3.1.1 椭圆及其标准方程 同步提升训练小卷 - 2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册（Word含答案解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
3.1.1
椭圆及其标准方程
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知△的顶点?在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
2．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4，0)，(0，2)的椭圆方程为（
）
A．＝1
B．＝1
C．＝1
D．＝1
4．在平面直角坐标系中，已知△顶点和，顶点在椭圆上，则
（
）
A．
B．
C．2
D．
5．已知?是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（
）
A．＝1
B．+＝1
C．+＝1
D．+＝1
7．已知椭圆的焦点在轴上，记椭圆与轴的交点为，其中点在负半轴上；记椭圆与轴的交点为.若，则该椭圆的标准方程是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．若椭圆＝1的焦距是2，则m＝（
）
A．1
B．3
C．5
D．7
10．椭圆上的一点到椭圆焦点的距离的乘积为，当取最大值时，点的坐标不可能为（
）
A．
B．
C．
D．
11．椭圆的左、右焦点分别为和，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（
）
A．，满足的点P有两个
B．，满足的点P有四个
C．的面积的最大值
D．的周长小于
12．已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（
）
A．的最大值大于3
B．的最大值为4
C．的最大值为60°
D．若动直线垂直于轴，且交椭圆于两点，为上满足的点，则点的轨迹方程为或
三、填空题：本题共4小题
13．椭圆的长轴长是短轴长的两倍，则的值为______
14．设P为椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，若，则的面积为_______________.
15．已知椭圆的左焦点为，、分别为的右顶点和上顶点，直线与直线的交点为，若，且的面积为，则椭圆的标准方程为______.
16．已知椭圆的标准方程为，若椭圆的焦距为，则的取值集合为_____________.
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知△ABC，周长为14，，求顶点C的轨迹方程．
18．已知椭圆＝1上一点M（x0，y0），且x0＜0，y0＝2．
（1）求x0的值；
（2）求过点M且与椭圆＝1共焦点的椭圆的方程．
19．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积．
20．已知点在椭圆上，且椭圆的离心率为，若过原点的直线交于A，两点，点A在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：．
21．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
（2）焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点；
（3）经过两点，.
22．已知椭圆左右焦点分别为，上顶点为，直线被椭圆截得的线段长为
（1）求椭圆的方程；
（2）设过的直线与椭圆交于两点，若，求三角形的面积.
参考答案
1．D
【解析】由椭圆方程知：，又，，
∴△的周长为，
故选：D.
2．C
【解析】由于椭圆的焦点在轴上，∴，解得或.
故选：C
3．D
【解析】设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，把点(4，0)，(0，2)代入得：
所以
故选：D．
4．A
【解析】
可得：，
又
故椭圆的左右焦点分别为：，
和是椭圆的左右焦点
由顶点B在椭圆，根据椭圆的定义可得：
根据正弦定理：，“角化边”
，
故选：A.
5．B
【解析】依题意有，所以
又，，所以，
又，可得，
即，则，
故选：B.
6．A
【解析】∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴＝12，
∴椭圆的方程为＝1．
故选：A．
7．A
【解析】设椭圆方程为,
由题意得，所以，
故椭圆的标准方程是，
故选:
.
8．B
【解析】由题意知为椭圆的右焦点，设左焦点为，由椭圆的定义知，
所以.
又，
如图，设直线交椭圆于，两点.当为点时，最小，最小值为.
故选：B
9．BC
【解析】当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4．又2c＝2，所以c＝1，所以m－4＝1，所以m＝5．
当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，所以c2＝4－m＝1，所以m＝3．
故选：BC
10．BD
【解析】解：记椭圆的两个焦点分别为，
有，
则知，
当且仅当，即点位于椭圆的短轴的顶点处时，取得最大值，
∴点的坐标为或，
故选：BD.
11．ACD
12．BCD
【解析】由椭圆方程得，
因此．
选项A中，，A错误；
选项B中，，当且仅当时取等号，B正确；
选项C中，当点为短轴的端点时，取得最大值，取，则，
的最大值为60°，C正确；
选项D中，设．
，
，即或．
又由题意知，
或，
化简得或，D正确．
故选：BCD．
13．或
【解析】将转换成，
当焦点在轴时，长轴长是，短轴长是，则，
当焦点在轴时，短轴长是，长轴长是，则，
综上填或.
故答案为：或
14．4
【解析】因为，所以，
所以，
所以，
由以及，
解得，，
在三角形中由余弦定理得，
所以，
所以的面积为.
故答案为：4
15．
【解析】解：由，且（为坐标原点），
得，所以，，，
又因为，解得，
所以，，故椭圆的标准方程为.
故答案为：
16．
【解析】由题,当焦点在轴上时,,即,解得或.
当焦点在轴上时,,即,解得.
综上,
的取值集合为.
故答案为：
17．点的轨迹方程为，（）．
【解析】以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．则
设点
由椭圆的定义点是以AB为焦点的椭圆A、B点除外
点的轨迹方程为
在中所以
点的轨迹方程为，（）
18．（1）x0＝﹣3；（2）＝1．
【解析】（1）把M的纵坐标代入＝1，得＝1，即x2＝9．∴x＝±3．又x0＜0，故M的横坐标x0＝﹣3．
（2）对于椭圆＝1，焦点在x轴上且c2＝9﹣4＝5，故设所求椭圆的方程为＝1（a2＞5），
把M点坐标代入得＝1，解得a2＝15（a2＝3舍去）．
故所求椭圆的方程为＝1．
19．4
【解析】由椭圆有.
由椭圆的定义有，又
所以,,又.
在△中,
所以△为直角三角形,
△的面积为
20．（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为点在椭圆上，所以①，
又因为椭圆的离心率为，所以②，
由①②得，，．所以椭圆的方程为
（2）设直线的斜率为，则其方程为．
设，，．
于是直线的斜率为，方程为．由，
得．③
设，则和是方程③的解，故，
故，由此得．
从而直线的斜率为，所以．
21．（1）＋＝1；（2）＋＝1；（3）＋＝1.
【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：因为所求椭圆过点(4，3)，所以＋＝1.
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得解得
则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
22．（1）；（2）.
【解析】(1)由题意，得上顶点为，设
故直线的方程为，由消去解得：
，，解得，故
椭圆的方程为；
(2)由(1)及题意知，直线不过点且与轴不重合
设直线的方程为
由得：，
变形化简得：
由消去整理得：
恒成立
由韦达定理，得：，
代入式得：
化简得：，由及上式解得，
直线的方程为，，
由弦长公式及求根公式得：
，
又点到直线的距离为
.