3.2.1 双曲线及其标准方程 同步提升训练小卷 - 2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.2.1 双曲线及其标准方程 同步提升训练小卷 - 2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 608.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-14 14:18:30 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
3.2.1
双曲线及其标准方程
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．双曲线上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（
）
A．22或2
B．7
C．22
D．2
3．已知平面上的定点及动点M，甲：(m为常数)，乙：点M的轨迹是以为焦点的双曲线，则甲是乙的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
5．如图，已知双曲线的方程为，点、均在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，，为双曲线的左焦点，则的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知双曲线.若矩形的四个顶点在E上，的中点为E的两个焦点，且，则双曲线E的标准方程是
A．
B．
C．
D．
7．设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为（
）
A．
B．2
C．
D．1
8．在中，，，点C在双曲线上，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．已知两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是（
）
A．爆炸点在以为焦点的椭圆上
B．爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上
C．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米
D．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米
10．若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是
A．若为椭圆,则
B．若为双曲线,则或
C．曲线可能是圆
D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
11．已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（
）
A．点P到x轴的距离为
B．
C．为钝角三角形
D．
12．已知方程表示的曲线C，则下列判断正确的是（
）
A．当时，曲线C表示椭圆；
B．当或时，曲线C表示双曲线；
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则；
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则；
三、填空题：本题共4小题
13．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则它的半焦距的取值范围是____．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线上，且满足，则的面积为_________.
15．经过点和的双曲线的标准方程是________.
16．P是双曲线上任意一点，，分别是它的左、右焦点，且，则___________．
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．
18．已知平面上的三点P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)．
(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
(2)设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．
19．已知,,点满足，记点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）若直线过点且与轨迹交于、两点.
（i）无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值.
（ii）在（i）的条件下，求面积的最小值.
20．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，渐近线方程为y＝±x，且双曲线过点P(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(x1，y1)在双曲线上，求的范围．
21．已知双曲线.
（1）求该双曲线的焦点坐标、离心率；
（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.
22．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．
参考答案
1．C
【解析】双曲线与椭圆有公共焦点
由椭圆可得
双曲线离心率，
双曲线的方程为：
故选：C
2．A
【解析】设双曲线的左右焦点分别为，则，
设P为双曲线上一点，不妨令（），
∴点可能在左支，也可能在右支，
由，得，
所以或2．
所以点到另一个焦点的距离是或．
故选：A．
3．B
【解析】根据双曲线的定义，乙甲，但甲乙，只有当时，点M的轨迹才是双曲线.
故选：B.
4．C
【解析】设动圆圆心，半径为，圆x2+y2＝1的圆心为，半径为，
圆x2+y2﹣8x+12＝0，得，则圆心，半径为，
根据圆与圆相切，则，，两式相减得，
根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支.
故选：C
5．B
【解析】由双曲线的定义，知，，
又，所以的周长为.
故选：B.
6．D
【解析】如图，由题意知.设的中点分别为M，N，在中，
，所以，，
由双曲线的定义可得，即，所以，
故双曲线E的标准方程为.
故选:D.
7．D
【解析】设，，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，，，，，，的面积为.
故选：D
8．D
【解析】解：在中，，，，R为外接圆的半径，
.
又，.
故选：D
9．BD
【解析】依题意，两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，
设爆炸点为，则，所以爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上.所以A选项错误，B选项正确.
若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，所以，
即，结合可得.
所以C选项错误，D选项正确.
故选：BD
10．AD
【解析】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，方程即为，它表示圆，
综上，选AD.
11．BC
【解析】由双曲线方程得，，则，
由△的面积为20，
得，得，即点到轴的距离为4，故错误，
将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，，
则，
由双曲线的定义知，
则，
则，故正确，
在△中，，
则，为钝角，
则△为钝角三角形，故正确，
，
则错误，
故正确的是，
故选：．
12．BC
【解析】由，得，此时方程表示圆，故A选项错误.
由双曲线的定义可知时，即或时，方程表示双曲线，故B选项正确.
由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在轴上时，满足，解得，故C选项正确.
当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故D选项不正确.
综上所述，正确的选项为BC.
故选：BC
13．
【解析】因为方程两边除以，
方程可化简为，
又因为方程表示为焦点在轴上的双曲线，
所以即，
从而方程可表示为：，
由于，
所以半焦距的取值范围为即
故答案为：
14．1
【解析】不妨设点P在双曲线右支上.
由双曲线的定义可得，
又，两式联立得.
又，所以，即为直角三角形，
所以.
故答案为：1.
15．
【解析】解：设双曲线的方程为，则，解得，
故双曲线的标准方程为.
故答案为：
16．17
【解析】根据题意，双曲线，
其中a＝4，，又由P是双曲线上一点，则有||PF1|﹣|PF2||＝2a＝8，
又由|PF1|＝9，则|PF2|＝1＜c﹣a＝
（舍去）或17，
故答案为：17．
17．椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为：．
【解析】设椭圆标准方程为，则
焦距为4，长轴长为6，
，，，椭圆标准方程为；
双曲线双曲线的焦点为，
设双曲线的方程为，
可得，
将点代入双曲线方程可得，，
解得，，
即有所求双曲线的方程为：．
18．(1)
(2)
【解析】解：（1）由题意焦点在x轴上，可设所求椭圆的标准方程为
（a＞b＞0），
其半焦距c=6，
∴，b2=a2﹣c2=9．
所以所求椭圆的标准方程为
（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）
关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．
设所求双曲线的标准方程为
由题意知，半焦距
c1=6，
，
b12=c12﹣a12=36﹣20=16．
所以所求双曲线的标准方程为．
19．（1）（2）（i）（ii）9
【解析】（1）由知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得，
解得k2
>3
（i）
，
故得对任意的恒成立，
∴当m
=－1时，MP⊥MQ.
当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立，
综上，当m
=－1时，MP⊥MQ.
（ii）由（i）知，，当直线l的斜率存在时，
，
M点到直线PQ的距离为，则
∴
令，则，因为
所以
当直线l的斜率不存在时，
综上可知，故的最小值为9.
20．（1）x2－y2＝6.（2）≥－6
【解析】(1)设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)由(1)可知，a＝b＝，∴c＝，
∴F1(－，0)，F2(，0)，
＝(－－x1，－y1)，＝(－x1，－y1)，
∴，
∵点M(x1，y1)在双曲线上，∴，
∴，
∵≥0，∴≥－6.
21．（1）（2）
【解析】（1）由，得，∴，，，
∴焦点为，，离心率．
（2）由双曲线的定义，得，
∴
，
∴．
22．（1）；（2）．
【解析】由已知椭圆方程求出其焦点坐标，可得双曲线C的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，
由双曲线定义，即，
所以，，所以所求双曲线的标准方程为．
（2）设，，
因为A，B在双曲线上，所以，
①－②得，
所以，，
故弦AB所在直线的方程为，即．
3.2.1
双曲线及其标准方程
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知离心率为2的双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．双曲线上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（
）
A．22或2
B．7
C．22
D．2
3．已知平面上的定点及动点M，甲：(m为常数)，乙：点M的轨迹是以为焦点的双曲线，则甲是乙的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
5．如图，已知双曲线的方程为，点、均在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，，为双曲线的左焦点，则的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知双曲线.若矩形的四个顶点在E上，的中点为E的两个焦点，且，则双曲线E的标准方程是
A．
B．
C．
D．
7．设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为（
）
A．
B．2
C．
D．1
8．在中，，，点C在双曲线上，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．已知两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是（
）
A．爆炸点在以为焦点的椭圆上
B．爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上
C．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米
D．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米
10．若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是
A．若为椭圆,则
B．若为双曲线,则或
C．曲线可能是圆
D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
11．已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（
）
A．点P到x轴的距离为
B．
C．为钝角三角形
D．
12．已知方程表示的曲线C，则下列判断正确的是（
）
A．当时，曲线C表示椭圆；
B．当或时，曲线C表示双曲线；
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则；
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则；
三、填空题：本题共4小题
13．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则它的半焦距的取值范围是____．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线上，且满足，则的面积为_________.
15．经过点和的双曲线的标准方程是________.
16．P是双曲线上任意一点，，分别是它的左、右焦点，且，则___________．
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．
18．已知平面上的三点P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)．
(1)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
(2)设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．
19．已知,,点满足，记点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）若直线过点且与轨迹交于、两点.
（i）无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值.
（ii）在（i）的条件下，求面积的最小值.
20．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，渐近线方程为y＝±x，且双曲线过点P(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(x1，y1)在双曲线上，求的范围．
21．已知双曲线.
（1）求该双曲线的焦点坐标、离心率；
（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.
22．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．
参考答案
1．C
【解析】双曲线与椭圆有公共焦点
由椭圆可得
双曲线离心率，
双曲线的方程为：
故选：C
2．A
【解析】设双曲线的左右焦点分别为，则，
设P为双曲线上一点，不妨令（），
∴点可能在左支，也可能在右支，
由，得，
所以或2．
所以点到另一个焦点的距离是或．
故选：A．
3．B
【解析】根据双曲线的定义，乙甲，但甲乙，只有当时，点M的轨迹才是双曲线.
故选：B.
4．C
【解析】设动圆圆心，半径为，圆x2+y2＝1的圆心为，半径为，
圆x2+y2﹣8x+12＝0，得，则圆心，半径为，
根据圆与圆相切，则，，两式相减得，
根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支.
故选：C
5．B
【解析】由双曲线的定义，知，，
又，所以的周长为.
故选：B.
6．D
【解析】如图，由题意知.设的中点分别为M，N，在中，
，所以，，
由双曲线的定义可得，即，所以，
故双曲线E的标准方程为.
故选:D.
7．D
【解析】设，，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，，，，，，的面积为.
故选：D
8．D
【解析】解：在中，，，，R为外接圆的半径，
.
又，.
故选：D
9．BD
【解析】依题意，两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，
设爆炸点为，则，所以爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上.所以A选项错误，B选项正确.
若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，所以，
即，结合可得.
所以C选项错误，D选项正确.
故选：BD
10．AD
【解析】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，方程即为，它表示圆，
综上，选AD.
11．BC
【解析】由双曲线方程得，，则，
由△的面积为20，
得，得，即点到轴的距离为4，故错误，
将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，，
则，
由双曲线的定义知，
则，
则，故正确，
在△中，，
则，为钝角，
则△为钝角三角形，故正确，
，
则错误，
故正确的是，
故选：．
12．BC
【解析】由，得，此时方程表示圆，故A选项错误.
由双曲线的定义可知时，即或时，方程表示双曲线，故B选项正确.
由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在轴上时，满足，解得，故C选项正确.
当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故D选项不正确.
综上所述，正确的选项为BC.
故选：BC
13．
【解析】因为方程两边除以，
方程可化简为，
又因为方程表示为焦点在轴上的双曲线，
所以即，
从而方程可表示为：，
由于，
所以半焦距的取值范围为即
故答案为：
14．1
【解析】不妨设点P在双曲线右支上.
由双曲线的定义可得，
又，两式联立得.
又，所以，即为直角三角形，
所以.
故答案为：1.
15．
【解析】解：设双曲线的方程为，则，解得，
故双曲线的标准方程为.
故答案为：
16．17
【解析】根据题意，双曲线，
其中a＝4，，又由P是双曲线上一点，则有||PF1|﹣|PF2||＝2a＝8，
又由|PF1|＝9，则|PF2|＝1＜c﹣a＝
（舍去）或17，
故答案为：17．
17．椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为：．
【解析】设椭圆标准方程为，则
焦距为4，长轴长为6，
，，，椭圆标准方程为；
双曲线双曲线的焦点为，
设双曲线的方程为，
可得，
将点代入双曲线方程可得，，
解得，，
即有所求双曲线的方程为：．
18．(1)
(2)
【解析】解：（1）由题意焦点在x轴上，可设所求椭圆的标准方程为
（a＞b＞0），
其半焦距c=6，
∴，b2=a2﹣c2=9．
所以所求椭圆的标准方程为
（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）
关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．
设所求双曲线的标准方程为
由题意知，半焦距
c1=6，
，
b12=c12﹣a12=36﹣20=16．
所以所求双曲线的标准方程为．
19．（1）（2）（i）（ii）9
【解析】（1）由知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得，
解得k2
>3
（i）
，
故得对任意的恒成立，
∴当m
=－1时，MP⊥MQ.
当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立，
综上，当m
=－1时，MP⊥MQ.
（ii）由（i）知，，当直线l的斜率存在时，
，
M点到直线PQ的距离为，则
∴
令，则，因为
所以
当直线l的斜率不存在时，
综上可知，故的最小值为9.
20．（1）x2－y2＝6.（2）≥－6
【解析】(1)设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)由(1)可知，a＝b＝，∴c＝，
∴F1(－，0)，F2(，0)，
＝(－－x1，－y1)，＝(－x1，－y1)，
∴，
∵点M(x1，y1)在双曲线上，∴，
∴，
∵≥0，∴≥－6.
21．（1）（2）
【解析】（1）由，得，∴，，，
∴焦点为，，离心率．
（2）由双曲线的定义，得，
∴
，
∴．
22．（1）；（2）．
【解析】由已知椭圆方程求出其焦点坐标，可得双曲线C的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，
由双曲线定义，即，
所以，，所以所求双曲线的标准方程为．
（2）设，，
因为A，B在双曲线上，所以，
①－②得，
所以，，
故弦AB所在直线的方程为，即．