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专题15.2
分式的运算
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·全国初二课时练习）计算的结果是（
）
A．3
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】原式．
故选：A．
2．（2019·广东阳山·期末）人体中红细胞的直径约为0.0000077米，将0.0000077用科学记数法表示为（ ）
A．7.7×10﹣6
B．7.7×10﹣5
C．0.77×10﹣6
D．0.77×10﹣5
【答案】A
【解析】解：0.0000077＝7.7×10﹣6．
故选A．
3．（2020·福建思明·厦门双十中学二模）下列运算正确的是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：A.2（a-b）=2a-2b，故本选项正确，符合题意；
B．（a2）5=a10，故本选项错误，不合题意；
C．a+a=2a，故本选项错误，不合题意；
D．（-a）-2=，故本选项错误，不合题意．
故选：A．
4．（2020·河南孟津·期中）化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
原式．
故选D．
5．（2020·河南孟津·期中）下列计算结果为负数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故选：B
6．（2019·河北保定·初三三模）下列式子运算结果为的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A、，此项不符题意
B、，此项不符题意
C、，此项符合题意
D、，此项不符题意
故选：C．
7．（2020·深圳市福田区南华实验学校其他）定义新运算f：f（x，y）＝
，则f（a，b）﹣f（b，a）＝（ ）
A．0
B．a2﹣b2
C．
D．
【答案】C
【解析】原式
.
故选C．
8．（2019·上海浦东新·初一月考）将3﹣1x（x+y）﹣3写成只含有正整数指数幂的形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据负整数指数幂的意义，=(a≠0)，所以3﹣1x(x+y)﹣3=，故选B.
9．（2019·上海市复旦实验中学初一月考）已知，则A的取值是
A．-3
B．3
C．-6
D．6
【答案】C
【解析】，
，
得到5x+1=A(x-2)+11(x-1)=(A+11)x-2A-11，
∴A+11=5，-2A-11=1，
∴A=-6.
故选C.
10．（2020·北京市三帆中学其他）如果，那么代数式的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：∵
∴
=
=
=
=
=2
故选A
11．（2020·山东沂源·初三一模）一辆货车送上山，并按原路下山．上山速度为千米/时，下山速度为千米/时．则货车上、下山的平均速度为（
）千米/时．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：设上山的路程为x千米，
则上山的时间小时，下山的时间为小时，
则上、下山的平均速度千米/时．
故选D．
12．（2020·河北灵寿·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙
B．甲和丁
C．乙和丙
D．乙和丁
【答案】D
【解析】∵
=
=
=
=
=，
∴出现错误是在乙和丁，
故选D．
13．（2019·杭州市公益中学初一月考）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…、﹣2、﹣1、0、1、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1
B．1
C．0
D．2015
【答案】A
【解析】解：设a为负整数．∵当x=a时，分式的值=，当x=﹣时，分式的值==，∴当x=a时与当x=-时，两分式的和=+=0，∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0，∴所得结果的和==﹣1．故选A．
14．（2019·东安县舜德学校期中）若102y=25，则10﹣y等于（ ）
A．
B．
C．﹣或
D．
【答案】A
【解析】∵102y=25，∴(10y)2=25，
∴10y=5或10y=-5（舍），
∴10-y==
.
故选A.
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·四川南充·初三月考）化简，结果是__________．
【答案】
【解析】解：===.
故答案为：.
16．（2020·湖北省武汉市外国语学校美加分校初三期中）计算的结果是___________
【答案】-1.
【解析】=
故答案为-1.
17．（2019·广东阳山·期末）计算：_____________．
【答案】
【解析】解：原式==
故答案为：．
18．（2020·安徽蚌埠·初一月考）若，，，，，，，则________．
【答案】
【解析】解：，，，，…，
故得出以-3a与循环，
∵2020÷2=1010，
∴S2020=，
故答案为：.
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·山东槐荫·期中）计算：（﹣）﹣2+4×（﹣1）2019﹣|﹣23|+（π﹣5）0
【答案】-2
【解析】解：原式＝（﹣3）2+4×（﹣1）﹣8+1
＝9﹣4﹣8+1
＝﹣2
20．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部月考）先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值
【答案】2a；当时，原式=4
【解析】，
∵a≠0，1，3，
∴当时，原式=4.
21．（2020·江苏海安·初二期末）老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式的一部分，如图：
（1）求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于吗？请说明理由.
【答案】（1）；（2）原代数式的值不能等于；理由详见解析
【解析】（1）设被遮住的部分为A，即
∴；
（2）令，解得，当时，
∵除数不能为0
∴原代数式的值不能等于.
22．（2018·河南郑州·中考模拟）按要求化简：（a﹣1）÷，并选择你喜欢的整数a，b代入求值．
小聪计算这一题的过程如下：
解：原式＝（a﹣1）÷…①
＝（a﹣1）?…②
＝…③
当a＝1，b＝1时，原式＝…④
以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第_____步（填序号），原因：_____；
还有第_____步出错（填序号），原因：_____．
请你写出此题的正确解答过程．
【答案】①；运算顺序错误；；④；a等于1时，原式无意义．
【解析】①运算顺序错误；
故答案为①，运算顺序错误；
④当a=1时，等于0，原式无意义．
故答案为a等于1时，原式无意义．
当时，原式
23．（2020·安徽初三一模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式：________；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并加以证明．
【答案】（1）；（2）第个等式：；证明见解析．
【解析】（1）第7个等式：
（2）第个等式：.
证明：左边右边，
故猜想成立．
24．（2019·辽宁南票·初三一模）甲、乙两班同学同时从学校沿一路线走向离学校S千米的军训地参加训练．甲班有一半路程以V1千米/小时的速度行走，另一半路程以V2千米/小时的速度行走；乙班有一半时间以V1千米/小时的速度行走，另一半时间以V2千米/小时的速度行走．设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为t1小时、t2小时．
（1）试用含S、V1、V2的代数式表示t1和t2；
（2）请你判断甲、乙两班哪一个的同学先到达军训基地并说明理由．
【答案】(1)
,(2)
当V1＝V2时，甲、乙两班同学同时到达军训基地；当V1≠V2时，乙班同学先到达军训基地．理由见解析
【解析】(1)由已知，得：＝t1，
，
解得：,；
(2)∵t1﹣t2＝==，
而S、V1、V2都大于零，
①当V1＝V2时，t1﹣t2＝0，即t1＝t2，
②当V1≠V2时，t1﹣t2＞0，即t1＞t2，
综上：当V1＝V2时，甲、乙两班同学同时到达军训基地；当V1≠V2时，乙班同学先到达军训基地．
25．（2020·四川大邑·初一期末）请先阅读下列内容，然后解答问题：
因为：，，，…，
所以：++…+
＝+++…+
＝
＝
（1）猜想并写出：＝
；（为正整数）
（2）直接写出下面式子计算结果：++…+
＝
；
（3）探究并计算：++…+
【答案】（1）；（2）；（3）
（1），故答案为：
（2）++…+
=
=
=，
故答案为：
（3）原式＝++…+
＝…+
＝
＝
＝
26．（2018·福建罗源·初二月考）已知分式
A
（1）化简这个分式；
（2）当
a＞2
时，把分式
A
化简结果的分子与分母同时加上
4
后得到分式
B，问：分式
B
的值较原来分式
A
的值是变大了还是变小了？试说明理由；
（3）若
A
的值是整数，且
a
也为整数，求出符合条件的所有
a
值的和．
【答案】（1）；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11
【解析】解：（1）A=
=
=
=；
（2）变小了，理由如下：
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，
∴分式的值变小了；
（3）∵A是整数，a是整数，
则，
∴、、，
∵，
∴的值可能为：3、0、4、6、-2；
∴；
∴符合条件的所有a值的和为11．
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分式的运算
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·全国初二课时练习）计算的结果是（
）
A．3
B．
C．
D．
2．（2019·广东阳山·期末）人体中红细胞的直径约为0.0000077米，将0.0000077用科学记数法表示为（ ）
A．7.7×10﹣6
B．7.7×10﹣5
C．0.77×10﹣6
D．0.77×10﹣5
3．（2020·福建思明·厦门双十中学二模）下列运算正确的是
（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·河南孟津·期中）化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
5．（2020·河南孟津·期中）下列计算结果为负数的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2019·河北保定·初三三模）下列式子运算结果为的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·深圳市福田区南华实验学校其他）定义新运算f：f（x，y）＝
，则f（a，b）﹣f（b，a）＝（ ）
A．0
B．a2﹣b2
C．
D．
8．（2019·上海浦东新·初一月考）将3﹣1x（x+y）﹣3写成只含有正整数指数幂的形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2019·上海市复旦实验中学初一月考）已知，则A的取值是
A．-3
B．3
C．-6
D．6
10．（2020·北京市三帆中学其他）如果，那么代数式的值是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·山东沂源·初三一模）一辆货车送上山，并按原路下山．上山速度为千米/时，下山速度为千米/时．则货车上、下山的平均速度为（
）千米/时．
A．
B．
C．
D．
12．（2020·河北灵寿·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙
B．甲和丁
C．乙和丙
D．乙和丁
13．（2019·杭州市公益中学初一月考）当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…、﹣2、﹣1、0、1、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1
B．1
C．0
D．2015
14．（2019·东安县舜德学校期中）若102y=25，则10﹣y等于（ ）
A．
B．
C．﹣或
D．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·四川南充·初三月考）化简，结果是__________．
16．（2020·湖北省武汉市外国语学校美加分校初三期中）计算的结果是___________
17．（2019·广东阳山·期末）计算：_____________．
18．（2020·安徽蚌埠·初一月考）若，，，，，，，则________．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·山东槐荫·期中）计算：（﹣）﹣2+4×（﹣1）2019﹣|﹣23|+（π﹣5）0
20．（2020·深圳市罗湖外语学校初中部月考）先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值
21．（2020·江苏海安·初二期末）老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式的一部分，如图：
（1）求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于吗？请说明理由.
22．（2018·河南郑州·中考模拟）按要求化简：（a﹣1）÷，并选择你喜欢的整数a，b代入求值．
小聪计算这一题的过程如下：
解：原式＝（a﹣1）÷…①
＝（a﹣1）?…②
＝…③
当a＝1，b＝1时，原式＝…④
以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第_____步（填序号），原因：_____；
还有第_____步出错（填序号），原因：_____．
请你写出此题的正确解答过程．
23．（2020·安徽初三一模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式：________；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并加以证明．
24．（2019·辽宁南票·初三一模）甲、乙两班同学同时从学校沿一路线走向离学校S千米的军训地参加训练．甲班有一半路程以V1千米/小时的速度行走，另一半路程以V2千米/小时的速度行走；乙班有一半时间以V1千米/小时的速度行走，另一半时间以V2千米/小时的速度行走．设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为t1小时、t2小时．
（1）试用含S、V1、V2的代数式表示t1和t2；
（2）请你判断甲、乙两班哪一个的同学先到达军训基地并说明理由．
25．（2020·四川大邑·初一期末）请先阅读下列内容，然后解答问题：
因为：，，，…，
所以：++…+
＝+++…+
＝
＝
（1）猜想并写出：＝
；（为正整数）
（2）直接写出下面式子计算结果：++…+
＝
；
（3）探究并计算：++…+
26．（2018·福建罗源·初二月考）已知分式
A
（1）化简这个分式；
（2）当
a＞2
时，把分式
A
化简结果的分子与分母同时加上
4
后得到分式
B，问：分式
B
的值较原来分式
A
的值是变大了还是变小了？试说明理由；
（3）若
A
的值是整数，且
a
也为整数，求出符合条件的所有
a
值的和．
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专题15.2
分式的运算
(
条
码
粘
贴
处
（正面朝上贴在此虚线框内）
)
姓名：______________班级：______________
准考证号
(
注意事项
1
、
答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2
、
请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
3
、
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4
、
请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
6
、填涂样例
正确
[
■
]
错误
[
--
][
√
]
[
×
]
)
(
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记
！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
)
选择题（请用2B铅笔填涂）
１、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
２、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
３、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
４、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
５、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
６、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
７、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
８、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
９、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
10、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
11、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
12、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
13、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
14、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
非选择题（请在各试题的答题区内作答）
15题、
16题、
17题、
18题、
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
25题、
26题、
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