3.3.1 抛物线及其标准方程 同步提升训练小卷 - 2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册（Word含答案解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
3.3.1
抛物线及其标准方程
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为
A．
B．
C．
D．
2．抛物线的准线方程是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，射线AB交圆A于点P，过P作圆A的切线l，当r（）变化时，l与圆B的公共点的轨迹是
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
4．过点（1，1）的抛物的焦点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
5．是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到
轴的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
6．设抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的准线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
7．抛物线上点到轴的距离为3，则点到抛物线焦点的距离为（
）
A．2
B．3
C．4
D．
8．抛物线的焦点到其准线的距离为（
）
A．
B．
C．1
D．2
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．（多选题）对抛物线，下列描述不正确的是(　　)
A．开口向上，焦点为
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为
D．开口向右，焦点为
10．(多选)若动点P到定点的距离与到直线的距离相等，则P点的轨迹不可能是（
）
A．抛物线
B．线段
C．直线
D．射线
11．(多选)对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（
）
A．焦点坐标为(0，1)
B．焦点坐标为
C．准线方程为y=-
D．准线方程为y=-1
12．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则（
）
A．|BF|＝3
B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
三、填空题：本题共4小题
13．已知点在抛物线上，则______；点到抛物线的焦点的距离是______.
14．已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，则抛物线方程为________．
15．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且，若线段的垂直平分线与轴的交点为，则______．
16．设点是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点的坐标为，则的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离．
(Ⅰ)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；
(Ⅱ)若曲线与直线相交于两点，求的面积.
18．已知拋物线C：经过点，其焦点为F，M为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点．
Ⅰ求抛物线C的方程以及焦点坐标；
Ⅱ若与的面积相等，证明直线l与抛物线C相切．
19．已知点，直线，为直角坐标平面上的动点，过动点作的垂线，垂足为点，且满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线与（1）中的轨迹相切于点，，且与圆心为的圆，相交于，两点，当的面积最大时，求点的坐标.
20．已知抛物线过点，过点作直线与抛物线交于不同两点、，过作轴的垂线分别与直线、交于点、，其中为坐标原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（3）求证：为线段的中点.
21．已知抛物线的焦点为，直线与的交点为、，与轴的交点为.
（1）若、、成等差数列，求抛物线的方程；
（2）若，求.
22．已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于、两点（不同于点），直线、分别交直线于点、.
（1）求抛物线方程及其焦点坐标；
（2）求证：以为直径的圆恰好经过原点.
参考答案
1．A
【解析】抛物线的准线为，
双曲线的两条渐近线为，
可得两交点为，
即有三角形的面积为，解得，故选A．
2．B
【解析】由题意可得，抛物线的准线方程为.
故选：B.
3．D
【解析】设切线与圆的公共点，过作直线的垂线，过作，垂足为，连，
则，
所以，即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，且定点不在定直线上，
根据抛物线定义知，动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．
故选：D．
4．C
【解析】因为抛物过点（1，1），
将点的坐标代入抛物线方程得：，
抛物线方程：，焦点在轴，焦点坐标.
故选：C
5．D
【解析】是抛物线的焦点,?
,准线方程,?
设,
,?
,?
线段AB的中点横坐标为,?
线段AB的中点到y轴的距离为
所以D选项是正确的
6．D
【解析】由题意，抛物线的焦点，又由焦点在上，
解得，所以抛物线的准线方程为，故选D.
7．C
【解析】解：因为抛物线的标准方程为，
所以抛物线的准线方程为：
．
又因为点到轴的距离为3，
所以点到准线的距离为．
根据抛物线的定义可得：点到抛物线焦点的距离为.
故选：C
8．C
【解析】根据的几何意义可知，抛物线的焦点到其准线的距离为．因为，所以
．
故选：C．
9．BCD
【解析】因为抛物线的标准方程为，所以，，开口向上，
因此抛物线的焦点为，准线为.故A正确，BCD都错.
故选：BCD.
10．BCD
【解析】因为动点到定点的距离等于到定直线的距离，且点不在直线上，符合抛物线的定义，所以P点的轨迹是抛物线，不可能是线段、直线、射线，
故选：BCD
11．BC
【解析】由y=4x2，得，所以该抛物线开口向上，焦点坐标为，准线方程为.
故选：BC
12．BCD
【解析】根据题意，作图如下：
因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，
所以，又，
所以为等边三角形，B正确；
∠ABD＝90°，，过F作FC⊥AB交于C，
则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，
所以A的横坐标为，
，
，所以A不正确，
焦点到准线的距离为，所以C正确；
抛物线的方程为：y2＝6x，所以D正确.
故选：BCD．
13．2
2
【解析】点代入抛物线方程得：
，解得：；
抛物线方程为：，准线方程为：，
点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：
故答案为2,2
14．
【解析】因为椭圆的右焦点为，所以抛物线的，
而抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点是椭圆的右焦点，
所以抛物线方程为：．
故答案为：．
15．
【解析】设点、，则，线段的中点，
从而的中垂线方程为，
该直线过点，从而，从而，
从而.
故答案为：.
16．
【解析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，
所以，要求取得最小值，即求取得最小，
当、、三点共线时最小为．
故答案为：．
17．（Ⅰ）点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为；
（Ⅱ）设,
联立，得
,
,
直线经过抛物线的焦点,
点到直线的距离，
18．（Ⅰ）抛物线的方程为x2=4y，其焦点坐标为（
0，1），（Ⅱ）见解析
【解析】解：（Ⅰ）∵抛物线x2=2py过点P（2，1），∴4=2p，解得p=2，
∴抛物线的方程为x2=4y，其焦点坐标为（
0，1），
（Ⅱ）设（x0，），由△AFM的面积等于△AFB的面积，可得|MA|=|AB|，
即A是MB的中点，∴A（，0），B（0，-），
∴直线l的方程为y=（x-），
直线l的方程与抛物线C的方程联立得，得x2-2x0x+x02=0，得x=x0，y=，
∴直线l与抛物线C只有一个公共点，
∴直线l与抛物线相切，且切点为M．
19．（1）；（2）．
【解析】（1）设，
点，直线，
过动点作的垂线，垂足为点，
．
，
整理，得动点的轨迹的方程为．
（2），所以
求导得
切点，所以
切线斜率
所以切线为
整理得，，
，
，，
则时，面积最大，
此时圆心到直线的距离为．
则有，
解得，点的坐标为．
20．（1）；（2）焦点坐标为，准线方程为；（3）证明见解析.
【解析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程得，解得，
因此，抛物线的标准方程为；
（2）由（1）知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为；
（3）设直线的方程为，设点、，
将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，
由韦达定理得，.
直线的方程为，联立，得点，
直线的方程为，联立，得点，
点的坐标为，
，则，
因此，为线段的中点.
21．（1）；（2）.
【解析】（1）设、，由得，
所以，直线的斜率为，得，
、、成等差数列，，解得，
因此，抛物线的方程为；
（2），，即，，
联立，消去得，，
由韦达定理得，，
将代入，得，
将代入，得，，，
所以，
点到直线的距离.
.
22．（1）抛物线方程为，焦点坐标为；（2）证明见解析.
【解析】（1）将代入，得，因此，抛物线方程为，焦点坐标为；
（2）设，，、.
因为直线不经过点，所以直线一定有斜率，设直线方程为，
与抛物线方程联立得到，消去，得，
则由韦达定理得，.
，，
，，即，
显然，，，，
则点，同理可求得点的坐标为，
所以，，
，因此，以为直径的圆过原点.