2020·全国初二课时练习）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·全国初二课时练习）计算的结果为（ ）
A．1
B．
C．
D．0
12．（2020·全国初二课时练习）化简的结果是
A．
B．
C．
D．
13．（2020·全国初二课时练习）在分式，，，中，最简分式有________个.
14．（2020·甘肃甘谷·初二期末）化简：__________；__________．
15．（2020·四川青白江·初二期末）化简分式
的结果为_____．
考点7：通分
典例：（2020·全国初二课时练习）将下列式子进行通分．
（1）和
（2）和
（3）和
（4）和
方法或规律点拨
解答此题的关键是求出最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分．
巩固练习
1．（2020·全国初二课时练习）对分式通分后，的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2019·东安县舜德学校初二期中）下列各题中，所求的最简公分母，错误的是（
）
A．与最简公分母是
B．与最简公分母是
C．与最简公分母是
D．与最简公分母是
3．（2020·湖北武汉·初二期末）把通分，下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·全国初二课时练习）与通分的结果是_______．
5．（2020·青岛超银中学初二月考）把分式与进行通分时，最简公分母为_____．
6．（2020·山东槐荫·初二期中）若=2，则=_____
7．（2018·四川渠县·初二期末）对分式和进行通分，它们的最简公分母是________．
8．（2019·全国课时练习）通分：、、.
9．（2019·全国课时练习）通分：、、.
.
10．（2019·福建同安·初二月考）通分：（1），；（2），．
11．（2019·全国初二）把下列各式通分：
(1)x?y与；
(2)
,
与.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题15.1
分式
典例体系（本专题83题30页）
一、知识点
1.分式的定义：
一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
2.与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（）
②分式无意义：分母为0（）
③分式值为0：分子为0且分母不为0（）
④分式值为正或大于0：分子分母同号（或）
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或）
⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
3.分式的基本性质
（1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。
（2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，
即：
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
4.分式的约分
1)．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2)．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3)．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4)．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
约分时。分子分母公因式的确定方法：
1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.
2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.
3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.
5.分式的通分
1)．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）
2)．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
通分时，最简公分母的确定方法：
1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
二、考点点拨与训练
考点1:分式的定义
典例：（2020·河南洛宁·期中）下列各式：，，，中，是分式的共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式的定义，形如，其中A、B为整式，且B中含有字母的式子叫分式，进行判断即可．
【详解】
解：，，这三个式子分母中都含有字母，因此是分式．
故选：C
方法或规律点拨
本题考查了分式的定义，注意中，π表示圆周率，是常数，所以不是分式，是整式．
巩固练习
1．（2020·扬州市梅岭中学月考）在代数式中，分式的个数为（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】A
【解析】的分母中均不含有字母，因此它们是整式，不是分式，
分母中含有字母，因此是分式，共2个，
故选：A．
2．（2020·吉林期末）在代数式中，分式共有(
)．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【解析】解：代数式是分式，共3个，
故选：B．
3．（2020·吉林长春·期末）下列各式是分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
A，B，D均为整式，C选项中分母含有字母且值不为0，是分式.
4．（2020·河南遂平·期中）下列各式中，属于分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A、虽是分数形式，但分母中不含有字母，不是分式，故选项A错误；
B、分母中含有未知量，故B正确；
C、分母中不含字母，不是分式，故选项C错误；
D、分母中不含字母，因此是整式，不是分式，故选项D错误．
故选：B．
5．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）下列式子中是分式的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】、、的分母中不含有字母，属于整式，的分母中含有字母，属于分式．
故选C．
6．（2020·四川巴州·期末）在式子、、、、中，分式有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】
式子、、中的分母中不含有字母，是整式，不属于分式，
式子、中的分母中含有字母，属于分式，共有2个．
故选：B．
7．（2020·四川南江·期末）下列各式，，，，，中，是分式的有（
）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【解析】解：，，，，，中，是分式的有，
，，
，共计4个．
故选：D．
8．（2020·山东青州·期中）在式子，，，，，中，分式的个数有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【解析】解：根据分式的定义，是分式，其它的都不是分式，
故选B．
9．（2020·广西平桂·期末）下列式子中，属于分式的是
(
)
．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：是分式；、、是整式；
故选：D．
10．（2020·西藏日喀则·期末）下列各式：，，，，其中分式共有几个（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】、、的分母不含未知数，故不是分式；
、符合分式定义，故为分式；
故选：B．
考点2：分式有（无）意义的条件
典例：（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）写出一个分式，使它分别满足下列条件：
（1）当时，它没有意义．
（2）当时，它有意义．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）当时，分母为0，分式无意义，故分式可以为；
（2）当时，分母不为0，分式有意义，故分式可以为．
方法或规律点拨
本题考查了分式有、无意义的条件，当分式分母为0时，分式无意义，当分式分母不等于0时，分式有意义．
巩固练习
1．（2020·河北灵寿·期末）若分式有意义，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵分式有意义，
∴，即：，
故选A．
2．（2019·河北南宫·期末）若分式有意义，的值可以是（
）
A．1
B．0
C．2
D．－2
【答案】C
【解析】由题意知：，
解得：，，，
故选：C．
3．（2020·山东青州·期中）若分式无意义,则x的值是(
)
A．0
B．1
C．-1
D．
【答案】D
【解析】根据题意得，|x|-1≠0，所以x≠±1，故选D.
4．（2020·河南唐河·初二期末）下列说法错误的是（
）
A．当时，分式有意义
B．当时，分式无意义
C．不论取何值，分式都有意义
D．当时，分式的值为0
【答案】C
【解析】解：A选项当，即时，分式有意义，故A正确；
B选项当，即时，分式无意义，故B正确；
C选项当，即时，分式有意义，故C错误；
D选项当，且即时，分式的值为0，故D正确.
故选C.
5．（2020·全国其他）要使分式有意义，则应满足的条件是___．
【答案】x≠1
【解析】解：当1-x≠0时，分式有意义，即当x≠1时，分式有意义．.
故答案为x≠1．
6．（2020·吉林期末）要使分式有意义，则x的取值范围为_____．
【答案】x≠﹣2
【解析】
由题意可知：x+2≠0，
∴x≠﹣2，
故答案为x≠﹣2.
7．（2020·广西百色·期末）要使式子有意义，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】解：由题意得，
x-2020≠0，
解得：x≠2020．
故答案为：x≠2020．
8．（2020·广西平桂·期末）若分式无意义，则实数x的值是
．
【答案】2.
【解析】根据题意得：x-2=0，即x=2．
9．（2020·安徽泗县·初二期末）当______时，分式无意义．
【答案】
【解析】由题意得3x-4=0，
解得：x=，
故答案为：=．
10．（2020·全国初二课时练习）若分式无意义，则的值等于_____．
【答案】
【解析】分式无意义，则．解得，
．
故答案是．
考点3：分式的值为零
典例：（2020·衡阳县井头镇大云中学期末）若分式的值为零，则x=______．
【答案】x=-2
【解析】由分式的值为零的条件得x?2-4=0，2x-4≠0，?
由x2-4=0，得x=2或x=-2，?
由2x-4≠0，得x≠2，?
综上，得x=-2，?
故答案为-2．
方法或规律点拨
本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握是解题的关键.若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
巩固练习
1．（2020·辽宁灯塔·期末）若分式的值为零，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：由分式的值为零，
可得：
且
故选D．
2．（2020·河南遂平·期末）若分式的值为零，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：由题意可知：且x+2≠0，
解得：x=2，
故选B．
3．（2020·吉林期末）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．±3
B．﹣3
C．3
D．0
【答案】C
【解析】根据题意,得,
,即,
解得x=3.
故选C.
4．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．±1
B．1
C．﹣1
D．0
【答案】C
【解析】解：∵分式的值为零，
∴，解得x＝﹣1．
故选：C．
5．（2020·黄石经济技术开发区教研室学业考试）使分式的值等于零的x的值是(
)
A．1或6
B．2或3
C．3
D．2
【答案】C
【解析】由题意得
x2-5x+6=0且x-2≠0，
解之得
x=3.
故选C.
6．（2020·四川郫都·期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0
B．1
C．﹣1
D．±1
【答案】B
【解析】∵分式的值为零，
∴，
解得：x=1，
故选B．
7．（2019·广西玉林·期末）若分式的值为零，则x的值为________．
【答案】1
【解析】根据题意，得|x|-1=0，且x+1≠0，解得x=1．
8．（2020·扬州市梅岭中学月考）当x＝_____时，分式的值为0．
【答案】1
【解析】∵分式的值为0，
∴，
解得：．
故答案为：1．
9．（2020·安徽临泉·期末）若分式的值为0，则x的值是_________．
【答案】2．
【解析】∵分式的值为0，
∴x2﹣2x＝0，且x≠0，
解得：x＝2．
故答案为2．
10．（2021·四川简阳·月考）使分式
的值等于零的x是
．
【答案】6．
【解析】分式
的值等于
解得：
故答案为
11．（2020·北京海淀·人大附中月考）当_____时，代数式的值为．
【答案】
【解析】∵代数式的值为，
∴，
解得：；
故答案是2．
考点4：根据分式值的符号求字母参数的范围
典例：（2020·北京市通州区第二中学初一月考）分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式＞0时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①，得x＞3，
解不等式组②，得x＜－.
所以原分式不等式的解集为x＞3或x＜－
.
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式＜0.
【答案】【解析】解：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②，
解不等式组①，得解不等式组②得此不等式组无解．
所以原分式不等式的解集为方法或规律点拨
本题考查了分式的值为正与为负的条件及一元一次不等式组的解法，根据“两数相除，同号得正，异号得负”，把分式不等式转化为两个不等式组求解是解答本题的关键.
巩固练习
1．（2020·福建省泉州实验中学初二期中）若分式的值为正数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．取任意实数
【答案】A
【解析】，的值为正数
解得
故选A
2．（2020·江西育华学校初二期中）关于分式，下列说法不正确的是（ ）
A．当x=0时，分式没有意义
B．当x＞5时，分式的值为正数
C．当x＜5时，分式的值为负数
D．当x=5时，分式的值为0
【答案】C
【解析】A．当x=0时，分母为0，分式没有意义；正确，但不符合题意．
B．当x>5时，分式的值为正数；正确，但不符合题意
C．当0＜x＜5时，分式的值为负数；当x=0是分式没有意义，当x＜0时，分式的值为负数，原说法错误，符合题意．
D．当x=5时，分式的值为0；正确，但不符合题意．
故选：C．
3．（2020·山西初二月考）如果分式的值为正数，则的范围是（ ）
A．
B．或
C．
D．
【答案】B
【解析】解：∵分式的值为正数
∴或
解得：或
故选B．
4．（2020·射阳县第二初级中学初二期中）分式的值为负数，则a的取值范围是___________．
【答案】a<4且
【解析】∵分式的值为负数，
∴3a-12<0，,
解得a<4且
故答案为：a<4且
5．（2020·北京清华附中初二期中）如果分式的值大于，那么的取值范围是_______．
【答案】a＜2
【解析】解：∵分式的值大于0，
∴a?2＜0，
解得：a＜2；
故答案为：a＜2．
6．（2019·重庆一中初二月考）若分式的值为负数，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】解：∵的值为负数
∴
∵
∴
∴．
故答案是：
7．（2019·四川青羊·树德中学初二期中）若分式值为正，应满足的条件：__________．
【答案】x＞5或x＜-3.
【解析】解：由题意可知：
或，
∴x＞5或x＜-3
故答案为：x＞5或x＜-3.
8．（2019·南通市启秀中学初二期中）若分式的值为负数，则的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】解：∵分式的值为负数，
∴，解得且，
∴的取值范围是：且.
故答案为：且.
考点5：分式的基本性质
典例：（2020·陕西城固·初二期末）下列代数式变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：A.，故本选项变形错误；
B.
，故本选项变形错误；
C.，故本选项变形错误；
D.，故本选项变形正确，
故选D.
方法或规律点拨
本题考查了分式的基本性质.熟练应用分式的基本性质对分式进行约分和通分是解题的关键.
巩固练习
1．（2021·浙江长兴·开学考试）分式可变形为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
故选项A、B、C均错误，选项D正确，
故选：D．
2．（2020·山东青州·期中）下列分式的变形正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A.
（x≠0），故该选项错误，不符合题意，
B.
，故该选项错误，不符合题意，
C.
，变形正确，故该选项符合题意，
D.
（x≠0），故该选项错误，不符合题意，
故选：C．
3．（2020·广西平桂·期末）下列变形正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】，故A错误；
，故B错误；
，没有规定c的取值，故C错误；
，故D正确；
故选：D．
4．（2020·福建宁化·期末）下列各式中，化简正确的是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：A．，该项化简不正确；
B．，该项化简不正确；
C．，该项化简不正确；
D．，该项化简正确；
故选：D．
5．（2020·福建南平·初三二模）下列变形正确的是(
)
A．＝
B．
C．-1=
D．=
【答案】D
【解析】解：A.≠，故A错误；
B.＝故B错误；
C.﹣1＝，故C错误；
D.=，故D正确．
故选D．
6．（2019·张掖市育才中学期末）下列等式从左到右的变形正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：A、根据分式基本性质知道，故选项错误；
B、，其中a≠0，故选项正确；
C、等式的右边是左边的平方，显然不成立，故选项错误；
D、根据分式的基本性质可得：（b≠0），故选项错误；
故选B．
7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）下列式子正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A．分子乘以b，分母乘以a，所以，故A错误；
B．1，故B错误；
C．1，故C正确；
D．，故D错误．
故选C．
8．（2020·浙江慈溪·初一期末）不改变分式
的值，把它的分子与分母中各项的系数化为整数，其结果正确的是(???
)
A．?
B．??
C．?
D．
【答案】C
【解析】．
故答案为：C．
9．（2020·河南卫辉·初二期中）不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化成整数，那么结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：分子分母都乘以6，得原式=，
故选：D．
10．（2019·山西初二月考）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，故D选项错误．
故选：C．
11．（2020·山东沂水·初二期末）不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则______.
【答案】
【解析】解：分子分母都乘以3，得，
故答案为：．
12．（2020·全国初二课时练习）不改变分式的值，把的分子与分母中各项系数都化为整数为_______．
【答案】．
【解析】．
故答案为：．
考点6：约分
典例：（2020·江苏沭阳·初二期末）下列分式中，最简分式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】
直接利用分式的性质分别判断得出答案．
解：A、＝＝，故原式不是最简分式，不合题意；
B、＝＝，故原式不是最简分式，不合题意；
C、＝，故原式不是最简分式，不合题意；
D、，是最简分式，符合题意．
故选：D．
方法或规律点拨
此题考查最简分式问题，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．
巩固练习
1．（2020·广东郁南·初二期末）下列约分正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：A、原式=x4，故选项错误；
B、原式=1，故选项错误；
C、原式=，故选项正确；
D、原式=，故选项错误．
故选：C．
2．（2020·淮阳第一高级中学初中部期末）下列属于最简分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A、=，故该项不符合题意；
B、不能化简，故该项符合题意；
C、=，故该项不符合题意；
D、=，故该项不符合题意；
故选：B.
3．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：A、是最简分式，不符合题意;
B、不是最简分式，符合题意;
C、是最简分式，不符合题意;
D、是最简分式，不符合题意;
故选：B.
4．（2020·山东青州·期中）下列各式中的最简分式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A：
==，故不是最简分式；
B：=，故不是最简分式；
C：无法再进一步化简，故是最简分式；
D：
，故不是最简分式；
故选：C.
5．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）下列分式是最简分式的是（
）
A．；
B．；
C．；
D．
【答案】C
【解析】A、=，不是最简分式，不合题意；
B、=，不是最简分式，不合题意；
C、无法化简，是最简分式，符合题意；
D、=，不是最简分式，不合题意.
故选：C
6．（2020·江苏常州·初二期末）分式可化简为（ ）
A．x﹣y
B．
C．x+y
D．
【答案】C
【解析】原式＝＝x+y．
故选：C．
7．（2020·福建宁德·初二期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：A、，故不是最简分式，不合题意；
B、，故不是最简分式，不合题意；
C、，故不是最简分式，不合题意；
D、是最简分式，符合题意．
故选：D．
8．（2020·广西岑溪·初一期末）下列四个分式中，最简分式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A、＝，不是最简分式，不合题意；
B、＝，不是最简分式，不合题意；
C、，是最简分式，符合题意；
D、，不是最简分式，不合题意；
故选：C．
9．（2020·全国初二课时练习）下列分式，，，，，其中最简分式的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【解析】，
，
其中不能化简，所以是最简分式.
故选：A．
10．（2020·全国初二课时练习）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A、，分子分母含有公因式x，故A不合题意；
B、＝含有公因式，故B不合题意；
C、含有公因式2，故C不合题意；
D、分子，分母中不含有公因式，故D符合题意；
故选：D．
11．（2020·全国初二课时练习）计算的结果为（ ）
A．1
B．
C．
D．0
【答案】A
【解析】原式=.
故选A.
12．（2020·全国初二课时练习）化简的结果是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】，
故选：D．
13．（2020·全国初二课时练习）在分式，，，中，最简分式有________个.
【答案】3
【解析】解：分式，，再不能约分化简，为最简分式．
分式：=，不符合题意.
14．（2020·甘肃甘谷·初二期末）化简：__________；__________．
【答案】
【解析】解：；
故答案为：；．
15．（2020·四川青白江·初二期末）化简分式
的结果为_____．
【答案】
【解析】解：原式＝
＝．
故答案为:．
考点7：通分
典例：（2020·全国初二课时练习）将下列式子进行通分．
（1）和
（2）和
（3）和
（4）和
【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．
【解析】解：（1）两式的最简公分母为10a2b3c，
故==，
==；
（2）两式的最简公分母为6x2y，
故==，
==，
（3）两式的最简公分母为8ab2c2，
故==
==，
（4）两式的最简公分母为y2-1，
故，
．
方法或规律点拨
解答此题的关键是求出最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分．
巩固练习
1．（2020·全国初二课时练习）对分式通分后，的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵a2-b2=(a+b)(a-b)，
∴分式的最简公分母是，
∴通分后，=．
故选：B．
2．（2019·东安县舜德学校初二期中）下列各题中，所求的最简公分母，错误的是（
）
A．与最简公分母是
B．与最简公分母是
C．与最简公分母是
D．与最简公分母是
【答案】D
【解析】解：A、正确；
B、正确；
C、最简公分母是（m＋n）（m－n）＝m2－n2，故正确；
D、最简公分母是ab（x－y），故选项错误．
故选：D
3．（2020·湖北武汉·初二期末）把通分，下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】把通分，最简公分母为，
故
故选B．
4．（2020·全国初二课时练习）与通分的结果是_______．
【答案】
【解析】，，
最简公分母为，
通分后分别为．
故答案为：．
5．（2020·青岛超银中学初二月考）把分式与进行通分时，最简公分母为_____．
【答案】(x﹣y)2(x+y)
【解析】解：把分式
与
进行通分时，
x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)，
故最简公分母为：(x﹣y)2(x+y)．
故答案为：(x﹣y)2(x+y)．
6．（2020·山东槐荫·初二期中）若=2，则=_____
【答案】
【解析】=2，得x+y=2xy
则==，
故答案为.
7．（2018·四川渠县·初二期末）对分式和进行通分，它们的最简公分母是________．
【答案】
【解析】解：分式和的最简公分母是，
故答案为：.
8．（2019·全国课时练习）通分：、、.
【答案】；；.
【解析】解：最简公分母是.
；
；
.
9．（2019·全国课时练习）通分：、、.
【答案】；；.
【解析】∵，
，
∴最简公分母是，
；
；
.
10．（2019·福建同安·初二月考）通分：（1），；（2），．
【答案】（1）,；（2）,．
【解析】（1）∵和的最简公分母是abc，
∴，；
（2）∵和的最简公分母是，
∴=，=
11．（2019·全国初二）把下列各式通分：
(1)x?y与；
(2)
,
与.
【答案】(1)
x?y=，；
(2)
;；；
【解析】(1)最简公分母：x+y，
x?y=；
；
(2)最简公分母：3(a+3)(a?3)2；
，
，
.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
