3.2.2 双曲线的简单几何性质 同步提升训练小卷 - 2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册（Word含答案解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
3.2.2
双曲线的简单几何性质
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．双曲线的离心率不大于的充要条件是（　　）
A．﹣1≤m＜0
B．0＜m≤1
C．m≤﹣1
D．m≥1
2．双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．2
D．3
3．已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则双曲线的渐近线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
4．斜率存在的直线点且与双曲线：有且只有一个公共点，则直线斜率为（
）
A．
B．
C．2或
D．或
5．已知左、右焦点分别为的双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，点P在双曲线上，且，则双曲线的焦距为（
）
A．
B．6
C．
D．3
6．P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线的方程为，，分别是双曲线的左?右焦点，若，则（
）
A．12
B．16
C．18
D．20
7．已知双曲线的离心率等于2，则其渐近线与圆的位置关系是（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
8．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交于，两点，交轴于点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且满足，则的离心率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．已知双曲线过点，则下列结论正确的是（
）
A．C的焦距为4
B．C的离心率为
C．C的渐近线方程为
D．直线与C有两个公共点
10．（多选）已知是一个等腰直角三角形，如果圆锥曲线以的两个顶点为焦点，且经过另外一个顶点，则该圆锥曲线的离心率可以等于（
）
A．
B．
C．
D．
11．双曲线的左、右焦点分别为，点为的左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，，垂足为.当的最小值为3时，的中点在双曲线上，则（
）
A．的方程为
B．的离心率为
C．的渐近线方程为
D．的方程为
12．把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有（
）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数在R上单调递增
C．函数的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1
D．函数不存在零点
三、填空题：本题共4小题
13．双曲线的两条渐近线的方程为________.
14．已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点，为坐标原点，若，，则的离心率为__________.
15．已知双曲线（）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________.
16．倾斜角为的直线l经过双曲线的左焦点，交双曲线于A，B两点，线段的垂直平分线过右焦点，则此双曲线的渐近线方程为_______.
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程.
18．（1）求焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆标准方程；
（2）求一个焦点为，渐近线方程为的双曲线标准方程．
19．如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别40m，m，30m，试根据上述尺寸计算视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）；
20．已知双曲线－y2＝1，求过点A
(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.
21．已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点，
（1）求双曲线的方程；
（2）若点为轴上一定点，为双曲线右支上一点，求线段长的最小值.
22．已知双曲线：的离心率为，点是双曲线的一个顶点．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过双曲线右焦点作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点，，求．
参考答案
1．B
【解析】解：因为双曲线的离心率不大于，
所以
解得：0＜m≤1．
故选：B．
2．B
【解析】因为双曲线，
所以，，
则，
所以.
故选：B
3．A
【解析】因为椭圆的焦点为为顶点，左顶点为，右顶点为，
又双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，所以，，则，
即双曲线的方程为，由得，
即双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
4．D
【解析】由题意，设直线的方程为，
代入双曲线方程化简可得，
当即时，只有一解，
满足直线与双曲线有且只有一个公共点；
当时，令，解得，此时方程有两个相等实数根，
满足直线与双曲线有且只有一个公共点；
所以或.
故选：D.
5．C
【解析】双曲线的渐近线为，
一条渐近线与直线相互垂直，可得，即，
由双曲线的定义可得，可得，
所以，所以焦距为．
故选：C
6．A
【解析】不妨设，
因为双曲线的一条渐近线的方程为，
所以即，所以双曲线的方程为，所以点，
所以点的横坐标为，代入双曲线的方程可得点的纵坐标为，
所以，.
故选：A.
7．C
【解析】由于双曲线的离心率等于2，所以，即，所以，所以渐近线方程为．圆的圆心为，半径等于，且圆心到渐近线的距离，因此渐近线与圆相离．
故选：C
8．A
【解析】设为坐标原点，直线AB倾斜角为，,
，，
过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，
由双曲线的性质，可知，
，，两边平方得，
，即，
，即.
故选：A.
9．AC
【解析】由双曲线过点，
可得，
则双曲线的标准方程为：；
所以，
因为椭圆C的焦距为，所以选项A正确；
因为椭圆C的离心率为，所以选项B不正确；
因为椭圆C的渐近线方程为，所以选项C正确；
将直线与双曲线联立消可得：
，
，
所以直线与双曲线
C没有公共点，所以选项D不正确；
故选：AC.
10．BCD
【解析】不妨设的直角边长为，则斜边长为，
如果圆锥曲线是椭圆，当椭圆以两个非直角顶点为焦点且经过直角顶点时，离心率；
当椭圆以一个非直角顶点和直角顶点为焦点且经过另一个非直角顶点时，离心率.
如果圆锥曲线是双曲线，则双曲线只能以一个非直角顶点和直角顶点为焦点且经过另一个非直角顶点，这时离心率.
故选：BCD.
11．BCD
【解析】因为，所以
因为焦点到渐近线的距离为，所以的最小值为，所以
不妨设直线为，因为，所以点，，的中点为.将其代入双曲线的方程，得，即，解得
又因为，所以，故双曲线的方程为，离心率为，渐近线方程为
故选：BCD
12．ACD
【解析】由题意，方程，
当时，，表示椭圆在第一象限的部分；
当时，，表示双曲线在第四象限的部分；
当时，，表示双曲线在第二象限的部分；
当时，，此时不成立，舍去，
其图像如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A是正确的；
由函数的图象可得，该函数在为单调递减函数，所以B不正确；
由图象可得，函数的图象上的点到原点的距离的最小的点在的图象上，
设点，则点满足时，，即
则，当时，，所以C正确；
令，可得，即，
则函数的零点，即为函数与的交点，
又由直线为双曲线和渐近线，
所以直线与函数没有交点，即函数不存在零点，
所以D是正确的.
故选：ACD.
13．
【解析】令解得两条渐近线的方程为
14．
【解析】解：取中点E，连接，
则由已知可得，
设，则由双曲线定义可得，
，即，
在中，
由勾股定理可得，
则.
故答案为：.
15．
【解析】依题意有，即，解得，所以渐近线的方程为.
故答案为：.
16．
【解析】解：如图为的垂直平分线，
可得，
且，
可得，，
由双曲线的定义可得，，
即有，
即有，，
，
由，可得，
可得，即，
，则渐近线方程为．
故答案为：．
17．
【解析】设双曲线方程为，
由题意易求得，又双曲线过点，
所以；因为，所以，.
故所求双曲线的方程为.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）设椭圆标准方程为：
由长轴长知：，则.
由焦距知：，则，，
椭圆的标准方程为：；
（2）双曲线焦点在轴上，可设双曲线标准方程为，
双曲线渐近线方程为：，，
又焦点为，，解得：，，
双曲线的标准方程为：.
19．，
【解析】最窄处即双曲线两顶点间，
设双曲线的标准方程为：，
由题意知：当（地面半径）时对应的值是，
当时，的值为，
，解得：，
双曲线的标准方程是，.
20．3x＋4y－5＝0.
【解析】解法一　由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，
即y＝kx－3k－1，
由消去y，
整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴.
∵A(3，－1)为MN的中点，
∴，即，解得.
当时，满足，符合题意，
∴所求直线MN的方程为，
即3x＋4y－5＝0.
解法二　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵M，N均在双曲线上，
∴
两式相减，得，
∴.
∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，
y1＋y2＝－2.
∴.
经验证，该直线MN存在．
∴所求直线MN的方程为y＋1＝－
(x－3)，
即3x＋4y－5＝0.
21．（1）；（2）答案不唯一，具体见解析.
【解析】（1）因为，则双曲线的实轴、虚轴相等
所以可设双曲线方程为
因为双曲线过点（4，），所以，即
所以双曲线方程为
（2）设，
令
①当即时，当时，，
②当即时，当时，，
22．（1）；（2）.
【解析】（1）由题可得，解得，，所以双曲线的方程为；
（2）双曲线的右焦点为
所以经过双曲线右焦点且倾斜角为30°的直线的方程为.
联立得．
设，，则，．
所以.