专题1 空间向量及其运算 专题集训-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
专题1
空间向量及其运算
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．下列命题中，假命题是（
）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2．向量互为相反向量，已知＝3，则下列结论正确的是（
）
A．
B．为实数0
C．
与方向相同
D．＝3
3．如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量是直线的一个方向向量，则且是l⊥α的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．下列说法中正确的是（　　）
A．若=，则、的长度相等，方向相同或相反
B．若向量是向量的相反向量，则=
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形中，一定有
6．如图，在四棱柱的上底面中，，则下列向量相等的是（　　）
A．与
B．与
C．与
D．与
7．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（
）．
A．6
B．
C．3
D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．下列命题是真命题的是（
）
A．若，则的长度相等而方向相同或相反
B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C．若两个非零向量与满足，则
D．若空间向量，满足，且与同向，则
10．（多选题）已知平行六面体，则下列四式中其中正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（
）
A．平面平面
B．不是定值
C．三棱锥的体积为定值
D．
12．在四面体中，以上说法正确的有（
）
A．若，则可知
B．若为△的重心，则
C．若，，则
D．若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则
三、填空题：本题共4小题．
13．在正方体中，点是的中点，已知，，，用表示，则______.
14．已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则________.________.
15．设，是平面内不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则____.
16．平行六面体
中，已知底面四边形为正方形，且，其中，设
，，体对角线，则的值是______.
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1．
18．在空间四边形ABCD中，连结AC?BD，的重心为G，化简.
19．下面给出了两个空间向量，作出.
20．如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.
21．已知：m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n．求证：l⊥α
22．如图，已知、、、、、、、、为空间的个点，且，，，，，，.
求证：（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）；
（3）.
参考答案
1．D
【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.
B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.
C.零向量：模长为0的向量.真命题.
D.共线的单位向量是相等向量或相反向量.
假命题.
故选：D.
2．D
【解析】向量互为相反向量，
则模相等、方向相反.
.
故选：D.
3．C
【解析】解：因为，所以，
在平行六面体中，
，
故选：C
4．B
【解析】当不共线时，由且，可推出l⊥α；当为共线向量时，由且，不能够推出，所以且是l⊥α的不充分条件；
若，则一定有且，所以且是l⊥α的必要条件.
故选：.
5．B
【解析】对于A，向量的模相等指的是向量的长度相等，方向具有不确定性，因而不一定方向相同或相反，所以A错误；
对于B，相反向量指的是大小相等，方向相反的两个向量，因而相反向量满足模长相等，所以B正确；
对于C，空间向量减法结合律指的是，因而由运算可得空间向量减法不满足结合律，所以C错误；
对于D，满足的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D错误.
故选：B.
6．D
【解析】由
知四棱柱是平行六面体，所以每个面是平行四边形
对于A，与的方向相反，因而不是相等向量，所以A错误;
对于B，与的方向相反，因而不是相等向量，所以B错误;
对于C，与的方向成，不是相同方向，因而不是相等向量，所以C错误;
对于D，与的方向相同，大小相等，属于相等向量，因而D正确.
故选：D
7．C
【解析】空间的四点M、A、B、C四点共面，
只需满足，
且即可，
对于A，中，故此时四点M、A、B、C四点不共面；
对于B，中，此时四点M、A、B、C四点不共面；
对于C，，，
即，，此时四点M、A、B、C四点共面；
对于D，，则，，此时四点M、A、B、C四点不共面；
故选：C
8．B
【解析】∵，
∴
∴，即AC1的长为.
故选：B
9．BC
【解析】A.
若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；
B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则与第三个向量必然共面，则这三个向量一定共面，所以该选项正确；
C.
若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确；
D.
若空间向量，满足，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误.
故选：BC
10．ABC
【解析】作出平行六面体的直观图，如图知每个面都是平行四边形，
可得，则A正确；
，则B正确；
由平行六面体性质,则C正确；
，则D不正确.
故选：ABC.
11．ACD
【解析】A.因为是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正确；
B.
，故，故B不正确；
C.，的面积是定值，平面，点在线段上的动点，所以点到平面的距离是定值，所以是定值，故C正确；
D.，，，所以平面，平面，所以，故D正确.
故选：ACD
12．ABC
【解析】
对于
，，，
，
，即，故正确；
对于，为△的重心，则，,
即，故正确；
对于，若，，则，
,
,
,
，，故正确；
对于，
，故错误.
故选：ABC
13．
【解析】
又是的中点,
，，，
.
故答案为：.
14．3
【解析】
设，则由题意得：
，
故答案为：；.
15．
【解析】由题意，，
又，且A、B、D三点共线，
由共线向量定理得，存在实数使得成立，
即，
则，解得.
故答案为：.
16．
【解析】，
故,
，其中，设
，，
代入化简
，
解得或（舍去）
.
故答案为：
17．证明见解析.
【解析】∵
∴
，
∴，即AO⊥CD1.
18．
【解析】设E为BC的中点，则，又为的重心，则，所以
19．答案见解析
【解析】如图，空间中的两个向量相加时，
我们可以先把向量，
平移到同一个平面内，
以任意点O为起点作＝，＝，
则＝＋＝，
＝－＝.
20．答案见解析
21．证明见解析
【解析】设直线m的方向向量为，直线n的方向向量为，直线l的方向向量为，
∵m，n是平面α内的两条相交直线
∴与是平面α内的两个不共线向量，设平面α内的任一向量为，
由平面向量基本定理，存在唯一实数，使
又∵l⊥m，l⊥n，∴，
∴
∴
∴直线l垂直于平面α内的任意直线，
由线面垂直的定义得：l⊥α
22．详见解析
【解析】
证明：（1）∵，，∴A、B、C、D四点共面．
∵，，∴E、F、G、H四点共面．
（2），∴.
（3）.