专题2 空间向量及其运算的坐标表示 专题集训 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（word含答案解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
专题2
空间向量及其运算的坐标表示
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是
A．（2,1,3）
B．（﹣2,﹣1,3）
C．（2,1,﹣3）
D．（2,﹣1,﹣3）
2．已知点，向量，则点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
3．若向量，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．一束光线自点P（1，1，1）出发，被xOy平面反射到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光线所经过的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
5．下列向量中与向量=(0，1，0)平行的向量是（
）
A．=(1，0，0)
B．=(0，-1，0)
C．=(-1，-1，1)
D．=(0，0，-1)
6．已知点，，则，两点的距离的最小值为
A．
B．
C．
D．
7．已知向量.若，则x的值为（
）
A．
B．2
C．3
D．
8．在空间直角坐标系中，，为的中点，为空间一点且满足，若，，则（
）
A．9
B．7
C．5
D．3
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．对于任意非零向量，，以下说法错误的有
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则为单位向量
10．如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（
）
A．点的坐标为
B．点关于点对称的点为
C．点关于直线对称的点为
D．点关于平面对称的点为
11．已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(﹣2，1，4)，＝(1，﹣2，1)，＝(4，2，0)，则（
）
A．AP⊥AB
B．AP⊥?BP
C．BC＝
D．AP//?BC
12．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（
）
A．
B．
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
三、填空题：本题共4小题
13．若向量的坐标满足，，则等于_________.
14．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
15．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___.?
16．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则____，EF=____.
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．在直三棱柱ABO?A1B1
O1中，∠AOB＝
，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D
为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求
的坐标．
18．在中，，，.
（1）求顶点、的坐标；
（2）求；
（3）若点在上，且，求点的坐标.
19．已知，.
（1）若，分别求与的值；
（2）若，且与垂直，求.
20．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
（1）求证：EF⊥CF；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求CE的长.
21．已知在空间直角坐标系中，.
（1）求；
（2）若点M满足，求点M的坐标；
（3）若，求.
22．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是AA1，CB1的中点.
（1）求BM，BN的长.
（2）求△BMN的面积.
参考答案
1．B
【解析】在空间直角坐标系O﹣xyz中,
点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是（﹣2,﹣1,3）.
故选：B.
2．D
【解析】设点，则向量，
所以，
所以点.
故选：D
3．C
【解析】因为，所以.
故选：C
4．D
【解析】P关于xOy平面对称的点为P′（1，1，-1），则光线所经过的距离为
|P′Q|=.
故选:D
5．B
【解析】A.因为，故错误；
B.因为，故正确；
C.因为，故错误；
D.因为，故错误.
故选：B
6．C
【解析】因为点，
所以
有二次函数易知，当时，取得最小值为
的最小值为
故选：C.
7．A
【解析】，解得.
故选：A
8．D
【解析】设，，
，，，
由，
整理可得：，
由，得，
化简得，
以上方程组联立得，
则.
故选：D.
9．BD
【解析】对于A选项，因为，则，A选项正确；
对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；
对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.
故选：BD.
10．ACD
【解析】根据题意知：点的坐标为，选项A正确；
的坐标为，坐标为，
故点关于点对称的点为，选项B错误；
在长方体中，
所以四边形为正方形，与垂直且平分，
即点关于直线对称的点为，选项C正确；
点关于平面对称的点为，选项D正确；
故选：ACD.
11．AC
【解析】因为，故A正确；，，故B不正确；，，故C正确；，，各个对应分量的比例不同，故D不正确。故选:AC。
12．AB
【解析】由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正确；
∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；
∵AB⊥AA1，∴，故＝0，因此D不正确.
故选：AB.
13．
【解析】因为，，两式相加得，解得，，
所以.
故答案：.
14．
【解析】因为为坐标原点，
所以点，即
所以,所以.
故答案为：
15．
【解析】因为，所以向量的坐标为.
因为，
所以向量的坐标为.
因为，所以向量的坐标为.
故答案为：；；
16．
【解析】以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系
正方体棱长为1，则
.
故答案为：；
17．
【解析】
∵＝－(＋)＝＝－－－又||＝||＝4，||＝4，||＝2，
∴＝－－－
∵＝－＝－(＋)＝－－.
又||＝2，||＝4，||＝4，
∴＝－－(－4,2，－4)．
18．（1），；（2）；（3）.
【解析】（1）设点为坐标原点，，
则.
，则；
（2），则，
又，因此，；
（3）设点为坐标原点，，则，
则，
所以，点的坐标为.
19．（1），；（2）.
【解析】（1），设，得，
，解得，因此，，；
（2），，化简，得，解得.
因此，.
20．（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz
则
所以
（1）证明：因为，所以，即EF⊥CF.
（2）因为
.
（3）
21．（1），，；（2）；（3）16.
【解析】（1）因为，所以.
所以，又
所以，又
所以.
（2）由（1）知，
若设M(x，y，z)，则
于是，解得，故
（3）由（1）知，.
22．（1）BM的长为，BN的长为；（2）.
【解析】以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).
则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N.
（1）
，.
故BM的长为，BN的长为.
（2）
故.
即△BMN的面积为.