1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步提升训练小卷（Word含答案解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
1.2
空间向量基本定理
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是(　　)
A．
B．
C．
D．
2．下列说法正确的是（
）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
3．在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．若为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，表示向量
是　　
A．
B．
C．
D．
6．给出下列命题：
①已知，则；
②、、、为空间四点，若、、不构成空间的一个基底，那么、、、共面；
③已知，则、与任何向量都不构成空间的一个基底；
④若、共线，则、所在直线或者平行或者重合．
正确的结论的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列选项中与向量相等的是　　
A．
B．
C．
D．
8．如图中，已知空间四边形，其对角线为，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量，，表示向量，设，则，，的值分别为（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．给出下列命题，其中正确命题有（
）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么共面
D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
10．下列关于空间向量的命题中，正确的有（
）
A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
B．若非零向量，，满足，，则有；
C．若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；
D．若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底.
11．（多选题）给出下列命题，其中正确命题有（?
?）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．、、、为空间四点，若不构成空间的一个基底，则、、、共面；
D．已知是空间的一个基底，则基向量可以与向量构成空间另一个基底．
12．（多选题）在四面体中，以上说法正确的有（
）
A．若，则可知
B．若为△的重心，则
C．若，，则
D．若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则
三、填空题：本题共4小题．
13．设且是空间的一组基底，给出下列向量组：
①；②
③
④
其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．
14．.在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则______.
15．在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量__，异面直线与所成角的余弦值为__．
16．若，，,,若不共面,当时,α+β+γ=____.
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，点E是上底面A'B'C'D'的中心，取向量为基底的基向量，在下列条件下，分别求x，y，z的值.
（1）=x+y+z;
（2）=x+y+z.
18．若是空间的一个基底，试判断能否作为空间的一个基底．
19．已知，，为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一组基底？若能，试以此基底表示向量；若不能，请说明理由.
20．如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点．
（1）用向量
，，表示和．
（2）若四面体的所有棱长都等于1，求的值．
21．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CGCD．
（1）证明：EF⊥B1C；
（2）求cos，．
22．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
参考答案
1．C
【解析】选项A,B中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.
选项D中，，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，
所以不能作为空间的一个基底.
选项C中不共面,故可作为空间的一个基底.
故选：C.
2．C
【解析】项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底,
所以错.
项，空间基底有无数个,
所以错.
项中因为基底不唯一，所以错.
故选.
3．C
【解析】:
共面，排除A
共面，排除B
共面，排除D
三个向量是不共面的，可以作为一个基底.
故选：C
4．C
【解析】A：因为，所以向量是共面向量，
因此这三个向量不能构成基底；
B：因为，
所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
C：因为为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.
若不构成一组基底，
则有，
所以向量是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，
故假设不正确，因此能构成一组基底，
D：因为，
所以向量是共面向量，
因此不能构成一组基底.
故选：C.
5．C
【解析】解：
故选：．
6．C
【解析】对于①，若，则，故，故①正确；
对于②，若、、不构成空间的一个基底，则、、这个向量在同一平面内，故、、、共面，故②正确；
对于③，当时，若与、不共面，则、、可构成空间的一个基底，故③不正确；
对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确，
故选：C.
7．C
【解析】解：平行六面体中，与的交点为，
设，，，
．
故选：C．
8．D
【解析】解：，分别是对边，的中点，
，.
点在线段上，且分所成的定比为，
.
.
即，，.
故选：D.
9．ABCD
【解析】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；
选项中，根据空间基底的概念，可得正确；
选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；
选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．
故选：ABCD.
10．ACD
【解析】解：对于A：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故A正确；
对于B：若非零向量，，满足，，则与不一定共线，故B错误；
对于C：若，，是空间的一组基底，且，
则，即，
可得到，，，四点共面，故C正确；
对于D：若向量，，，是空间一组基底，
则空间任意一个向量，存在唯一实数组，
使，
则，，也是空间的一组基底.
故选：ACD.
11．ABCD
【解析】解：选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；选项中，根据空间基底的概念，可得正确；
选项中，、、、为空间四点，若不构成空间的一个基底，由空间共面向量定理可知：则必然共面，因此、、、共面，所以正确；
选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．
故选：ABCD.
12．ABC
【解析】
对于
，，，
，
，即，故正确；
对于，为△的重心，则，,
即，故正确；
对于，若，，则，
,
,
,
，，故正确；
对于，
，故错误.
故选：ABC
13．②③④
【解析】如图，平行六面体中，设，
则，，因四点共面，则向量共面，
而四点不共面，则向量不共面，又四点不共面，则不共面，
四点不共面，则也不共面，
所以可以作为空间的基底的向量组是②③④.
故答案为：②③④
14．
【解析】解:四面体中，、分别是、的中点，则
故答案为：
15．
【解析】解：如图，
为棱的中点，，
；
又为棱的中点，，且的两两夹角都为，并设，
，
又，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：；．
16．3
【解析】由已知,
所以故有α+β+γ=3.
故答案为3
17．（1）x=1，y=-1，z=1；（2）x=，y=，z=1.
【解析】（1）因为=-，
又=x+y+z，
所以x=1，y=-1，z=1.
（2）因为=)
=，
又=x+y+z，
所以x=，y=，z=1.
18．能
【解析】假设，，共面，则存在实数λ，μ，使得=λ()+μ()，即=μ+λ+(λ+μ)
∵是空间的一个基底
∴，，不共面
∴此方程组无解
即不存在实数λ，μ，使得=λ()+μ()
∴，，不共面
故能作为空间的一个基底
19．能，．
【解析】解：假设存在不全为0的实数，，使得成立，
则，此方程组无解，
即不存在不全为0的实数，，使得成立，
因此假设不成立．
因此能以作为空间的一组基底．
设则有
因为，，为空间的一个基底，所以解得
故
20．（1）,（2）.
【解析】解：（1），
∴
（2）四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形,
，，
21．(1)证明见解析
(2)
【解析】分别以三直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则：E（0，0，1），F（1，1，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴EF⊥B1C；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
22．（1）；；（2）．
【解析】（1），
因为，同理可得，
所以．
（2）因为，所以，
因为，
所以．
所以异面直线与所成角的余弦值为．