第三章 二次函数专项训练 阅读理解题（含答案）

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专项训练
阅读理解题
类型一
有关反比例函数的阅读理解题
1.设双曲线（k＞0）与直线y＝x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围的部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”，当双曲线（k＞0）的眸径为6时，k的值为__________.
2.阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2.
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数.
例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数.
证明：设0＜x1＜x2，.
∵0＜x1＜x2，∴x2-x1＞0，x1x2＞0.∴＞0，即f（x1）-f（x2）＞0.
∴f（x1）＞f（x2）.∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数.
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数f（x）＝（x＜0），
f（-1）＝＋（-1）＝0，f（-2）＝＋（-2）＝.
（1）计算：f（-3）＝__________，f（-4）＝___________；
（2）猜想：函数f（x）＝（x＜0）是_________函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想。
类型二
有关锐角三角函数的阅读理解题
3.如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”.若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝__________.
4.阅读下列材料：
如图①，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：
S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA.
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
在Rt△ABD中，sinB＝，∴AD＝c·sinB.∴S△ABC＝a·AD＝acsinB.
同理，S△ABC＝absinC，S△ABC＝bcsinA.∴S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA.
（1）通过上述材料证明：；
（2）运用（1）中的结论解决问题：如图②，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度；
（3）如图③，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18千米到达C点，测量A在北偏西45方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积。
（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）
类型三
有关二次函数的阅读理解题
5.我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2＋bx＋c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”。若关联数为（m，-m-2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________.
6.我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|（a≠0，且b2-4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数。小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2-2x-3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（-1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当-1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝-1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4。其中正确结论的个数是____________.
7.小云在学习过程中遇到一个函数（x≥-2）.
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当-2≤x＜0时，
对于函数y1＝|xl|，即y1＝-x，当-2≤x＜0时，y1随x的增大而_________，且y1＞0；对于函数y2＝x2-x＋1，当-2≤x＜0时，y2随x的增大而__________，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当-2≤x＜0时，y随x的增大而___________；
（2）当x≥0时，
对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
x
0
1
2
3
…
y
0
1
…
结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大。在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象（如图）；
（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数（x≥-2）的图象有两个交点，则m的最大值是________.
8.阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”。求函数y＝2x2-3x＋1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2-3x＋1可知，a1＝2，b1＝-3，c1＝1，根据a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数；
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2-4x＋3的旋转函数；
（2）若函数y＝5x2＋（m-1）x＋n与y＝-5x2-nx-3互为“旋转函数”，求（m＋n）2020的值；
（3）已知函数y＝2（x-1）（x＋3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x-1）（x＋3）互为“旋转函数”.
参考答案
1.
2.解析
（1）∵f（x）＝＋x（x＜0），∴f（-3）＝＋（-3）＝-，
f（-4）＝，故填；.
（2）增.∵-4＜-3，f（-4）＜f（-3），∴函数f（x）＝＋x（x＜0）是增函数.
（3）设x1＜x2＜0，f（x1）-f（x2）＝.
∵x1＜x2＜0，x1-x2＜0，x1＋x2＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.
∴函数f（x）＝＋x（x＜0）是增函数.
3.或
4.解析
（1）证明：absinC＝acsinB，
∴bsinC＝csinB.
∴.同理，.∴.
（2）∵∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，
∴，即，∴，∴AC≈40×0.3＝12.
（3）由题意，得∠ABC＝90°-75°＝15°，∠ACB＝90°-45°＝45°，
∴∠A＝180°-15°-45°＝120°.
由，得，∴AC≈6千米.
∴S△ABC＝AC·BC·sin∠ACB≈×6×18×0.7≈38（平方千米）.
答：A、B、C三点围成的三角形的面积约为38平方千米。
4
7.解析
（1）减小；减小；减小.
（2）函数图象如图所示：
（3）∵直线与函数y＝|x|（x2-x＋1）（x≥-2）的图象有两个交点，
观察图象可知，当x＝-2时，m的值最大，此时m＝×2×（4＋2＋1）＝.
8.解析
（1）由函数y＝x2-4x＋3可知a1＝1，b1＝-4，c1＝3，
∵a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，∴a2＝-1，b2＝-4，c2＝-3，
∴函数y＝x2-4x＋3的“旋转函数”为y＝-x2-4x-3.
（2）∵y＝5x2＋（m-1）x＋n与y＝-5x2-nx-3互为“旋转函数”，
∴，解得.（∴m＋n）2020＝（-2＋3）2020＝1.
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x-1）（x＋3）＝-6.∴点C的坐标为（0，-6）.
当y＝0时，2（x-1）（x＋3）＝0.解得x1＝1，x2＝-3.
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（-3，0）.
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（-1，0），B1（3，0），C1（0，6）.
设过点A1，B1，C1的二次函数表达式为y＝a（x＋1）（x-3），
将C1（0，6）代入y＝a（x＋1）（x-3），得6＝-3a.解得a＝-2.
∴过点A1，B1，C1的二次函数表达式为y＝-2（x＋1）（x-3），即y＝-2x2＋4x＋6，
∴a2＝-2，b2＝4，c2＝6.y＝2（x-1）（x＋3）＝2x2＋4x-6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝-6，∴a1＋a2＝2＋（-2）＝0，b1＝b2＝4，c1＋c2＝6＋（-6）＝0，∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x-1）（x＋3）互为“旋转函数”.
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