3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步提升训练小卷 - 2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.3.2 抛物线的简单几何性质 同步提升训练小卷 - 2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 665.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-14 14:20:00 | ||
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文档简介
2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
3.3.2
抛物线的简单几何性质
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（
）
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3，0)
D．(－2，0)
3．过点M(－2，0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝4交于P1，P2两点，设线段P1P2的中点为P.若直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于（
）
A．－2
B．2
C．
D．－
4．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．3
5．以轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（
）
A．
B．
C．或
D．或
6．若双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（
）
A．(，±2)
B．(±，2)
C．(±2，)
D．(2，±)
8．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：为，则的最小值为（
）
A．3
B．4
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．(多选)过点(0，1)且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线是（
）
A．x＝0
B．y＝0
C．x＝1
D．y＝1
10．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
11．设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（
）
A．为定值
B．直线过抛物线的焦点
C．最小值为16
D．到直线的距离最大值为4
12．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（
）
A．点的坐标为
B．若，，三点共线，则
C．若直线与的斜率之积为，则直线过点
D．若，则的中点到轴距离的最小值为2
三、填空题：本题共4小题
13．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|PQ|＝________.
14．已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且=，则|AB|=__________.
15．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是________．
16．已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为_____.?
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
18．已知抛物线的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．
（1）求的方程；
（2）若是上的两个动点，且两点的横坐标之和为．
（ⅰ）设线段的中垂线为，证明：恒过定点．
（ⅱ）设（ⅰ）中定点为，当取最大值时，且，位于直线两侧时，求四边形的面积．
19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（t，﹣2）在C上，且|PF|＝2|OF|（O为坐标原点）．
（1）求C的方程；
（2）若A，B是C上的两个动点，且A，B两点的横坐标之和为8，求当|AB|取最大值时，直线AB的方程．
20．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．
21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在第一象限且为抛物线C上一点，点N（5，0）在点F右侧，且△MNF恰为等边三角形．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：x＝ky+m与C交于A，B两点，∠AOB＝120°（其中O为坐标原点），求实数m的取值范围．
22．在平面直角坐标系内，已知抛物线的焦点为，为平面直角坐标系内的点，若抛物线上存在点，使得，则称为的一个“垂足点”.
（1）若点有两个“垂足点”为和，求点的坐标；
（2）是否存在点，使得点有且仅有三个不同的“垂足点”，且点也是双曲线上的点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．C
【解析】如图，
∵，知两点关于轴对称，
设，
∴，解得，
∴，∴，
∴，∴.
故选：C
2．A
【解析】因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得
x2－4kx－4t＝0，于是＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.
故选：A
3．D
【解析】设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．过点M的直线l的方程为y－0＝k1(x＋2)，与椭圆方程联立可得
据此可知x1＋x2＝，
则点P的横坐标为，
点P的纵坐标为k1(x1＋2)＝.
据此得k2＝－.综上可得k1k2＝－.
故选：D
4．A
【解析】由题意，设抛物线y＝－x2上一点为：(m，－m2)，其中
则该点到直线4x＋3y－8＝0的距离：
当时，取得最小值为
故选：A
5．C
【解析】设抛物线方程为或，
依题意得，代入或得，
，．
抛物线方程为或，
故选：C.
6．A
【解析】双曲线的渐近线为，
双曲线与直线没有公共点，
则，则，，
.
故选：A.
7．D
【解析】抛物线y2＝16x的顶点O(0，0)，焦点F(4，0)，
设P(x，y)符合题意，则有
，即，解得，
所以符合题意的点为．
故选：D.
8．B
【解析】因为抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离
所以过焦点作直线的垂线
则到直线的距离为的最小值，如图所示：
所以
故选：B
9．AD
【解析】点(0，1)在抛物线外，过此点且与抛物线有一个公共点的直线共有3条：
其中两条是抛物线的切线；一条平行于抛物线的对称轴；
可得：直线x＝0是过(0，1)且与抛物线相切的直线，
直线y＝1是过(0，1)且平行于抛物线的对称轴的直线，
BC选项的直线不满足条件．
故选：AD.
10．BD
【解析】设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)．由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|
又F，所以,
所以，所以y0＝±.
故选:
BD
11．ACD
【解析】对于A，因为，所以，
所以，故A正确；
对于B，设直线，代入可得，
所以，即，所以直线过点，
而抛物线的焦点为，故B错误；
对于C，因为，
当时，等号成立，
又直线过点，所以，故C正确；
对于D，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D正确.
故选：ACD.
12．BCD
【解析】由抛物线，可得，则焦点坐标为，故A错误；
设直线的方程为，
联立方程组，可得，所以，
所以，
所以，故B正确；
设直线的方程为，
联立方程组，可得，所以，
所以，
因为直线与的斜率之积为，即，可得，解得，
所以直线的方程为，即直线过点，故C正确；
因为，
所以，所以，
因为，
所以的中点到轴的距离：
，当且仅当时等号成立，
所以的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确，
综上所述，正确命题为BCD.
故选：BCD.
13．6
【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.
故答案为：6.
14．
【解析】抛物线C:y2=4x的焦点F(1，0)和准线l:x=-1，
设A(-1，a)，B(x，y)，∵=3，∴，
∴x+1=，|AB|=.
故答案为：
15．－1
【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，
所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.所以d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
故答案为：－1.
16．8
【解析】解：不妨设直线的斜率，过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，
过作于，
由，得，，
，
，
由，
又，
所以，
.
故答案为：.
17．（1）抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1．
（2）证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB，即＝－．
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，
所以x1＝，x2＝，
从而有，即，得y1＋y2＝－4，
故直线AB的斜率kAB＝．
18．（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.
【解析】解：（1）由抛物线的性质得，
所以根据抛物线的定义得：，解得，
所以的标准方程为．
（2）设，且．
（ⅰ）证明：设中点为，则，，
当时，；
当时，，
则，，
令，得，故直线过定点
综上，恒过定点．
（ⅱ）由（ⅰ）知直线，即，
所以直线与抛物线联立方程消去，整理得，
由，得，，
，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为10，
此时直线的方程为．
对于直线，，
所以点在同侧，不合题意，
对于直线，满足，位于直线两侧，
所以直线，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以．
19．（1）；（2）.
【解析】解：（1）由题意得，解得，
所以的标准方程为．
（2）设，，，，且．
设中点为，则，，
当时，，；
当时，，
则，即，
与联立方程消去，整理得，
由，得，
，，
，
当且仅当，即，即时，取“”，
所以的最大值为10，
此时的方程为．
20．y2＝4x
【解析】如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，
由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝，∵BD∥FG，∴＝，p＝2.
因此抛物线的方程是y2＝4x．
21．（1）；（2）.
【解析】解：（1）由题意知，，
由抛物线的定义可知，
则由，得，
所以抛物线的方程为．
（2）设，，，，
由，得，
，
则，
所以，，
因为，
所以
，
所以且，
所以，解得，
即的取值范围为．
22．（1）；（2）存在，点坐标为或或（，）
或（，）．.
【解析】（1）设，由抛物线的焦点，且和是的“垂足点”，
∴且，又，，，，
∴，解得，
∴为.
（2）假设存在满足条件，设其中的一个“垂足点”为.
由，且，.
∴，即.
若有三个“垂足点”，即关于的方程有三个不相等的实根.
∴方程可化为形式，且，
而.
∴，即
若点在双曲线号上，则，化简得，
即（a2﹣4）（4a4﹣17a2﹣32）＝0，
解得a＝±2或a＝±，此时m＝±1或m＝±，且满足
所以存在P点，其坐标为或或（，）
或（，）．
3.3.2
抛物线的简单几何性质
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（
）
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3，0)
D．(－2，0)
3．过点M(－2，0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝4交于P1，P2两点，设线段P1P2的中点为P.若直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于（
）
A．－2
B．2
C．
D．－
4．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．3
5．以轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（
）
A．
B．
C．或
D．或
6．若双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（
）
A．(，±2)
B．(±，2)
C．(±2，)
D．(2，±)
8．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：为，则的最小值为（
）
A．3
B．4
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．(多选)过点(0，1)且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线是（
）
A．x＝0
B．y＝0
C．x＝1
D．y＝1
10．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
11．设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（
）
A．为定值
B．直线过抛物线的焦点
C．最小值为16
D．到直线的距离最大值为4
12．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（
）
A．点的坐标为
B．若，，三点共线，则
C．若直线与的斜率之积为，则直线过点
D．若，则的中点到轴距离的最小值为2
三、填空题：本题共4小题
13．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|PQ|＝________.
14．已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且=，则|AB|=__________.
15．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是________．
16．已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为_____.?
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
18．已知抛物线的焦点为，点在上，且（为坐标原点）．
（1）求的方程；
（2）若是上的两个动点，且两点的横坐标之和为．
（ⅰ）设线段的中垂线为，证明：恒过定点．
（ⅱ）设（ⅰ）中定点为，当取最大值时，且，位于直线两侧时，求四边形的面积．
19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（t，﹣2）在C上，且|PF|＝2|OF|（O为坐标原点）．
（1）求C的方程；
（2）若A，B是C上的两个动点，且A，B两点的横坐标之和为8，求当|AB|取最大值时，直线AB的方程．
20．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．
21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在第一象限且为抛物线C上一点，点N（5，0）在点F右侧，且△MNF恰为等边三角形．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：x＝ky+m与C交于A，B两点，∠AOB＝120°（其中O为坐标原点），求实数m的取值范围．
22．在平面直角坐标系内，已知抛物线的焦点为，为平面直角坐标系内的点，若抛物线上存在点，使得，则称为的一个“垂足点”.
（1）若点有两个“垂足点”为和，求点的坐标；
（2）是否存在点，使得点有且仅有三个不同的“垂足点”，且点也是双曲线上的点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．C
【解析】如图，
∵，知两点关于轴对称，
设，
∴，解得，
∴，∴，
∴，∴.
故选：C
2．A
【解析】因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得
x2－4kx－4t＝0，于是＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.
故选：A
3．D
【解析】设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．过点M的直线l的方程为y－0＝k1(x＋2)，与椭圆方程联立可得
据此可知x1＋x2＝，
则点P的横坐标为，
点P的纵坐标为k1(x1＋2)＝.
据此得k2＝－.综上可得k1k2＝－.
故选：D
4．A
【解析】由题意，设抛物线y＝－x2上一点为：(m，－m2)，其中
则该点到直线4x＋3y－8＝0的距离：
当时，取得最小值为
故选：A
5．C
【解析】设抛物线方程为或，
依题意得，代入或得，
，．
抛物线方程为或，
故选：C.
6．A
【解析】双曲线的渐近线为，
双曲线与直线没有公共点，
则，则，，
.
故选：A.
7．D
【解析】抛物线y2＝16x的顶点O(0，0)，焦点F(4，0)，
设P(x，y)符合题意，则有
，即，解得，
所以符合题意的点为．
故选：D.
8．B
【解析】因为抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离
所以过焦点作直线的垂线
则到直线的距离为的最小值，如图所示：
所以
故选：B
9．AD
【解析】点(0，1)在抛物线外，过此点且与抛物线有一个公共点的直线共有3条：
其中两条是抛物线的切线；一条平行于抛物线的对称轴；
可得：直线x＝0是过(0，1)且与抛物线相切的直线，
直线y＝1是过(0，1)且平行于抛物线的对称轴的直线，
BC选项的直线不满足条件．
故选：AD.
10．BD
【解析】设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)．由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|
又F，所以,
所以，所以y0＝±.
故选:
BD
11．ACD
【解析】对于A，因为，所以，
所以，故A正确；
对于B，设直线，代入可得，
所以，即，所以直线过点，
而抛物线的焦点为，故B错误；
对于C，因为，
当时，等号成立，
又直线过点，所以，故C正确；
对于D，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D正确.
故选：ACD.
12．BCD
【解析】由抛物线，可得，则焦点坐标为，故A错误；
设直线的方程为，
联立方程组，可得，所以，
所以，
所以，故B正确；
设直线的方程为，
联立方程组，可得，所以，
所以，
因为直线与的斜率之积为，即，可得，解得，
所以直线的方程为，即直线过点，故C正确；
因为，
所以，所以，
因为，
所以的中点到轴的距离：
，当且仅当时等号成立，
所以的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确，
综上所述，正确命题为BCD.
故选：BCD.
13．6
【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.
故答案为：6.
14．
【解析】抛物线C:y2=4x的焦点F(1，0)和准线l:x=-1，
设A(-1，a)，B(x，y)，∵=3，∴，
∴x+1=，|AB|=.
故答案为：
15．－1
【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，
所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.所以d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
故答案为：－1.
16．8
【解析】解：不妨设直线的斜率，过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，
过作于，
由，得，，
，
，
由，
又，
所以，
.
故答案为：.
17．（1）抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1．
（2）证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB，即＝－．
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，
所以x1＝，x2＝，
从而有，即，得y1＋y2＝－4，
故直线AB的斜率kAB＝．
18．（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.
【解析】解：（1）由抛物线的性质得，
所以根据抛物线的定义得：，解得，
所以的标准方程为．
（2）设，且．
（ⅰ）证明：设中点为，则，，
当时，；
当时，，
则，，
令，得，故直线过定点
综上，恒过定点．
（ⅱ）由（ⅰ）知直线，即，
所以直线与抛物线联立方程消去，整理得，
由，得，，
，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为10，
此时直线的方程为．
对于直线，，
所以点在同侧，不合题意，
对于直线，满足，位于直线两侧，
所以直线，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以．
19．（1）；（2）.
【解析】解：（1）由题意得，解得，
所以的标准方程为．
（2）设，，，，且．
设中点为，则，，
当时，，；
当时，，
则，即，
与联立方程消去，整理得，
由，得，
，，
，
当且仅当，即，即时，取“”，
所以的最大值为10，
此时的方程为．
20．y2＝4x
【解析】如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，
由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，
∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝，∵BD∥FG，∴＝，p＝2.
因此抛物线的方程是y2＝4x．
21．（1）；（2）.
【解析】解：（1）由题意知，，
由抛物线的定义可知，
则由，得，
所以抛物线的方程为．
（2）设，，，，
由，得，
，
则，
所以，，
因为，
所以
，
所以且，
所以，解得，
即的取值范围为．
22．（1）；（2）存在，点坐标为或或（，）
或（，）．.
【解析】（1）设，由抛物线的焦点，且和是的“垂足点”，
∴且，又，，，，
∴，解得，
∴为.
（2）假设存在满足条件，设其中的一个“垂足点”为.
由，且，.
∴，即.
若有三个“垂足点”，即关于的方程有三个不相等的实根.
∴方程可化为形式，且，
而.
∴，即
若点在双曲线号上，则，化简得，
即（a2﹣4）（4a4﹣17a2﹣32）＝0，
解得a＝±2或a＝±，此时m＝±1或m＝±，且满足
所以存在P点，其坐标为或或（，）
或（，）．