3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步提升训练小卷 - 2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册（Word含答案解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
3.1.2
椭圆的简单几何性质
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．椭圆的焦点的坐标为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
2．万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（
）cm
A．
B．
C．
D．
3．椭圆的离心率是（
）
A．
B．
C．
D．
4．椭圆的左、右焦点为，，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
5．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（
）
A．2
B．4
C．
D．
6．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
7．已知椭圆：，过点的直线交椭圆于，两点.若中点坐标为，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M，则M的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．已知椭圆=1与椭圆=1有相同的长轴，椭圆=1的短轴长与椭圆=1的短轴长相等，则下列结论不正确的有（
）
A．a2=25，b2=16
B．a2=9，b2=25
C．a2=25，b2=9或a2=9，b2=25
D．a2=25，b2=9
10．设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，
B两点，则下述结论正确的是（
）
A．AF+BF为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当时，△ABF为直角三角形
D．当m=1时，△ABF
的面积为
11．如图，两个椭圆内部重叠区域的边界记为曲线是曲线上的任意一点，下列四个说法正确的为（
）
A．到四点的距离之和为定值
B．曲线关于直线均对称
C．曲线所围区域面积必小于36
D．曲线总长度不大于
12．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题
13．设P为椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，若，则的面积为_______________.
14．椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积等于________．
15．已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆截直线所得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为__________．
16．已知斜率为1的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若椭圆上存在点，使得的重心恰好是坐标原点，则椭圆的离心率______.
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．设椭圆C：过点（0，4），离心率为.
（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
18．已知椭圆，点M与椭圆C的焦点不重合，若M关于C的两焦点的对称点分别为A，B，且线段的中点在椭圆C上，求的值．
19．已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点.
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若，，求椭圆的方程.
20．已知圆，点P为椭圆上一点，A，B分别是椭圆C的左右顶点.
（1）若过P点的直线与圆O切于点Q（Q位于第一象限），求使得面积最大值时的直线PQ的方程；
（2）若直线AP，BP与y轴的交点分别为E，F，以EF为直径的圆与圆O交于点M，求证：直线PM平行于x轴.
21．已知椭圆的左?右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，连接，交y轴于点M，若，且，求该椭圆的离心率.
22．已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且直线经过椭圆的右顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且，求面积的取值范围．
参考答案
1．B
【解析】解：因为椭圆方程为，，，
所以，且焦点在轴上，
所以焦点坐标为：，.
故选：B.
2．B
【解析】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，
由大椭圆长轴长为40cm，短轴长为20cm，
可得焦距长为cm，故离心率为，
所以小椭圆离心率为，
小椭圆的短轴长为10cm，即cm，
由，可得：cm，
所以长轴为cm.
故选：B.
3．C
【解析】因为椭圆，，，所以，
即.
故选：C
4．D
【解析】椭圆的左、右焦点为，，
过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若为等边三角形，
可得，所以：，
即，
∵，解得，
故选：D.
5．D
【解析】椭圆的焦点在轴上，
即有，
由椭圆方程可得，
，，
由长轴长是短轴长的2倍，可得，
解得；
故选：D.
6．A
【解析】由题意，解得，
∴椭圆方程为或
故选：A．
7．B
【解析】设，则，
两式相减得：，
因为中点坐标为，
所以，
所以，
又，
所以，
即，
所以，
故选：B
8．C
【解析】由题意，设椭圆与弦的交点为，，
则将代入椭圆方程，整理得：，
∴，而，故，
∴，又在上，则，
故选：C
9．ABC
【解析】椭圆的长轴长为10，椭圆的短轴长为6，
由题意可知椭圆的焦点在x轴上，即有，.故只有D对
故选：ABC
10．AD
【解析】设椭圆的左焦点为，则
∴为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
∴的范围是，
∴的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，，
又∵，∴，
∴不是直角三角形，C不正确；
将与椭圆方程联立，解得，，
∴，D正确．
故选：AD
11．BC
【解析】易知分别为椭圆的两个焦点，分别为椭圆的两个焦点.若点仅在椭圆上，则到、两点的距离之和为定值，到两点的距离之和不为定值，故A错误；
两个椭圆关于直线均对称，则曲线关于直线均对称，故B正确；
曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；曲线所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长，故D错误.
故选：BC
12．BC
【解析】由题图可得，故A不正确；
，故B正确；
由得，即，
即，故C正确，D不正确．
故选：BC
13．
【解析】由椭圆方程知，椭圆右焦点为
设抛物线方程为：，则
抛物线方程为：
故答案为
14．4
【解析】因为，所以，
所以，
所以，
由以及，
解得，，
在三角形中由余弦定理得，
所以，
所以的面积为.
故答案为：4
15．
【解析】设椭圆方程为，则①
设直线与椭圆相交的弦的端点为，
则
而弦的中点的横坐标为，则纵坐标为，即
，即②
联立①②得：．
故该椭圆的方程为
故答案为：
16．
【解析】设，，坐标分别为，
因为的重心恰好是坐标原点，则，
则，代入椭圆方程可得，
其中，所以……①
因为直线的斜率为，且过左焦点，则的方程为：，
联立方程消去可得：，
所以，……②
所以……③，
将②③代入①得，从而.
故答案为：
17．（1）；（2）.
【解析】（1）将（0，4）代入C的方程得，
∴=4，又
得，
即，∴A=5，?∴C的方程为．
（2）过点且斜率为的直线方程为，
设直线与C的交点为A，B，
将直线方程代入C的方程，得，
即，
AB的中点坐标，
，即中点为．
18．16.
【解析】由得：，
设分别是椭圆C的左、右焦点，
M关于的对称点为A，关于的对称点为B，为线段的中点，
由已知条件，易得分别是线段的中点，
则在和中，有，
又由椭圆的定义，得，
所以．
故答案为：16
19．（1）；（2）
【解析】（1）若，则为等腰直角三角形，
所以有，即.
所以，椭圆的离心率为.
（2）由题知，，，设，
由，得，
解得，，即.
将点坐标代入，得，
即①
又由，
得，即有②
由①②解得，，从而有.
所以椭圆的方程为.
20．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为，，
又，所以当时，面积取得最大值，此时点，
又因为点位于第一象限，，
所以，即，故直线的方程为.
（2）由题意知点不与点或点重合，设，，
则直线方程为，
令得，同理可求，
，，
因为以为直径的圆与圆交于点，
所以，
将及代入化简得，
即，，所以直线平行于轴.
21．.
【解析】解：设.如图所示，由题意易得，所以，所以，又，所以，所以，故该椭圆的离心率为.
22．（1）；（2）．
【解析】解：（1）∵双曲线的离心率为，
∴椭圆的离心率．
又∵直线经过椭圆的右顶点，令，则
∴右顶点的坐标为，即，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）由题意可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，．
联立消去y，整理得，
则，
于是．
又，
故，则．
由得，解得．
又由，
得，且．
设原点O到直线的距离为d，则，
，
，，
故由m的取值范围可得面积的取值范围为．