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专题15.3
分式方程
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·全国初二课时练习）下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（
）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②③④
【答案】D
【解析】①的分母中不含未知数，故不是分式方程；
②，③，④是分母中含未知数的方程，
故②③④是分式方程．
故选：D．
2．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是(
)
A．x+2＝3
B．x﹣2＝3
C．x﹣2＝3(2x﹣1)
D．x+2＝3(2x﹣1)
【答案】C
【解析】方程两边都乘以(2x﹣1)，得
x﹣2＝3(2x﹣1)，
故选C．
3．（2020·山东东明·期末）若代数式的化简结果为．则整式Ａ为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵代数式的化简结果为
∴
∴
∴
故选：A．
4．（2020·福建漳州·初二期末）甲，乙两个工程队，甲队修路米与乙队修路米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修米．若可列方程表示题中的等量关系，则方程中表示（
）
A．甲队每天修路的长度
B．乙队每天修路的长度
C．甲队修路米所用天数
D．乙队修路米所用天数
【答案】A
【解析】根据题意和所列方程得知：根据时间相等列出的分式方程，
等量关系是：甲队修路300米所用时间=乙队修路400米所用时间，
∴方程中x表示甲队每天修路的长度，
故选：A．
5．（2020·四川省成都列五中学初三三模）方程的解是（ ）
A．x＝﹣
B．x＝
C．x＝﹣
D．x＝1
【答案】A
【解析】解：分式方程整理得：，
去分母得：3x＝﹣2+x﹣1，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
故选：A．
6．（2020·浙江上城·初三一模）“杭州城市大脑”用大数据改善城市交通，实现了从治堵到治城的转变．数据表明，杭州上塘高架路上共22km的路程，利用城市大脑后，车辆通过速度平均提升了15%，节省时间5分钟，设提速前车辆平均速度为xkm/h，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：设提速前车辆平均速度为xkm/h，由题意得：
﹣，
故选：B．
7．（2020·陕西西安·高新一中期中）若分式的值为0，则x应满足的条件是(
)
A．x
=
-1
B．x
≠
-1
C．x
=
±1
D．x
=
1
【答案】D
【解析】由题意得：x2-1=0
且x+1≠0，解得：x=1，故选D
8．（2020·河北泊头·初二期末）某班学生到距学校12km的烈士陵园扫墓，一部分同学骑自行车先行，经h后，其余同学乘汽车出发，由于□□□□□□，设自行车的速度为xkm/h，则可得方程为，根据此情境和所列方程，上题中□□□□□□表示被墨水污损部分的内容，其内容应该是（
）
A．汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达
B．汽车速度是自行车速度的3倍，后部分同学比前部分同学迟到h
C．汽车速度是自行车速度的3倍，前部分同学比后部分同学迟到h
D．汽车速度比自行车速度每小时多3km，结果同时到达
【答案】A
【解析】解：由方程可知汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达．
故选：A
9．（2020·江苏射阳·期中）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．且
D．且
【答案】D
【解析】方程两边同时乘以得，，
解得．
∵为正数，
∴，解得．
∵，
∴，即．
∴的取值范围是且．
故选：D．
10．（2019·湖南广益实验中学初二月考）某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共赢利（ ）元．
A．1220元
B．1225元
C．1230元
D．1235元
【答案】C
【解析】设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书2x本
依题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意
∴利润为（元）
故选：C．
11．（2020·四川郫都·期末）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．7
B．3
C．4
D．0
【答案】A
【解析】分式方程去分母得：x+4=m+2x?6，
由分式方程有增根，得到x?3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=7，
故选A.
12．（2020·四川开江·期末）已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（
）
A．
B．且
C．
D．且
【答案】D
【解析】解：解分式方程可得：
由已知可得：
所以，k的取值范围为：k<2且k≠1．
故选D．
13．（2020·广东揭阳·期末）关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣5
B．﹣8
C．﹣2
D．5
【答案】A
【解析】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A．
14．（2020·温州育英国际实验学校初二月考）若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数m的和是（
）．
A．8???
B．9??
C．－5?
D．0
【答案】A
【解析】去分母得
∴
∵x是整数
∴m－2＝1或m－2＝－1或m－2＝7或m－2＝－7
∴m＝3，m＝1，m＝9，m＝－5．
∴3＋1＋9－5＝8．
故选：A．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·江苏月考）已知=，则=_____．
【答案】4
【解析】解：在等式两边同时乘得：
，
，
==4，
故答案为4．
16．（2020·山西平定·期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程
度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿
灯亮时，小敏共用秒通过，其中通过的速度是通过速度的倍，求小敏通过时的速度．设小敏通过时的速度是米/秒，
根据题意列方程为______．
【答案】
【解析】解：设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意得：
故答案为.
17．（2020·福建闽侯·开学考试）学校为进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批篮球和足球．已知购买足球数量是篮球的2倍，购买足球用了4000元，购买篮球用了2800元，篮球单价比足球贵16元．若可列方程表示题中的等量关系，则方程中表示的是__________．
【答案】篮球的数量
【解析】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个．
根据题意可得：，
故答案为篮球的数量．
18．（2020·山东青州·期中）观察分析下列方程：
①的解是或；
②的解是或；
③的解是或；
……
利用它们所蕴含的规律，则关于的方程(为正整数)的解是_____．
【答案】x=n+3或x=n+4
【解析】①中，方程的解为x=1或x=2，1×2=2，1+2=3，
②中，方程的解为x=2或x=3，2×3=6，2+3=5，
③中，方程的解为x=3或x=4，3×4=12，3+4=7，
……
∴关于x的方程x+=2a+1(a为正整数)的解为x=a或x=a+1，
把变形得：，
∴x-3=n或x-3=n+1，
∴x=n+3或x=n+4，
∴关于的方程(为正整数)的解是x=n+3或x=n+4，
故答案为：x=n+3或x=n+4
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·山西阳城·初二期末）解方程：．
【答案】无解
【解析】解：去分母得：，
去括号得：1+2x-4=x-1，
移项合并得：x=2，
经检验：x=2是原方程的增根，
故方程无解．
20．（2020·河南洛宁·期中）某服装厂“双十一”前接到一份加工4500件服装的订单，应客户要求，需提前供货．该服装厂决定提高工作效率，实际每天加工的件数是原计划的1.5倍，结果提前10天完工．求原计划每天加工服装的件数．
【答案】原计划每天加工服装150件．
【解析】设原计划每天加工服装x件，
，
解得：x=150，
经检验x=150是原方程的解且符合题意，
答：原计划每天加工服装150件．
21．（2019·河北泊头·初二期中）已知方程的解与方程的解相同，求a的值．
【答案】
【解析】解：化为整式方程得：x（x﹣1）+2（x+1）=x2﹣1，
化简得：x=﹣3，
经检验x=﹣3是原方程的解，
∴原方程的解是x=﹣3，
将x=-3代入，
解得a=，
经检验a=是原方程的解，
∴a=．
22．（2020·浙江东阳·初一期末）小明在解一道分式方程，过程如下：
第一步：方程整理，
第二步：去分母
（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是
、
；
（2）请把以上解分式方程过程补充完整．
【答案】（1）分式的基本性质；等式的基本性质；（2）过程补充完整见解析；x＝3是原方程的解．
【解析】（1）第一步方程变形的依据是分式的基本性质；第二步方程变形的依据是等式的基本性质．
故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质；
（2）去分母得：x﹣1﹣（x﹣2）＝2x﹣5，
去括号得：x﹣1﹣x+2＝2x﹣5，
移项得：x﹣x﹣2x＝1﹣2﹣5，
合并得：﹣2x＝﹣6，
系数化为1得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解．
23．（2019·吉林吉林·初二期末）已知方程①
．
（1）若x=1是方程的解，则m的值为______；
（2）若m=1，解方程．
【答案】（1）3；（2）无解
【解析】解：（1）
，
去分母，得
解得
令，解得m=3
故答案为m=3．
（2）把代入，得
去分母，得
解得
经检验：不是原方程的解．
∴原方程无解．
24．（2020·河北高阳·初二期末）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：.
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.
【解析】（1）方程两边同时乘以得
解得
经检验，是原分式方程的解.
（2）设？为，
方程两边同时乘以得
由于是原分式方程的增根，
所以把代入上面的等式得
所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.
25．（2018·山东阳信·初二期末）阅读下列材料：
在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程=1的解为正数，求a的取值范围．
经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：
小杰说：解这个关于x的分式方程，得x=a+4．由题意可得a+4＞0，所以a＞﹣4，问题解决．
小哲说：你考虑的不全面，还必须保证x≠4，即a+4≠4才行．
（1）请回答：
的说法是正确的，并简述正确的理由是
；
（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：
若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围．
【答案】（1）小哲；分式的分母不为0；（2）m≥﹣6且m≠﹣3．
【解析】解：（1）小哲的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为0；
故答案为：小哲；分式的分母不为0；
（2）去分母得：m+x=2x﹣6，
解得：x=m+6，
由分式方程的解为非负数，得到m+6≥0，且m+6≠3，
解得：m≥﹣6且m≠﹣3．
26．（2020·四川开江·期末）每年的6,7月，各种夏季水果相继成熟，也是水果销售的旺季，某商家抓住商机，在6月份主推甲、乙两种水果的销售．已知6月份甲种水果的销售总额为12000元，乙种水果的销售总额为9000元，乙种水果的售价是甲种水果售价的1.5倍，乙种水果的销售数量比甲种水果的销售数量少1000㎏．
（1）求6月份甲种水果的售价是多少元？
（2）7月份，该商家准备销售甲、乙两种水果共5000kg．为了加大推销力度，将甲种水果的售价在6月份的基础上下调了30％，乙种水果在6月份的基础上打六折销售．要使7月份的总销售额不低于23400元，则商家至多要卖出甲种水果多少kg？
（3）在（2）的条件下，若甲种水果进价为2.7元/kg，乙种水果的进价为3.5元/kg，7月份，该商家可获利多少元？
【答案】（1）6月份甲水果的售价是6元；（2）该商店至多要卖出甲水果3000kg；（3）8300元
【解析】（1）假设6月份甲水果售价是元，则6月份乙种水果的售价是元．
根据题意得：，
解得：，
经检验符合题意．
答：6月份甲水果的售价是6元．
（2）假设该商家至多要卖出甲水果kg，则商家至少卖出乙水果kg．
由题意得：，
解得：．
答：该商店至多要卖出甲水果3000kg．
（3）．
答：该商家至少获利8300元．
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专题15.3
分式方程
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·全国初二课时练习）下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（
）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②③④
2．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是(
)
A．x+2＝3
B．x﹣2＝3
C．x﹣2＝3(2x﹣1)
D．x+2＝3(2x﹣1)
3．（2020·山东东明·期末）若代数式的化简结果为．则整式Ａ为（
）．
A．
B．
C．
D．
4．（2020·福建漳州·初二期末）甲，乙两个工程队，甲队修路米与乙队修路米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修米．若可列方程表示题中的等量关系，则方程中表示（
）
A．甲队每天修路的长度
B．乙队每天修路的长度
C．甲队修路米所用天数
D．乙队修路米所用天数
5．（2020·四川省成都列五中学初三三模）方程的解是（ ）
6．（2020·浙江上城·初三一模）“杭州城市大脑”用大数据改善城市交通，实现了从治堵到治城的转变．数据表明，杭州上塘高架路上共22km的路程，利用城市大脑后，车辆通过速度平均提升了15%，节省时间5分钟，设提速前车辆平均速度为xkm/h，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·陕西西安·高新一中期中）若分式的值为0，则x应满足的条件是(
)
A．x
=
-1
B．x
≠
-1
C．x
=
±1
D．x
=
1
8．（2020·河北泊头·初二期末）某班学生到距学校12km的烈士陵园扫墓，一部分同学骑自行车先行，经h后，其余同学乘汽车出发，由于□□□□□□，设自行车的速度为xkm/h，则可得方程为，根据此情境和所列方程，上题中□□□□□□表示被墨水污损部分的内容，其内容应该是（
）
A．汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达
B．汽车速度是自行车速度的3倍，后部分同学比前部分同学迟到h
C．汽车速度是自行车速度的3倍，前部分同学比后部分同学迟到h
D．汽车速度比自行车速度每小时多3km，结果同时到达
9．（2020·江苏射阳·期中）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．且
D．且
10．（2019·湖南广益实验中学初二月考）某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共赢利（ ）元．
A．1220元
B．1225元
C．1230元
D．1235元
11．（2020·四川郫都·期末）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．7
B．3
C．4
D．0
12．（2020·四川开江·期末）已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（
）
A．
B．且
C．
D．且
13．（2020·广东揭阳·期末）关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣5
B．﹣8
C．﹣2
D．5
14．（2020·温州育英国际实验学校初二月考）若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数m的和是（
）．
A．8???
B．9??
C．－5?
D．0
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2020·江苏月考）已知=，则=_____．
16．（2020·山西平定·期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程
度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿
灯亮时，小敏共用秒通过，其中通过的速度是通过速度的倍，求小敏通过时的速度．设小敏通过时的速度是米/秒，
根据题意列方程为______．
17．（2020·福建闽侯·开学考试）学校为进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批篮球和足球．已知购买足球数量是篮球的2倍，购买足球用了4000元，购买篮球用了2800元，篮球单价比足球贵16元．若可列方程表示题中的等量关系，则方程中表示的是__________．
18．（2020·山东青州·期中）观察分析下列方程：
①的解是或；
②的解是或；
③的解是或；
……
利用它们所蕴含的规律，则关于的方程(为正整数)的解是_____．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·山西阳城·初二期末）解方程：．
20．（2020·河南洛宁·期中）某服装厂“双十一”前接到一份加工4500件服装的订单，应客户要求，需提前供货．该服装厂决定提高工作效率，实际每天加工的件数是原计划的1.5倍，结果提前10天完工．求原计划每天加工服装的件数．
21．（2019·河北泊头·初二期中）已知方程的解与方程的解相同，求a的值．
22．（2020·浙江东阳·初一期末）小明在解一道分式方程，过程如下：
第一步：方程整理，
第二步：去分母
（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是
、
；
（2）请把以上解分式方程过程补充完整．
23．（2019·吉林吉林·初二期末）已知方程①
．
（1）若x=1是方程的解，则m的值为______；
（2）若m=1，解方程．
24．（2020·河北高阳·初二期末）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：.
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
25．（2018·山东阳信·初二期末）阅读下列材料：
在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程=1的解为正数，求a的取值范围．
经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：
小杰说：解这个关于x的分式方程，得x=a+4．由题意可得a+4＞0，所以a＞﹣4，问题解决．
小哲说：你考虑的不全面，还必须保证x≠4，即a+4≠4才行．
（1）请回答：
的说法是正确的，并简述正确的理由是
；
（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：
若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围．
26．（2020·四川开江·期末）每年的6,7月，各种夏季水果相继成熟，也是水果销售的旺季，某商家抓住商机，在6月份主推甲、乙两种水果的销售．已知6月份甲种水果的销售总额为12000元，乙种水果的销售总额为9000元，乙种水果的售价是甲种水果售价的1.5倍，乙种水果的销售数量比甲种水果的销售数量少1000㎏．
（1）求6月份甲种水果的售价是多少元？
（2）7月份，该商家准备销售甲、乙两种水果共5000kg．为了加大推销力度，将甲种水果的售价在6月份的基础上下调了30％，乙种水果在6月份的基础上打六折销售．要使7月份的总销售额不低于23400元，则商家至多要卖出甲种水果多少kg？
（3）在（2）的条件下，若甲种水果进价为2.7元/kg，乙种水果的进价为3.5元/kg，7月份，该商家可获利多少元？
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专题15.3
分式方程
(
条
码
粘
贴
处
（正面朝上贴在此虚线框内）
)
姓名：______________班级：______________
准考证号
(
注意事项
1
、
答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2
、
请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
3
、
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4
、
请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5
、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
6
、填涂样例
正确
[
■
]
错误
[
--
][
√
]
[
×
]
)
(
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记
！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
)
选择题（请用2B铅笔填涂）
１、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
２、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
３、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
４、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
５、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
６、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
７、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
８、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
９、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
10、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
11、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
12、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
13、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
14、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
非选择题（请在各试题的答题区内作答）
15题、
16题、
17题、
18题、
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
25题、
26题、
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