2021-2022学年人教版八年级上册12.3角的平分线的性质课件 （52张ppt共2课时）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级上册12.3角的平分线的性质课件 （52张ppt共2课时） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-14 08:02:08 | ||
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文档简介
(共52张PPT)
第1课时
12.3
角的平分线的性质
九年级上册
RJ
初中数学
角平分线的概念:
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
O
A
B
C
如图，OC是∠AOB的平分线.
∠AOC=∠BOC=
∠AOB.
知识回顾
1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.
2.探究并证明角平分线的性质.
3.会用角平分线的性质解决实际问题.
学习目标
思考：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个
角的平分线.
A
D
B
C
E
课堂导入
你能说明它的道理吗？
A
D
B
C
E
理由如下：如图构成了△ADC和△ABC，
∵在△ADC和△ABC中，
AD=AB，
AC=AC，
DC=BC，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴
∠DAC=∠BAC.
∵点C在射线AE上，
∴AE是这个角的平分线.
课堂导入
如图，已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以M,N为圆心，大于
MN
的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部
相交于点C.
知识点1
作已知角的平分线
新知探究
C
B
N
O
M
A
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
注意：（1）以“适当长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.
（2）“以大于
MN的长为半径画弧”
是因为小于
MN的长为半径画弧时
两弧没有交点，等于
MN的长为半
径画弧时不容易操作.
C
B
N
O
M
A
（3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.
（4）“画射线OC
”不能说成“连接OC
”，
因为连接OC得到的是线段，而角
的平分线是一条射线.
C
B
N
O
M
A
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
经过测量发现，PD=PE，在OC上再取几个点，都能得到同样的结论.
知识点2
角平分线的性质
新知探究
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
注意：（1）“点”是指角的平分线上任意位置的点；（2）“点到角的两边的距离”
是指点到角的两边的垂线段的长度.
几何表示：如图，∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
∴PD=PE.
例
如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=∠PEO，
∠AOC=∠BOC，
OP=OP，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD=PE.
证明几何命题的一般步骤：
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论
的途径，写出证明过程.
知识点3
证明几何命题的一般步骤
新知探究
注意：（1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明；
（2）证明过程中的每一步推理都要有依据，依据可以是已知条件、定义、定理等.
例1
求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线的距离相等.
解：已知：如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.
求证：BE=CF.
跟踪训练
新知探究
可先将命题改写成“如果……那么……”的形式，然后确定已知和求证
证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD.
∵BE⊥AD交AD的延长线于点E，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BED和△CFD中，∠BED=∠CFD，
∠BDE=∠CDF，
BD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE=CF.
例2
填空：下列结论一定成立的是（
）
①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE.
②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE.
O
B
A
C
P
D
图2
E
O
B
A
C
P
D
图1
E
┐
┐
（PD，PE不是角平分线上的点到角两边的距离）
(OC不一定是∠AOB的平分线)
③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足为D.若PD=3，则点P到OA的距离为3.
O
B
A
C
P
D
图3
（PD是∠AOB平分线OC上的点到OA的距离）
所以一定成立的是③.
1.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E,
F.求证：EB=FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD，
DE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴EB=FC.
C
A
B
D
F
E
┐
┐
随堂练习
2.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，则下列结论错误的是（
）
A.PC=PD
B.∠CPO=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=OD
B
解析：∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD.
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
∵
OP=OP，
PC=PD，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）.
∴
∠CPO=∠DPO，OC=OD.
角的平分线的性质
会用尺规作图法画出一个已知角的平分线
性质
应用
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
利用角的平分线的性质解决实际问题
课堂小结
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分
∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，
则△DEB的周长为（
）
A.10cm
B.7cm
C.8cm
D.不能确定
拓展提升
解析：在△ABC中，∠C=90°，
∴DC⊥AC.
∵DE⊥AB，AD平分∠CAB，
∴DC=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中,
AD=AD，
DC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE.
∵AC=BC，∴AE=BC，∴△DEB的周长=DE+DB+
EB=DC+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB=8cm.
第2课时
12.3
角的平分线的性质
九年级上册
RJ
初中数学
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何表示：如图，∵OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
∴PD=PE.
O
A
B
C
P
D
E
┐
┐
知识回顾
1.探究并证明角的平分线的判定.
2.会用角的平分线的判定解决实际问题.
3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
学习目标
思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？
课堂导入
作出公路和铁路相交的角的平分线，按照比例尺的比例在该平分线上选取离交叉口处500m的位置即可建集贸市场.
到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上？
课堂导入
┐
角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
注意:使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.
O
A
B
C
P
D
E
┐
知识点1
角的平分线的判定
新知探究
几何表示：如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.
O
A
B
C
P
D
E
┐
┐
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°.
∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，
PE=PD，
PO=PO，∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.
∴∠AOC=∠BOC.
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
例
如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线OC上.
O
A
B
C
P
D
E
┐
角的平分线的性质定理与判定定理的关系.
点在角的平分线上
(角的内部)点到角的两边的距离相等
性质定理
判定定理
性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.
知识点2
角的平分线的性质定理与判定定理的关系
新知探究
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置的角度看你能得出什么结论？
三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部.
A
B
C
┐
A
B
C
A
B
C
知识点3
三角形三个内角平分线的性质
新知探究
过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段，从大小上你能观察出什么结论？
过交点作三角形三边的垂线段相等.
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
A
B
C
A
B
B
C
A
C
例
如图，△ABC的角平分线AD，BE，CF相交于点P.求证：点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等.
B
C
P
D
E
F
M
N
O
证明：过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB，
垂足分别为点M，N，O.
┐
┐
┐
A
可多次利用角平分线的性质证得
∵AD为△ABC的角平分线，∴PN=PO.
∵BE为△ABC的角平分线，
∴PM=PO.
∵CF为△ABC的角平分线，
∴PM=PN.
∴PM=PN=PO，
即点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等.
B
C
P
D
E
F
M
N
O
┐
┐
┐
A
三角形三个内角的平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是该
三角形三条角平分线的交点.
A
B
C
P
判断题:(1)如图1，若QM=QN，则OQ平分∠AOB.(
)
(2)如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分∠AOB.(
)
┐
┐
Q
O
B
A
M
图2
N
O
B
A
Q
M
图1
N
跟踪训练
新知探究
角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：①点P在∠DBC的平分线上；②点P在∠BCE的平分线上；③点P在∠BAC的平分线上.其中说法正确
的个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
D
C
A
E
B
D
F
P
┐
┐
随堂练习
2.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.
求证：AD是∠BAC的平分线.
┐
C
E
A
F
D
B
┐
BE=CF，DB=DC.
Rt△BDE≌Rt△CDF.
DE⊥AB，DF⊥AC
，DE=DF.
AD是∠BAC的平分线.
分析：
（直角三角形全等（HL））
（三角形全等的性质）
（角的平分线的判定）
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BE=CF，
DB=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上，
即AD是∠BAC的平分线.
┐
C
E
A
F
D
B
┐
3.如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（
）.
证明：由题意，得OD⊥BC，OE
⊥
AC,
OF
⊥
AB,
且OF=OD=OE，
∴OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB.
∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°.
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°.
∴∠OBC+∠OCB=
（∠ABC+∠ACB）=55°.
4.如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD.
E
A
B
C
D
F
┌
┐
熟练掌握角的平分线的判定定理是解题的关键
证明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠ABC=∠EDC.
∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴∠CED=∠CFB=90°.
∵在△BCF和△DCE中，
∠CFB=∠CED，
∠FBC=∠EDC，
BC=DC，
∴△BCF≌△DCE（AAS）.
∴CF=CE，即AC平分∠BAD.
E
A
B
C
D
F
┌
┐
角平分线的判定
学会用添加辅助线的方法解题
判定
定理
应用
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题
课堂小结
1.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE平分∠DAB.
A
B
C
E
D
┌
┌
拓展提升
证明：过点E作EF⊥AD于点F，
∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥EC，EB⊥AB.
∵DE平分∠ADC，
∴EC=EF.
证明角平分线的方法
只需从要证的线上的某一点向角的两边作（找）垂线段，再证明垂线段相等即可.
∵E是BC的中点，
∴EC=EB
=EF.
又∵EF⊥AD，EB⊥AB，
∴点E在∠DAB的平分线上，即AE平分∠DAB.
F
┌
A
B
C
E
D
┌
┌
2.如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°，
求证：点P在∠MON的平分线上.
C
D
A
B
P
O
M
N
┌
┌
证明：①若∠PAO≠90°，如图，过点P分别作PC⊥OM，PD⊥ON，垂足分别为C，D，则∠ACP=∠BDP=90°.
在四边形OCPD中，
∠CPD=360°-∠OCP-∠COD-∠ODP=120°，
∴∠APB=∠CPD.
∴∠APB-∠APD
=∠CPD-∠APD，即∠APC=∠BPD.
在△APC和△BPD中，
∠APC=∠BPD，
∠ACP=∠BDP，
AP=BP，
∴△APC≌△BPD（AAS）.
∴PC=PD，
∴点P在∠MON的平分线上.
C
D
A
B
P
O
M
N
┌
┌
A
B
P
O
M
N
②若∠PAO=90°，则∠PBO=360°-∠APB-
∠PAO
-∠AOB
=
90°
,
∴PA=PB,
∴点P在∠MON的平分线上.
综上，点P在∠MON的平分线上.
∠PAO的度数未知，因分情况讨论，确保结果的完整性.
第1课时
12.3
角的平分线的性质
九年级上册
RJ
初中数学
角平分线的概念:
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
O
A
B
C
如图，OC是∠AOB的平分线.
∠AOC=∠BOC=
∠AOB.
知识回顾
1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.
2.探究并证明角平分线的性质.
3.会用角平分线的性质解决实际问题.
学习目标
思考：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个
角的平分线.
A
D
B
C
E
课堂导入
你能说明它的道理吗？
A
D
B
C
E
理由如下：如图构成了△ADC和△ABC，
∵在△ADC和△ABC中，
AD=AB，
AC=AC，
DC=BC，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴
∠DAC=∠BAC.
∵点C在射线AE上，
∴AE是这个角的平分线.
课堂导入
如图，已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以M,N为圆心，大于
MN
的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部
相交于点C.
知识点1
作已知角的平分线
新知探究
C
B
N
O
M
A
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
注意：（1）以“适当长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.
（2）“以大于
MN的长为半径画弧”
是因为小于
MN的长为半径画弧时
两弧没有交点，等于
MN的长为半
径画弧时不容易操作.
C
B
N
O
M
A
（3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.
（4）“画射线OC
”不能说成“连接OC
”，
因为连接OC得到的是线段，而角
的平分线是一条射线.
C
B
N
O
M
A
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
经过测量发现，PD=PE，在OC上再取几个点，都能得到同样的结论.
知识点2
角平分线的性质
新知探究
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
注意：（1）“点”是指角的平分线上任意位置的点；（2）“点到角的两边的距离”
是指点到角的两边的垂线段的长度.
几何表示：如图，∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
∴PD=PE.
例
如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=∠PEO，
∠AOC=∠BOC，
OP=OP，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD=PE.
证明几何命题的一般步骤：
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论
的途径，写出证明过程.
知识点3
证明几何命题的一般步骤
新知探究
注意：（1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明；
（2）证明过程中的每一步推理都要有依据，依据可以是已知条件、定义、定理等.
例1
求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线的距离相等.
解：已知：如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.
求证：BE=CF.
跟踪训练
新知探究
可先将命题改写成“如果……那么……”的形式，然后确定已知和求证
证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD.
∵BE⊥AD交AD的延长线于点E，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BED和△CFD中，∠BED=∠CFD，
∠BDE=∠CDF，
BD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE=CF.
例2
填空：下列结论一定成立的是（
）
①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE.
②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE.
O
B
A
C
P
D
图2
E
O
B
A
C
P
D
图1
E
┐
┐
（PD，PE不是角平分线上的点到角两边的距离）
(OC不一定是∠AOB的平分线)
③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足为D.若PD=3，则点P到OA的距离为3.
O
B
A
C
P
D
图3
（PD是∠AOB平分线OC上的点到OA的距离）
所以一定成立的是③.
1.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E,
F.求证：EB=FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD，
DE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴EB=FC.
C
A
B
D
F
E
┐
┐
随堂练习
2.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，则下列结论错误的是（
）
A.PC=PD
B.∠CPO=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=OD
B
解析：∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD.
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
∵
OP=OP，
PC=PD，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）.
∴
∠CPO=∠DPO，OC=OD.
角的平分线的性质
会用尺规作图法画出一个已知角的平分线
性质
应用
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
利用角的平分线的性质解决实际问题
课堂小结
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分
∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，
则△DEB的周长为（
）
A.10cm
B.7cm
C.8cm
D.不能确定
拓展提升
解析：在△ABC中，∠C=90°，
∴DC⊥AC.
∵DE⊥AB，AD平分∠CAB，
∴DC=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中,
AD=AD，
DC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE.
∵AC=BC，∴AE=BC，∴△DEB的周长=DE+DB+
EB=DC+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB=8cm.
第2课时
12.3
角的平分线的性质
九年级上册
RJ
初中数学
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何表示：如图，∵OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
∴PD=PE.
O
A
B
C
P
D
E
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知识回顾
1.探究并证明角的平分线的判定.
2.会用角的平分线的判定解决实际问题.
3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
学习目标
思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？
课堂导入
作出公路和铁路相交的角的平分线，按照比例尺的比例在该平分线上选取离交叉口处500m的位置即可建集贸市场.
到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上？
课堂导入
┐
角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
注意:使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.
O
A
B
C
P
D
E
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知识点1
角的平分线的判定
新知探究
几何表示：如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.
O
A
B
C
P
D
E
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证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°.
∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，
PE=PD，
PO=PO，∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.
∴∠AOC=∠BOC.
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
例
如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线OC上.
O
A
B
C
P
D
E
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角的平分线的性质定理与判定定理的关系.
点在角的平分线上
(角的内部)点到角的两边的距离相等
性质定理
判定定理
性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.
知识点2
角的平分线的性质定理与判定定理的关系
新知探究
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置的角度看你能得出什么结论？
三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部.
A
B
C
┐
A
B
C
A
B
C
知识点3
三角形三个内角平分线的性质
新知探究
过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段，从大小上你能观察出什么结论？
过交点作三角形三边的垂线段相等.
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┐
┐
A
B
C
A
B
B
C
A
C
例
如图，△ABC的角平分线AD，BE，CF相交于点P.求证：点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等.
B
C
P
D
E
F
M
N
O
证明：过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB，
垂足分别为点M，N，O.
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┐
┐
A
可多次利用角平分线的性质证得
∵AD为△ABC的角平分线，∴PN=PO.
∵BE为△ABC的角平分线，
∴PM=PO.
∵CF为△ABC的角平分线，
∴PM=PN.
∴PM=PN=PO，
即点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等.
B
C
P
D
E
F
M
N
O
┐
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┐
A
三角形三个内角的平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是该
三角形三条角平分线的交点.
A
B
C
P
判断题:(1)如图1，若QM=QN，则OQ平分∠AOB.(
)
(2)如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分∠AOB.(
)
┐
┐
Q
O
B
A
M
图2
N
O
B
A
Q
M
图1
N
跟踪训练
新知探究
角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：①点P在∠DBC的平分线上；②点P在∠BCE的平分线上；③点P在∠BAC的平分线上.其中说法正确
的个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
D
C
A
E
B
D
F
P
┐
┐
随堂练习
2.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.
求证：AD是∠BAC的平分线.
┐
C
E
A
F
D
B
┐
BE=CF，DB=DC.
Rt△BDE≌Rt△CDF.
DE⊥AB，DF⊥AC
，DE=DF.
AD是∠BAC的平分线.
分析：
（直角三角形全等（HL））
（三角形全等的性质）
（角的平分线的判定）
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BE=CF，
DB=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上，
即AD是∠BAC的平分线.
┐
C
E
A
F
D
B
┐
3.如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（
）.
证明：由题意，得OD⊥BC，OE
⊥
AC,
OF
⊥
AB,
且OF=OD=OE，
∴OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB.
∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°.
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°.
∴∠OBC+∠OCB=
（∠ABC+∠ACB）=55°.
4.如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD.
E
A
B
C
D
F
┌
┐
熟练掌握角的平分线的判定定理是解题的关键
证明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠ABC=∠EDC.
∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴∠CED=∠CFB=90°.
∵在△BCF和△DCE中，
∠CFB=∠CED，
∠FBC=∠EDC，
BC=DC，
∴△BCF≌△DCE（AAS）.
∴CF=CE，即AC平分∠BAD.
E
A
B
C
D
F
┌
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角平分线的判定
学会用添加辅助线的方法解题
判定
定理
应用
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题
课堂小结
1.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE平分∠DAB.
A
B
C
E
D
┌
┌
拓展提升
证明：过点E作EF⊥AD于点F，
∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥EC，EB⊥AB.
∵DE平分∠ADC，
∴EC=EF.
证明角平分线的方法
只需从要证的线上的某一点向角的两边作（找）垂线段，再证明垂线段相等即可.
∵E是BC的中点，
∴EC=EB
=EF.
又∵EF⊥AD，EB⊥AB，
∴点E在∠DAB的平分线上，即AE平分∠DAB.
F
┌
A
B
C
E
D
┌
┌
2.如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°，
求证：点P在∠MON的平分线上.
C
D
A
B
P
O
M
N
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┌
证明：①若∠PAO≠90°，如图，过点P分别作PC⊥OM，PD⊥ON，垂足分别为C，D，则∠ACP=∠BDP=90°.
在四边形OCPD中，
∠CPD=360°-∠OCP-∠COD-∠ODP=120°，
∴∠APB=∠CPD.
∴∠APB-∠APD
=∠CPD-∠APD，即∠APC=∠BPD.
在△APC和△BPD中，
∠APC=∠BPD，
∠ACP=∠BDP，
AP=BP，
∴△APC≌△BPD（AAS）.
∴PC=PD，
∴点P在∠MON的平分线上.
C
D
A
B
P
O
M
N
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A
B
P
O
M
N
②若∠PAO=90°，则∠PBO=360°-∠APB-
∠PAO
-∠AOB
=
90°
,
∴PA=PB,
∴点P在∠MON的平分线上.
综上，点P在∠MON的平分线上.
∠PAO的度数未知，因分情况讨论，确保结果的完整性.