专题3 用空间向量研究直线、平面的位置关系 专题集训-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
专题3
用空间向量研究直线、平面的位置关系
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．如图，在正方体ABCD?中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是
A．(1，－2，4)
B．(－4,1，－2)
C．(2，－2，1)
D．(1，2，－2)
2．若平面，则下面可以是这两个平面法向量的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．若不重合的直线的方向向量分别为，，则
A．∥
B．⊥
C．相交但不垂直
D．不能确定
5．若直线l过点A(-1，3，4)，B(1，2，1)，则直线l的一个方向向量可以是（
）
A．
B．
C．
D．
6．若两个向量,则平面的一个法向量为
A．
B．
C．
D．
7．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．设α，β是不重合的两个平面，α，β的法向量分别为，l和m是不重合的两条直线，l，m的方向向量分别为，那么αβ的一个充分条件是（
）
A．l?α，m?β，且
B．l?α，m?β，且
C．，且
D．，且
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则不可能使lα的是（
）
A．=(1，0，0)，=(-2，0，0)
B．=(1，3，5)，=(1，0，1)
C．=(0，2，1)，=(-1，0，-1)
D．=(1，-1，3)，=(0，3，1)
10．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（
）
A．
B．
C．是平面ABCD的一个法向量
D．
11．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是（
）
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（
）
A．和AC垂直
B．和AA1垂直
C．和MN垂直
D．与AC，MN都不垂直
三、填空题：本题共4小题
13．平面的法向量，平面的法向量，已知，则_____.
14．给出下列命题：①若为共面向量，则所在的直线平行；②若向量所在直线是异面直线，则一定不共面；③平面的法向量不唯一，但它们都是平行的；④平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量．其中正确命题的个数为________.
15．已知的三个顶点坐标分别为、、，平面的单位法向量为____.
16．已知直线
的方向向量为
，平面
的法向量为
，且
，则
________________．
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知正方体中，为棱上的动点．
（1）求证：；
（2）若平面平面，试确定点的位置．
18．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DA=2，DC=3，DD1=4，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点.求证：平面AMN∥平面EFBD.
19．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.求证：∥平面.
20．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，求平面的一个法向量.
已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点，点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内，且PM∥平面BB1D1D，试探讨点P的确切位置.
22．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.
参考答案
1．B
【解析】设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），
∴=（0，2，1），=（﹣1，0，2）
设向量=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量
则，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2
∴=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量
因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量
故选B．
2．D
【解析】因为平面，
所以两个平面的法向量应该平行，
只有D项符合.
故选：D.
3．D
4．A
【解析】解：因为，所以.又直线不重合，所以平行.
故选：.
5．D
【解析】，
故选：D.
6．A
【解析】设平面ABC的法向量为，
则，即，令，则，
即平面ABC的一个法向量为，故选A.
7．B
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设，则，
∵平行于平面，
∴，整理得，
∴线段长度，
当且仅当时，线段长度取最小值.
故选：B.
8．C
【解析】对于A，由线面垂直的性质可知，只要l?α，m?β，都有，并不能说明αβ，则A错误；
对于B，若l?α，m?β，且，则平面α，β平行或者相交，则B错误；
对于C，由，且可得，，则，则C正确；
对于D，若，且，则平面α，β平行或者相交，则D错误；
故选：C
9．ABC
【解析】若l∥α，则需，即，根据选择项验证可知：
A中，；
B中，；
C中，；
D中，；
综上所述，选项A，B，C符合题意
故选：ABC.
10．ABC
【解析】因为，所以，A正确；
因为，所以，B正确；
由,，可得是平面ABCD的一个法向量，C正确；
BD在平面ABCD内，可得，D错误．
故选：ABC．
11．ACD
【解析】依题意可知，所以四点共面.
因为，
，
所以，则，结合线面平行的判定定理可知ACD正确.
而与不平行，所以B不正确.
故选：ACD
12．AC
【解析】
以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2a，
则D(0，0，0)，D1(0，0，2a)，M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)，，
∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a，2a，0)，，
∴＝0，＝0，，
∴OM⊥AC，OM⊥MN．OM和AA1不垂直.
故选：AC．
13．
【解析】，则，设，则，解得，因此，.
故答案为：.
14．2
【解析】①若为共面向量，则所在的直线不一定平行，错误；②若向量所在直线是异面直线，则可以平移到一个平面内，错误；③同一平面的法向量不唯一，但它们都与平面垂直，所以平行，正确；④平行于一个平面的向量，与平面内的某一向量平行，所以垂直于这个平面的法向量，正确，所以正确命题的个数为2，故答案为2.
15．或
【解析】由题意可得，，
设平面的法向量为，由，得，
令，得，，可得，则.
所以，平面的单位法向量为或.
故答案为：或.
16．
【解析】
因为直线
的方向向量，平面
的法向量，
，所以，即，解得，故答案为.
17．（1）证明见解析；（2）E为CC1的中点．
18．证明见解析
【解析】证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，3，0)，M(1，0，4)，N，E，F(1，3，4).
∴，.
∴.∴MN∥EF，AM∥BF.
∴MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD.又MN∩AM=M，∴平面AMN∥平面EFBD.
19．证明见解析
【解析】证明：建立如图所示的空间直角坐标系.设，连接，
则点的坐标分别是，.所以.
又点的坐标分别是，，所以.
所以，且，所以.
又因为平面，平面，所以平面.
20．
【解析】解：如图所示建立空间直角坐标系.
依题意可得，，，，于是，
.设平面的法向量为，则，，于是
取，则，故平面的一个法向量为.
21．点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上.
【解析】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
根据题意可设A(a，0，0)，B(a，b，0)，D1(0，0，c)，P(0，y，z)，C(0，b，0)，则M.
又PM∥平面BB1D1D，根据空间向量基本定理知，必存在实数对(m，n)，使得=m+n，
即=(ma，mb，nc)，即解得
则点P的坐标为.
所以点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上.
22．证明见解析
【解析】证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，
∴=(1，0，1)，=(-1，1，0)，设=(a，b，c)，
则即取=(1，1，-1).
易知，
∴，
∴，
即PQ∥BD1.