专题5 直线的方程 专题集训 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 专题5 直线的方程 专题集训 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 370.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-14 14:24:18 | ||
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文档简介
2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
专题5
直线的方程
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．直线l过点(-1，-1)和(2，5)，点(1
010，b)在直线l上，则b的值为（
）
A．2
019
B．2
020
C．2
021
D．2
022
2．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )
A．y－1＝3(x－3)
B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1)
D．y－3＝－3(x－1)
3．直线的倾斜角和所经过的定点分别是（
）
A．30°，(－3，4)
B．120°，(－3，4)
C．150°，(3，－4)
D．120°，(3，－4)
4．已知直线的方程是，则
A．直线经过点)，斜率为
B．直线经过点，斜率为
C．直线经过点，斜率为
D．直线经过点，斜率为
5．“”是“直线和直线平行且不重合”的（
）.
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
6．已知，则直线通过( )
象限
A．第一、二、三
B．第一、二、四
C．第一、三、四
D．第二、三、四
7．两条直线=1与=1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知直线l1，l2的方程分别为x+ay+b=0，x+cy+d=0，其图象如图所示，则有
A．ac＜0
B．a＜c
C．bd＜0
D．b＞d
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．下列说法正确的是（
）
A．点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3）
B．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为
C．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0
D．直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
10．（多选题）直线，的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
11．下面说法错误的是（
）.
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．不经过原点的直线都可以用方程表示
C．经过定点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示
12．下列说法正确的是（
）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
三、填空题：本题共4小题
13．若直线的倾斜角是，则实数是_______________.
14．求经过两点的直线方程___________.
15．无论k取何值，直线y-2=k(x+1)所过的定点是____.
16．如图直线y=kx+b通过第一、三、四象限，则k__，b__.
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．直线l经过点P(3，4)，它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．
18．已知直线的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程.
(1)过点,
(2)在x轴上截距为;
(3)在y轴上截距为3.
19．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
顶点C的坐标；?
直线MN的方程．
20．如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合．将矩形折叠，使点落在线段上．若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在的直线方程．
21．求满足下列条件的直线方程:
（1）经过点，且与直线垂直;
（2）与直线平行，与直线在y轴上的截距相同.
22．直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【解析】因为直线l过点(-1，-1)和(2，5)，
所以直线l的两点式方程为，
化简得y=2x+1，
将x=1
010代入，得b=2
021.
故选：C
2．D
【解析】在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3),
点B在x轴的正半轴上，由等腰三角形的对称性可知点B（2,0），直线AB斜率k=-3
则直线AB方程为：y－3＝－3(x－1)
故选D
3．B
【解析】根据直线可以得到斜率，过定点(－3，4).
所以倾斜角120°.
故选：B.
4．C
【解析】直线的方程可化为，故直线经过点，斜率为.
故选C.
5．C
【解析】当时，两直线分别为：，，
∴两直线斜率相等且，
∴两条直线平行且不重合；
若两直线平行且不重合，则，∴，综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件，
故选：C.
6．A
【解析】因为，所以，
①若则，，直线通过第一、二、三象限．
②若则，，直线通过第一、二、三象限．
7．B
【解析】两直线的方程分别化为y=x-n,y=x-m,易知两直线的斜率符号相同，结合选项可知，B符合，
故选：B
8．C
【解析】直线方程化为l1：y=﹣x﹣，l2：y=﹣x﹣．
由图象知，﹣＜﹣＜0，﹣＞0＞﹣，
∴a＞c＞0，b＜0，d＞0．
故选C
9．ACD
【解析】点（2，0）与（﹣1，3）的中点（，）
满足直线y＝x+1，并且两点的斜率为﹣1，
所以点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3），
所以A正确；
当x1≠x2，y1≠y2时，过（x1，y1），（x2，y2），
两点的直线方程为，所以B不正确；
经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程
为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0，所以正确；
直线x﹣y﹣4＝0，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：8，所以D正确；
故选：ACD.
10．BC
【解析】解：直线的方程是，可化为，
的方程是，可化为，
在A中，假设直线正确：由知，则，与的图象不符；
在B中，假设直线正确：由知，则，与的图象相符；
在C中，假设直线正确：由知，则，与的图象相符；
在D中，假设直线正确：由知，则，与的图象不符.
故选：BC.
11．ABC
【解析】经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以A错；
不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程表示，所以B错；
经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以C错；
当时，经过点的直线可以用方程即表示，当时，经过点的直线可以用方程，即表示，因此经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示，所以D对；
故选：ABC
12．ABD
【解析】可化为，则直线必过定点，故A正确；
令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；
可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；
设过点且垂直于直线的直线的斜率为
因为直线的斜率为，所以，解得
则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；
故选：ABD
13．
【解析】因为直线的倾斜角是，
所以直线的斜率为
因此
或（舍）
故答案为：
14．
【解析】直线方程为，即．
15．
【解析】联立方程组得，所以直线恒过定点，
故答案为：.
16．k>0
b<0
【解析】由图可知，直线的倾斜角为锐角，在纵轴上的截距为负，
所以k>0，b<0.
故答案为：k>0；b<0.
17．y－4＝(x－3)．
【解析】直线的斜率k＝，
则其倾斜角α＝60°，所以直线l的倾斜角为120°.
以直线l的斜率为k′＝tan
120°＝－.
所以直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3)．
18．(1)y＝x－－4.(2)
y＝x＋
(3)
y＝x＋3.
【解析】直线y＝－x＋5的斜率k＝tanα＝－，∴α＝150°．（1）代入已知点得到直线方程．（2）在x轴上截距为－2，故过点（-2，0），代入方成即可．（3）在y轴上截距为3，故过点（0，3）点斜式写出直线方程即可.
直线y＝－x＋5的斜率k＝tanα＝－，
∴α＝150°，
故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝.
(1)过点P(3，－4)，由点斜式方程得：
y＋4＝
(x－3)，
∴y＝x－－4.
(2)在x轴截距为－2，即直线l过点(－2,0)，
由点斜式方程得：y－0＝
(x＋2)，∴y＝x＋.
(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y＝x＋3.
19．（1）；（2）．
【解析】（1）边AC的中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为0，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为0．构造方程易得C点的坐标．
（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程．
解：（1）设点C（x，y），
∵边AC的中点M在y轴上得=0，
∵边BC的中点N在x轴上得=0，
解得x=﹣5，y=﹣3．
故所求点C的坐标是（﹣5，﹣3）．
（2）点M的坐标是（0，﹣），
点N的坐标是（1，0），
直线MN的方程是=，
即5x﹣2y﹣5=0．
20．
【解析】当时，与重合，折痕所在直线方程为；
当时，点关于折痕对称点在上．
设点的坐标为，则，
直线的方程为，时满足，
综上所述：直线的方程为.
21．（1）；（2）.
【解析】（1）由题意，直线的斜率为3，
因为所求直线与该直线垂直，所以所求直线斜率为，
又直线过点，
由直线方程的点斜式方程可得，即.
（2）直线的斜率为，直线在y轴上的截距为，
由题意知，所求直线的斜率为，在轴上的截距为，
由直线方程的斜截式得，即.
22．＋＝1.
【解析】
设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
若满足条件(1)，则a＋b＋＝12，①
又∵直线过点P(，2)，∵＋＝1.②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得，或.
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
若满足条件(2)，则ab＝12，③
由题意得，＋＝1，④
由③④整理得a2－6a＋8＝0，
解得，或.
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.
专题5
直线的方程
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．直线l过点(-1，-1)和(2，5)，点(1
010，b)在直线l上，则b的值为（
）
A．2
019
B．2
020
C．2
021
D．2
022
2．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )
A．y－1＝3(x－3)
B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1)
D．y－3＝－3(x－1)
3．直线的倾斜角和所经过的定点分别是（
）
A．30°，(－3，4)
B．120°，(－3，4)
C．150°，(3，－4)
D．120°，(3，－4)
4．已知直线的方程是，则
A．直线经过点)，斜率为
B．直线经过点，斜率为
C．直线经过点，斜率为
D．直线经过点，斜率为
5．“”是“直线和直线平行且不重合”的（
）.
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
6．已知，则直线通过( )
象限
A．第一、二、三
B．第一、二、四
C．第一、三、四
D．第二、三、四
7．两条直线=1与=1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知直线l1，l2的方程分别为x+ay+b=0，x+cy+d=0，其图象如图所示，则有
A．ac＜0
B．a＜c
C．bd＜0
D．b＞d
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．下列说法正确的是（
）
A．点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3）
B．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为
C．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0
D．直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
10．（多选题）直线，的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
11．下面说法错误的是（
）.
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．不经过原点的直线都可以用方程表示
C．经过定点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示
12．下列说法正确的是（
）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
三、填空题：本题共4小题
13．若直线的倾斜角是，则实数是_______________.
14．求经过两点的直线方程___________.
15．无论k取何值，直线y-2=k(x+1)所过的定点是____.
16．如图直线y=kx+b通过第一、三、四象限，则k__，b__.
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．直线l经过点P(3，4)，它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．
18．已知直线的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程.
(1)过点,
(2)在x轴上截距为;
(3)在y轴上截距为3.
19．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
顶点C的坐标；?
直线MN的方程．
20．如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合．将矩形折叠，使点落在线段上．若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在的直线方程．
21．求满足下列条件的直线方程:
（1）经过点，且与直线垂直;
（2）与直线平行，与直线在y轴上的截距相同.
22．直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【解析】因为直线l过点(-1，-1)和(2，5)，
所以直线l的两点式方程为，
化简得y=2x+1，
将x=1
010代入，得b=2
021.
故选：C
2．D
【解析】在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3),
点B在x轴的正半轴上，由等腰三角形的对称性可知点B（2,0），直线AB斜率k=-3
则直线AB方程为：y－3＝－3(x－1)
故选D
3．B
【解析】根据直线可以得到斜率，过定点(－3，4).
所以倾斜角120°.
故选：B.
4．C
【解析】直线的方程可化为，故直线经过点，斜率为.
故选C.
5．C
【解析】当时，两直线分别为：，，
∴两直线斜率相等且，
∴两条直线平行且不重合；
若两直线平行且不重合，则，∴，综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件，
故选：C.
6．A
【解析】因为，所以，
①若则，，直线通过第一、二、三象限．
②若则，，直线通过第一、二、三象限．
7．B
【解析】两直线的方程分别化为y=x-n,y=x-m,易知两直线的斜率符号相同，结合选项可知，B符合，
故选：B
8．C
【解析】直线方程化为l1：y=﹣x﹣，l2：y=﹣x﹣．
由图象知，﹣＜﹣＜0，﹣＞0＞﹣，
∴a＞c＞0，b＜0，d＞0．
故选C
9．ACD
【解析】点（2，0）与（﹣1，3）的中点（，）
满足直线y＝x+1，并且两点的斜率为﹣1，
所以点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3），
所以A正确；
当x1≠x2，y1≠y2时，过（x1，y1），（x2，y2），
两点的直线方程为，所以B不正确；
经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程
为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0，所以正确；
直线x﹣y﹣4＝0，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：8，所以D正确；
故选：ACD.
10．BC
【解析】解：直线的方程是，可化为，
的方程是，可化为，
在A中，假设直线正确：由知，则，与的图象不符；
在B中，假设直线正确：由知，则，与的图象相符；
在C中，假设直线正确：由知，则，与的图象相符；
在D中，假设直线正确：由知，则，与的图象不符.
故选：BC.
11．ABC
【解析】经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以A错；
不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程表示，所以B错；
经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以C错；
当时，经过点的直线可以用方程即表示，当时，经过点的直线可以用方程，即表示，因此经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示，所以D对；
故选：ABC
12．ABD
【解析】可化为，则直线必过定点，故A正确；
令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；
可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；
设过点且垂直于直线的直线的斜率为
因为直线的斜率为，所以，解得
则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；
故选：ABD
13．
【解析】因为直线的倾斜角是，
所以直线的斜率为
因此
或（舍）
故答案为：
14．
【解析】直线方程为，即．
15．
【解析】联立方程组得，所以直线恒过定点，
故答案为：.
16．k>0
b<0
【解析】由图可知，直线的倾斜角为锐角，在纵轴上的截距为负，
所以k>0，b<0.
故答案为：k>0；b<0.
17．y－4＝(x－3)．
【解析】直线的斜率k＝，
则其倾斜角α＝60°，所以直线l的倾斜角为120°.
以直线l的斜率为k′＝tan
120°＝－.
所以直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3)．
18．(1)y＝x－－4.(2)
y＝x＋
(3)
y＝x＋3.
【解析】直线y＝－x＋5的斜率k＝tanα＝－，∴α＝150°．（1）代入已知点得到直线方程．（2）在x轴上截距为－2，故过点（-2，0），代入方成即可．（3）在y轴上截距为3，故过点（0，3）点斜式写出直线方程即可.
直线y＝－x＋5的斜率k＝tanα＝－，
∴α＝150°，
故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝.
(1)过点P(3，－4)，由点斜式方程得：
y＋4＝
(x－3)，
∴y＝x－－4.
(2)在x轴截距为－2，即直线l过点(－2,0)，
由点斜式方程得：y－0＝
(x＋2)，∴y＝x＋.
(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y＝x＋3.
19．（1）；（2）．
【解析】（1）边AC的中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为0，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为0．构造方程易得C点的坐标．
（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程．
解：（1）设点C（x，y），
∵边AC的中点M在y轴上得=0，
∵边BC的中点N在x轴上得=0，
解得x=﹣5，y=﹣3．
故所求点C的坐标是（﹣5，﹣3）．
（2）点M的坐标是（0，﹣），
点N的坐标是（1，0），
直线MN的方程是=，
即5x﹣2y﹣5=0．
20．
【解析】当时，与重合，折痕所在直线方程为；
当时，点关于折痕对称点在上．
设点的坐标为，则，
直线的方程为，时满足，
综上所述：直线的方程为.
21．（1）；（2）.
【解析】（1）由题意，直线的斜率为3，
因为所求直线与该直线垂直，所以所求直线斜率为，
又直线过点，
由直线方程的点斜式方程可得，即.
（2）直线的斜率为，直线在y轴上的截距为，
由题意知，所求直线的斜率为，在轴上的截距为，
由直线方程的斜截式得，即.
22．＋＝1.
【解析】
设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
若满足条件(1)，则a＋b＋＝12，①
又∵直线过点P(，2)，∵＋＝1.②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得，或.
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
若满足条件(2)，则ab＝12，③
由题意得，＋＝1，④
由③④整理得a2－6a＋8＝0，
解得，或.
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.