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专题15.3
分式方程
典例体系（本专题共58题25页）
一、知识点
分式方程
1.分式方程：指含分式，且分母中含有未知数的方程
2.解分式方程的步骤：
（1）能化简的先化简
（2）去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
（3）解整式方程，得到整式方程的解。
（4）检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
注意：产生增根的条件是①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
列分式方程——基本步骤：审，设，列，解，答（跟一元一次不等式组的应用题解法一样）
审—仔细审题，找出等量关系。
设—合理设未知数。
列—根据等量关系列出方程（组）。
解—解出方程（组）。注意检验
答—答题。
二、考点点拨与训练
考点1:解分式方程
典例：（2020·扬州市梅岭中学月考）解下列方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）x＝6；（2）分式方程无解．
【解析】（1）去分母得：2x＝3（x﹣2），
去括号得：2x＝3x﹣6，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解；
（2）去分母得：（x+1）2﹣（x2﹣1）＝4，
整理得：x2+2x+1﹣x2+1＝4，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，
∴该分式方程无解．
故答案为（1）x＝6；（2）该分式方程无解
方法或规律点拨
本题考查了解分式方程，在解题过程中一定要注意检验所求解是否为增根，这是本题的关键，如果是增根，则分式方程无解．
巩固练习
1．（2020·河南孟津·期中）将方程去分母化简后，得到的方程是（
）
A．x﹣4＝3﹣2
B．x﹣4＝3﹣2x+1
C．x﹣4＝3﹣2x+2
D．x﹣4＝3﹣2x﹣2
【答案】D
【解析】分式方程去分母得：x﹣4＝3﹣2（x+1），
去括号得：x﹣4＝3﹣2x﹣2．
故选D．
2．（2020·黑龙江哈尔滨·月考）方程＝的解为(
)
A．x＝3
B．x＝4
C．x＝5
D．x＝﹣5
【答案】C
【解析】方程两边同乘（x-1）(x+3)，得
x+3-2(x-1)=0，
解得：x=5，
检验：当x=5时，（x-1）(x+3)≠0，
所以x=5是原方程的解，
故选C.
3．（2019·广东郁南·月考）把分式方程
+
2
=化为整式方程，得（ ）
A．x+2=2x（x+2）
B．x+2（x2﹣4）=2x（x+2）
C．x+2（x﹣2）=2x（x﹣2）
D．x+2（x2﹣4）=2x（x﹣2）
【答案】B
【解析】解：去分母得：x+2（x2-4）=2x（x+2）．
故选：B．
4．（2019·广西玉林·期末）解分式方程，分以下四步，其中错误的一步是(
)
A．方程两边各分式的最简公分母是
B．方程两边都乘以，得整式方程：
C．解这个整式方程，得
D．原方程的解为
【答案】D
【解析】解：分式方程的最简公分母为(x?1)(x+1)，?
方程两边乘以(x?1)(x+1)，得整式方程2(x?1)+3(x+1)=6，?
解得：x=1，?
经检验x=1是增根，分式方程无解．
故选D．
5．（2020·甘肃七里河·期末）解分式方程：．
【答案】分式方程无解．
【解析】去分母得：x(x+1)﹣x2+1=2，
去括号得：x2+x﹣x2+1=2，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
6．（2020·江苏丹阳·期末）（1）
（2）
【答案】（1）无解；（2）x=0
【解析】（1）解：方程两边同时乘以（x－2），得：，
解得：，
检验：当时，，
所以是方程的增根，原方程无解；
（2）解：原方程即为：，
方程两边同时乘以，得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的解．
7．（2020·河南孟津·期中）解方程：+＝1．
【答案】x＝1．
【解析】解：方程整理得：+＝1，
去分母得：9x﹣7+4x﹣5＝3x﹣2，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
8．（2020·江西寻乌·期末）解方程：
【答案】x=-1
【解析】解：方程两边都乘以x(x-1)得3x-(x-2)=0
解这个方程得x=-1
当x=-1时x(x-1)≠0，
:.x=-1是原分式方程的解，．
9．（2020·广西其他）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：．请你根据上述规定，求出下列等式中的值：．
【答案】
【解析】解：
由，
可得，
∴，
∴，
经检验：是原方程的解．
10．（2020·辽宁灯塔·期末）解方程：＝1+．
【答案】x＝﹣3
【解析】去分母得：2x＝x﹣2﹣1，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．
11．（2020·广西其他）解方程：．
【答案】无解．
【解析】解：去分母得：15x-12=4x+10-3x+6，
移项合并得：14x=28，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
12．（2020·吉林期末）解方程：．
【答案】x＝1．
【解析】解：，
，
1+2（x﹣2）＝﹣x，
1+2x﹣4＝﹣x，
2x+x＝4﹣1，
3x＝3，
x＝1，
经检验，x＝1是原方程的根．
13．（2020·安徽临泉·期末）解分式方程：．
【答案】
【解析】解：2(x-1)+(x+2)(x-1)=x(x+2)
x=4
检验：x=4是原方程的解
所以方程的解是x=4．
考点2：根据分式方程解得情况求参数取值
典例：（2020·安徽全椒·初二）若关于x的分式方程的解为正数，则满足条件的非负整数k的值为____．
【答案】0．
【解析】∵，
∴．
∵x＞0，
∴，
∴，
∴满足条件的非负整数的值为0、1，
时，解得：x=2，符合题意；
时，解得：x=1，不符合题意；
∴满足条件的非负整数的值为0．
故答案为：0．
方法或规律点拨
此题考查分式方程的解，解题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
巩固练习
1．（2021·重庆巴蜀中学开学考试）若数
a使关于
x的分式方程有整数解，且关于y
的不等式组恰
好有两个奇数解，则符合条件的所有整数
a的和是（
）
A．7
B．5
C．2
D．1
【答案】C
【解析】解：解分式方程，得
x=，
当a=-1时，x=2，原方式方程分母为0，
∴符合条件的整数a为：-3，0，2，3，5，
解不等式组，得，
∵恰好有两个奇数解，
∴-1≤＜1，
解得：-3≤a＜5，
符合条件的整数a为：-3，0，2，3，
∴符合条件的所有整数a的和为2，
故选C．
2．（2020·重庆北碚·西南大学附中期末）若整数使得关于的方程的解为非负整数，且关于的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数的和为（
）
A．6
B．9
C．13
D．16
【答案】C
【解析】解：分式方程去分母得：2(x-2)-3=-a，
去括号得：2x-4-3=-a，
解得：，
检验，分母不为0，即，即
由分式方程的解为非负整数，得到7-a=0或2或6或8或…，
解得：a=7或5或1或-1或…，
解不等式组整理得：，即-1＜y≤a，
由不等式组至少有2个整数解，得到a≥1，
综上，a=1，5，7，其和为13．
故选：C．
3．（2020·陕西横山·期末）关于的分式方程解为，则常数的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵关于的分式方程解为，
∴，
∴，
∴，
经检验，是方程的解，
故选：A.
4．（2020·山东青州·期中）已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（
）
A．m＞2
B．m≥2
C．m≥2且m≠3
D．m＞2且m≠3
【答案】C
【解析】分式方程去分母得：m-3=x-1，
解得：x=m-2，
由方程的解为非负数，得到m-2≥0，且m-2≠1，
解得：m≥2且m≠3．
故选C.
5．（2020·山东博山·二模）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，
方程两边同乘以，得
，
移项及合并同类项，得
，
分式方程的解是非正数，，
，
解得，，
故选A．
6．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若关于x的方程=3的解为正数，则m的取值范围是（
）
A．m＜
B．m＜且m≠
C．m＞﹣
D．m＞﹣且m≠﹣
【答案】B
【解析】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=，
已知关于x的方程=3的解为正数，
所以﹣2m+9＞0，解得m＜，
当x=3时，x==3，解得：m=，
所以m的取值范围是：m＜且m≠．
故答案选B．
7．（2020·湖北荆门·初三学业考试）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（
）
A．正数
B．负数
C．零
D．无法确定
【答案】A
【解析】关于x的分式方程
得x=，
∵
∴
解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3
∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,
故选A．
8．（2020·陕西城固·初二期末）已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是( )
A．且
B．
C．且
D．且
【答案】C
【解析】解：去分母：
解得：
∵解是负数
∴
∴
又分母不为0，∴
即
∴m的取值范围是：且.
故答案为：C.
9．（2020·甘肃其他）已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为________.
【答案】k<6且k≠3
【解析】解：，
方程两边都乘以（x-3），得
x=2（x-3）+k，
解得x=6-k≠3，
关于x的方程程有一个正数解，
∴x=6-k＞0，
k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．
故答案为k＜6且k≠3．
10．（2020·景泰县第四中学期末）若关于若关于x的分式方程的解为正数，那么字母a的取值范围是___．
【答案】a＞1且a≠2
【解析】分式方程去分母得：2x﹣a=x﹣1，解得：x=a﹣1，
根据题意得：a﹣1＞0，解得：a＞1．
又当x=1时，分式方程无意义，∴把x=1代入x=a﹣1得a=2．
∴要使分式方程有意义，a≠2．
∴a的取值范围是a＞1且a≠2．
11．（2020·扬州市梅岭中学月考）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________．
【答案】且
【解析】解关于x的方程得x＝m＋6，
∵x?2≠0，解得x≠2，
∵方程的解是正数，
∴m＋6＞0且m＋6≠2，
解这个不等式得m＞?6且m≠?4．
故答案为：m＞?6且m≠?4．
12．（2020·福建省泉州实验中学期末）若关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为__．
【答案】k＜3且k≠1．
【解析】解：去分母得：
解得：
由分式方程的解为负数，得到且
即
解得：且
故答案为：且
13．（2020·淮阳第一高级中学初中部期末）若方程的解小于零，则a的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】,
（a-2）(1-x)=x+1，
(1-a)x=3-a，
x=，
∵方程的解小于零，
∴<0，
∴或，
解得且
故答案为：且.
14．（2020·安徽省安庆市外国语学校期末）若分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________．
【答案】m＞1且m≠3
【解析】解：方程两边同乘以x-1，得，m-3=2(x-1)，
解得，
∵分式方程解为正数
∴且x-1≠0，
即m＞1且，
∴m＞1且m≠3，
故答案为：m＞1且m≠3．
15．（2020·四川郫都·期末）若方程的根为负数，则k的取值范围是______。
【答案】k＞2且k≠3
【解析】解：方程两边都乘以（x+3）（x+k）得，
3（x+k）=2（x+3），
解得x=-3k+6，
∵方程的解是负数，
∴-3k+6＜0，
解得k＞2，
又∵x+3≠0，x+k≠0，
∴x≠-3，x≠-k
∴-3k+6≠-3,
-3k+6≠-k
∴k≠3，
∴k＞2且k≠3．
故答案为：k＞2且k≠3．
16．（2019·张掖市育才中学期末）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是_________．
【答案】a>-1
【解析】解：去分母得2x+a=x-1，
解得x=-a-1，
∵关于x的方程＝1的解是正数，
∴x＞0且x≠1，
∴-a-1＞0且-a-1≠1，解得a＜-1且a≠-2，
∴a的取值范围是a＜-1且a≠-2．
故答案为a＜-1且a≠-2．
17．（2020·内蒙古昆都仑·初二期末）已知关于x的分式方程﹣2＝的解是正数，则m的取值范围是_____．
【答案】m＞﹣2且m≠﹣1
【解析】方程两边同时乘以x﹣1得，x﹣2（x﹣1）＝﹣m，
解得x＝m+2．
∵x为正数，
∴m+2＞0，解得m＞﹣2．
∵x≠1，
∴m+2≠1，即m≠﹣1．
∴m的取值范围是m＞﹣2且m≠﹣1．
故答案为m＞﹣2且m≠﹣1．
18．（2020·四川巴中·初二期末）关于x的分式方程有一个正数解，则a的取值范围是___________
【答案】a＞-3且a≠1
【解析】解：去分母，得，
解得：x=，
∵方程有一个正数解，
∴＞0，且≠2，
解得：a＞-3且a≠1，
故答案为：a＞-3且a≠1．
考点3：列分式方程
典例：（2020·云南昆明·其他）为了加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区要对全长米的道路进行改造，为了尽量减少施工对交通的影响，施工队的工作效率增加了，结果提前天完成，设施工队原计划每天铺米，则下列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：设施工队原计划每天铺米，则
故选
方法或规律点拨
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·景泰县第四中学期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4
800元，第二次捐款总额为5
000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：设第一次有x人捐款，那么第二次有（x+20）人捐款，由题意，有
=，
故选B．
2．（2020·江西寻乌·期末）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据等量关系可列出方程：
．故选B．
3．（2020·河北灵寿·期末）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A．-=20
B．-=20
C．-=
D．=
【答案】C
【解析】由题意可得，
-=，
故选：C．
3．（2020·广东深圳·其他）某口罩生产企业最近要紧急完成1000万只口罩生产的任务，在生产完400万只口罩后，新的生产线安装完毕，可以加入生产了；新的生产线加入后，每天口罩的生产总量比原来增加了，结果共用了8天完成了任务设新生产线加入前，每天生产口罩万只，则根据题意可得方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：设新生产线加入前，每天生产口罩x万只，则根据题意可得：
．
故选B．
4．（2020·安徽临泉·期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：由题意可得，
，
故选B．
5．（2020·福建省泉州实验中学期末）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克，A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等．设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，根据题意可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，则A型机器人每小时搬运化工原料（x+40）千克，由A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等，可得方程=．故选A．
6．（2020·河南遂平·期中）某煤矿原计划x天生存120
t煤，由于采用新的技术，每天增加生存3
t，因此提前2天完成，列出的方程为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为原计划x天生产120吨煤,所以原计划每天生产吨,因为采取新的技术,提前2天
,所以现在每天生产吨,因为现在每天比原计划每天增加3吨,所以可列方程是,故选D.
7．（2020·广西百色·期末），两地航程为48千米，一艘轮船从地顺流航行至地，又立即从地逆流返回地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为千米/时，则可列方程（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：由题意可得，
，
故选：C.
8．（2020·衡阳县井头镇大云中学期末）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因客户的要求每天的工作效率应该为：（48+x）件，所用的时间为：，根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间，减去提前完成时间，可以列出方程：
故选：D．
9．（2020·四川巴州·期末）为响应“科技扶贫”，我区某单位向一贫困村赠送1080本农村实用书籍，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱多用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可少装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设每个A型包装箱可以装书本，则每个B型包装箱可以装书()本，
根据题意，得：，
故选：B．
10．（2020·广东禅城·期末）轮船顺流航行60千米后返回，共用了5小，己知水流速度是3千米/时，如果轮船在静水中的速度为x千米/时，则所列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：设轮船在静水中的航行速度为x千米/时，
由题意，得：，
故选：C．
11．（2020·四川南江·期末）某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，可得：
故选B．
12．（2021·浙江瑞安·开学考试）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方程（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【答案】B
【解析】解：设原来每天生产x万个口罩，则现在每天生产（x+4）万个口罩，
依题意，得：＝；
故选：B．
13．（2020·江苏宿迁·二模）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程______．
【答案】
【解析】解：设走路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为（1+60%）x千米/小时，
依题意，得：．
故答案为：.
14．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.2倍，求小明通过时的速度．设小明通过时的速度是米/秒，根据题意列方程得：_____________________．
【答案】
【解析】解：设小明通过时的速度是米秒，可得：，
故答案为，
15．（2018·河北邢台·一模）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月．总工程全部完成，设乙队单独施1个月能完成总工程的，根据题意，得方程_____．
【答案】．
【解析】解：设乙队单独施1个月能完成总工程的，
根据题意得：．
故答案为．
16．（2020·北京海淀·人大附中其他）一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，设特快列车的平均速度为千米/时，则可列方程为______．
【答案】；
【解析】解：设特快列车的平均速度为千米/时，则高铁列车的平均速度是千米/时，
则乘坐高铁列车所用时间为小时，乘坐特快列车所用时间为小时，
所以：，
故答案为：．
17．（2020·四川开江·期末）疫情期间，某工厂一生产车间获得150000只口罩的生产订单，加工60000
个口罩后，采用了新的生产工艺，效率调高到原来的2倍，任务完成后，发现比原计划少用了10小时．设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，依据题意可得方程_________________．
【答案】
【解析】解：设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，则采用新工艺之后每小时可生产口罩2x个，
依题意，得：．
考点4：分式方程应用题
典例：（2020·扬州市梅岭中学月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染.某药店用4000元购进若干包一次性医用口罩，很快售完，该店又用元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多元，请解答下列问题：
求购进的第一批医用口罩有多少包；
政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致.若售完这两批口罩的总利润不高于元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
【答案】(1)
购进的第一批医用口罩有包；(2)
该药店销售该医用口罩每包最高售价为元
【解析】解：设购进的第一批医用口罩有包，
根据题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意.
答：购进的第一批医用口罩有包.
解：设该医用口罩每包的售价为元，
购进的第二批医用口罩为(包)
.
根据题意得：
解得：
答：该药店销售该医用口罩每包最高售价为元.
方法或规律点拨
此题主要考查列分式方程和一元一次不等式解应用题，理解题意，找出实际问题中的等量关系和不等关系是解题关键．
巩固练习
1．（2019·河北南宫·期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为6400米．甲同学先步行400米，然后乘公交车去学校（由步行改乘公交车的时间忽略不计），乙同学骑自行车去学校，已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的3倍．甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到8分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【答案】（1）乙骑自行车的速度为400m/min；（2）乙同学离学校还有3200m
【解析】解：（1）设乙骑自行车的速度为xm/min，则公交车的速度是3xm/min，甲步行速度是xm/min，
由题意得：．
解得：x=400．
经检验x=400原方程的解
答：乙骑自行车的速度为400m/min．
（2）当甲到达学校时，乙同学还要继续骑行8分钟，所以
8×400=3200（m）．
答：乙同学离学校还有3200m．
2．（2020·广西右江·一模）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
(1)求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
(2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
【答案】(1)每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是100千米；(2)至少需要用电行驶60千米．
【解析】解：(1)设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为(x+0.5)元，
可得：，
解得：x=0.3，
经检验x=0.3是原方程的解，
∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30÷0.3=100千米；至少需要用电行驶60千米．
(2)汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.5=0.8元，
设汽车用电行驶ykm，
可得：0.3y+0.8(100-y)≤50，
解得：y≥60，
所以至少需要用电行驶60千米．
3．（2019·四川南充·一模）某水果经销商看准商机，第一次用元购进某种水果进行销售，销售良好，于是第二次用了元购进同种水果，但此次进价比第一次提高了，所购数量比第一次购进数量的倍还多千克．
（1）求第一次所购水果的进货价是每千克多少元？
（2）在实际销售中，两次售价开始均相同，但第一次购进的水果在销售过程中，消费者挑选后，由于水果品相下降，最后千克八折售出；第二次购进的水果由于同样的原因，最后千克九折售出，若售完这两批水果的毛利不低于元，则每千克开始售价至少为多少元？
【答案】（1）2元；（2）3元
【解析】解：（1）设第一次所购水果的进货价是每千克元．由题意，得
约简，得
即
检验，是原方程的根，
答：第一次所购水果的进货价是每千克2元．
（2）由（1）第一次购进的数量为（千克）
第二次购进的数量为（千克）
每千克开始售价至少为元．由题意，得
即
即．
．
即每千克开始售价至少为元．
4．（2019·广东潮州·其他）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?
(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天?
【答案】（1）甲队单独完成此项任务需30天，乙队单独完成此颊任务需20天（2）甲队至少再单独施工3天
【解析】解：（1）设乙队单独完成此项任务需x天，则甲队单独完成此项任务需(x+10)天，
根据题意得，
解得，x=20，
经检验x=20是原方程的解．
∴x+10=30．
答：甲队单独完成此项任务需30天，乙队单独完成此颊任务需20天．
（2）设甲队再单独施工a天
，解得≥3，
答：甲队至少再单独施工3天．
5．（2020·海东市教育研究室期末）枇杷肉质厚实，鲜甜微酸，营养价值很高，是初夏里受人们喜爱的水果之一．枇杷一上市，某水果店的老板就用1350元购进一批枇杷，很快售完．老板又用1900元购进第二批枇杷，所购箱数是第一批的倍，但进价比第一批每箱多了5元．
（1）求第一批枇杷的每箱进价．
（2）老板以每箱145元的价格销售第二批枇杷，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩下的打折促销．要使得第二批枇杷的销售利润不少于855元，剩余的枇杷每箱售价至多打几折？
【答案】（1）第一批枇杷每箱进价为90元；（2）剩余的枇杷每箱售价至多打七五折
【解析】解：（1）设第一批枇杷每箱进价x元．
由题意得，
解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
答：第一批枇杷每箱进价为90元．
（2）第二批购进枇杷的箱数为
设剩余的枇杷每箱售价打y折．
由题意可知，，
解得．
答：剩余的枇杷每箱售价至多打七五折．
6．（2020·广西其他）荔枝是某地的特色时令水果．荔枝一上市，水果店的老板用2400元购进一批荔枝，很快售完：老板又用3700元购进第二批荔枝，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批荔枝每件进价是多少元？
（2）老板以每件225元的价格销售第二批荔枝，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批荔枝的销售利润不少于530元，剩余的荔枝每件售价至少打几折？
【答案】（1）180元；（2）至少打7折
【解析】解：(1)设第一批荔枝每件进价x元，则，
解得
x＝180，
经检验，x＝180是原方程的根，
答：第一批荔枝每件进价为180元；
(2)设剩余的荔枝每件售价打y折，
由题意知：
解得
y≥7，
答：剩余的荔枝每件售价至少打7折．
7．（2020·江西寻乌·期末）列方程解应用题：老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少，小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树，他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/时，走了约3分钟
（1）由此估算这段路长约____千米；
（2）然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米，小宇计从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制出了示意图，考虑到投入资金的限制，他设计了一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少400棵树，请你求出a的值
【答案】（1）3；（2）7.5
【解析】（1）这段路长约60（千米）．
故答案为：3．
（2）设原计划每a米种一棵树，则现设计每2a米种一棵树，
依题意，得：
由愿意可得，
解方程得，
经检验，满足方程且符合题意．
答：的值是．
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专题15.3
分式方程
典例体系（本专题共58题25页）
一、知识点
分式方程
1.分式方程：指含分式，且分母中含有未知数的方程
2.解分式方程的步骤：
（1）能化简的先化简
（2）去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
（3）解整式方程，得到整式方程的解。
（4）检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
注意：产生增根的条件是①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
列分式方程——基本步骤：审，设，列，解，答（跟一元一次不等式组的应用题解法一样）
审—仔细审题，找出等量关系。
设—合理设未知数。
列—根据等量关系列出方程（组）。
解—解出方程（组）。注意检验
答—答题。
二、考点点拨与训练
考点1:解分式方程
典例：（2020·扬州市梅岭中学月考）解下列方程
（1）；
（2）．
方法或规律点拨
本题考查了解分式方程，在解题过程中一定要注意检验所求解是否为增根，这是本题的关键，如果是增根，则分式方程无解．
巩固练习
1．（2020·河南孟津·期中）将方程去分母化简后，得到的方程是（
）
A．x﹣4＝3﹣2
B．x﹣4＝3﹣2x+1
C．x﹣4＝3﹣2x+2
D．x﹣4＝3﹣2x﹣2
2．（2020·黑龙江哈尔滨·月考）方程＝的解为(
)
A．x＝3
B．x＝4
C．x＝5
D．x＝﹣5
3．（2019·广东郁南·月考）把分式方程
+
2
=化为整式方程，得（ ）
A．x+2=2x（x+2）
B．x+2（x2﹣4）=2x（x+2）
C．x+2（x﹣2）=2x（x﹣2）
D．x+2（x2﹣4）=2x（x﹣2）
4．（2019·广西玉林·期末）解分式方程，分以下四步，其中错误的一步是(
)
A．方程两边各分式的最简公分母是
B．方程两边都乘以，得整式方程：
C．解这个整式方程，得
D．原方程的解为
5．（2020·甘肃七里河·期末）解分式方程：．
6．（2020·江苏丹阳·期末）（1）
（2）
7．（2020·河南孟津·期中）解方程：+＝1．
8．（2020·江西寻乌·期末）解方程：
9．（2020·广西其他）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：．请你根据上述规定，求出下列等式中的值：．
10．（2020·辽宁灯塔·期末）解方程：＝1+．
11．（2020·广西其他）解方程：．
12．（2020·吉林期末）解方程：．
13．（2020·安徽临泉·期末）解分式方程：．
考点2：根据分式方程解得情况求参数取值
典例：（2020·安徽全椒·初二）若关于x的分式方程的解为正数，则满足条件的非负整数k的值为____．
方法或规律点拨
此题考查分式方程的解，解题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
巩固练习
1．（2021·重庆巴蜀中学开学考试）若数
a使关于
x的分式方程有整数解，且关于y
的不等式组恰
好有两个奇数解，则符合条件的所有整数
a的和是（
）
A．7
B．5
C．2
D．1
2．（2020·重庆北碚·西南大学附中期末）若整数使得关于的方程的解为非负整数，且关于的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数的和为（
）
A．6
B．9
C．13
D．16
3．（2020·陕西横山·期末）关于的分式方程解为，则常数的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
4．（2020·山东青州·期中）已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（
）
A．m＞2
B．m≥2
C．m≥2且m≠3
D．m＞2且m≠3
5．（2020·山东博山·二模）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若关于x的方程=3的解为正数，则m的取值范围是（
）
A．m＜
B．m＜且m≠
C．m＞﹣
D．m＞﹣且m≠﹣
7．（2020·湖北荆门·初三学业考试）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（
）
A．正数
B．负数
C．零
D．无法确定
8．（2020·陕西城固·初二期末）已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是( )
A．且
B．
C．且
D．且
9．（2020·甘肃其他）已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为________.
10．（2020·景泰县第四中学期末）若关于若关于x的分式方程的解为正数，那么字母a的取值范围是___．
11．（2020·扬州市梅岭中学月考）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________．
12．（2020·福建省泉州实验中学期末）若关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为__．
13．（2020·淮阳第一高级中学初中部期末）若方程的解小于零，则a的取值范围是__________．
14．（2020·安徽省安庆市外国语学校期末）若分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________．
15．（2020·四川郫都·期末）若方程的根为负数，则k的取值范围是______。
16．（2019·张掖市育才中学期末）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是_________．
17．（2020·内蒙古昆都仑·初二期末）已知关于x的分式方程﹣2＝的解是正数，则m的取值范围是_____．
18．（2020·四川巴中·初二期末）关于x的分式方程有一个正数解，则a的取值范围是___________
考点3：列分式方程
典例：（2020·云南昆明·其他）为了加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区要对全长米的道路进行改造，为了尽量减少施工对交通的影响，施工队的工作效率增加了，结果提前天完成，设施工队原计划每天铺米，则下列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
方法或规律点拨
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·景泰县第四中学期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4
800元，第二次捐款总额为5
000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·江西寻乌·期末）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为
A．
B．
C．
D．
3．（2020·河北灵寿·期末）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A．-=20
B．-=20
C．-=
D．=
3．（2020·广东深圳·其他）某口罩生产企业最近要紧急完成1000万只口罩生产的任务，在生产完400万只口罩后，新的生产线安装完毕，可以加入生产了；新的生产线加入后，每天口罩的生产总量比原来增加了，结果共用了8天完成了任务设新生产线加入前，每天生产口罩万只，则根据题意可得方程为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·安徽临泉·期末）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·福建省泉州实验中学期末）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运40千克，A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等．设B型机器人每小时搬运化工原料x千克，根据题意可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·河南遂平·期中）某煤矿原计划x天生存120
t煤，由于采用新的技术，每天增加生存3
t，因此提前2天完成，列出的方程为(
)
A．
B．
C．
D．
7．（2020·广西百色·期末），两地航程为48千米，一艘轮船从地顺流航行至地，又立即从地逆流返回地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为千米/时，则可列方程（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·衡阳县井头镇大云中学期末）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·四川巴州·期末）为响应“科技扶贫”，我区某单位向一贫困村赠送1080本农村实用书籍，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱多用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可少装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·广东禅城·期末）轮船顺流航行60千米后返回，共用了5小，己知水流速度是3千米/时，如果轮船在静水中的速度为x千米/时，则所列方程正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·四川南江·期末）某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2021·浙江瑞安·开学考试）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个．已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产x万个口罩，则由题意可列出方程（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
13．（2020·江苏宿迁·二模）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程______．
14．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过，其中通过的速度是通过速度的1.2倍，求小明通过时的速度．设小明通过时的速度是米/秒，根据题意列方程得：_____________________．
15．（2018·河北邢台·一模）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月．总工程全部完成，设乙队单独施1个月能完成总工程的，根据题意，得方程_____．
16．（2020·北京海淀·人大附中其他）一所中学组织学生去某市进行研学活动，原计划乘坐特快列车前往，为了节省时间，现改为乘坐高铁列车前往．已知北京与该市的距离约为1200千米，高铁列车的平均速度是特快列车的平均速度的2.4倍，且乘坐高铁列车所用时间比乘坐特快列车所用时间少用7小时，设特快列车的平均速度为千米/时，则可列方程为______．
17．（2020·四川开江·期末）疫情期间，某工厂一生产车间获得150000只口罩的生产订单，加工60000
个口罩后，采用了新的生产工艺，效率调高到原来的2倍，任务完成后，发现比原计划少用了10小时．设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，依据题意可得方程_________________．
考点4：分式方程应用题
典例：（2020·扬州市梅岭中学月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染.某药店用4000元购进若干包一次性医用口罩，很快售完，该店又用元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多元，请解答下列问题：
求购进的第一批医用口罩有多少包；
政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致.若售完这两批口罩的总利润不高于元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
方法或规律点拨
此题主要考查列分式方程和一元一次不等式解应用题，理解题意，找出实际问题中的等量关系和不等关系是解题关键．
巩固练习
1．（2019·河北南宫·期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为6400米．甲同学先步行400米，然后乘公交车去学校（由步行改乘公交车的时间忽略不计），乙同学骑自行车去学校，已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的3倍．甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到8分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
2．（2020·广西右江·一模）节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．
(1)求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
(2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
3．（2019·四川南充·一模）某水果经销商看准商机，第一次用元购进某种水果进行销售，销售良好，于是第二次用了元购进同种水果，但此次进价比第一次提高了，所购数量比第一次购进数量的倍还多千克．
（1）求第一次所购水果的进货价是每千克多少元？
（2）在实际销售中，两次售价开始均相同，但第一次购进的水果在销售过程中，消费者挑选后，由于水果品相下降，最后千克八折售出；第二次购进的水果由于同样的原因，最后千克九折售出，若售完这两批水果的毛利不低于元，则每千克开始售价至少为多少元？
4．（2019·广东潮州·其他）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?
(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天?
5．（2020·海东市教育研究室期末）枇杷肉质厚实，鲜甜微酸，营养价值很高，是初夏里受人们喜爱的水果之一．枇杷一上市，某水果店的老板就用1350元购进一批枇杷，很快售完．老板又用1900元购进第二批枇杷，所购箱数是第一批的倍，但进价比第一批每箱多了5元．
（1）求第一批枇杷的每箱进价．
（2）老板以每箱145元的价格销售第二批枇杷，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩下的打折促销．要使得第二批枇杷的销售利润不少于855元，剩余的枇杷每箱售价至多打几折？
6．（2020·广西其他）荔枝是某地的特色时令水果．荔枝一上市，水果店的老板用2400元购进一批荔枝，很快售完：老板又用3700元购进第二批荔枝，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批荔枝每件进价是多少元？
（2）老板以每件225元的价格销售第二批荔枝，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批荔枝的销售利润不少于530元，剩余的荔枝每件售价至少打几折？
7．（2020·江西寻乌·期末）列方程解应用题：老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少，小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树，他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/时，走了约3分钟
（1）由此估算这段路长约____千米；
（2）然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米，小宇计从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制出了示意图，考虑到投入资金的限制，他设计了一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少400棵树，请你求出a的值
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