专题6 直线的交点坐标与距离公式 专题集训-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
专题6
直线的交点坐标与距离公式
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知的三个顶点分别是，，，M是边BC上的一点，且的面积等于面积的，那么线段AM的长等于．
A．5
B．
C．
D．
2．两条直线，之间的距离为（
）
A．
B．
C．
D．13
3．动点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值为
A．
B．
C．
D．2
4．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为
(　　)
A．2
B．1
C．
D．5
5．已知直线与互相垂直，垂足坐标为，则的值为（
）
A．-4
B．0
C．16
D．20
6．设两条直线的方程分别为,,已知是方程的两个实根,且,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为(
)
A．
B．
C．
D．
7．已知，且满足，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
8．直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　　)
A．－24
B．24
C．6
D．±6
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（
）
A．
B．
C．
D．
10．对于，下列说法正确的是（
）
A．可看作点与点的距离
B．可看作点与点的距离
C．可看作点与点的距离
D．可看作点与点的距离
11．已知三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则坐标(m，n)可能是（
）
A．(1，－3)
B．(3，-4)
C．(－3，1)
D．(－4，3)
12．等腰直角三角形中，，若点，的坐标分别为，，则点的坐标可能是　　.
A．(6，4)
B．(2，0)
C．(4，6)
D．(0，2)
三、填空题：本题共4小题
13．已知点M(5,3)和点N(－3,2)，若直线PM和PN的斜率分别为2和－，则点P的坐标为________．
14．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是_____
15．已知直线l：x＋y－2＝0，一束光线从点P(0，1＋)以120°的倾斜角投射到直线l上，经l反射，则反射光线所在的直线方程为________.
16．已知直线ax+by-2=0，且3a-4b=1，则该直线必过定点_____.
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．在中，边上的高所在的直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）求直线BC的方程；
（3）求点C的坐标．
18．已知两直线l1：x+8y+7=0和l2：2x+y–1=0．
（1）求l1与l2交点坐标；
（2）求过l1与l2交点且与直线x+y+1=0平行的直线方程．
19．求证：不论m为何值，直线都通过一定点.
20．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
21．直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A、B两点．若线段AB的中点为P，求直线l的方程．
22．如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
参考答案
1．A
【解析】由于的面积等于面积的，故，设，由得，解得，即，所以.故选A.
2．B
【解析】两条直线的方程分别为：，，
两条直线之间的距离，
故选：B.
3．B
【解析】由题|OP|的最小值即为，O点到直线的距离.
4．C
【解析】根据对称性知道点N(－1,2)，
由两点间距离公式得到|ON|＝
故选：C.
5．D
【解析】由两条直线互相垂直，得，，
又垂足坐标为
，都代入直线
即，得，
将代入直线，得，
故.
故选：
6．C
【解析】由已知得两条直线的距离是，
因为是方程的两个根，所以，
则，
因为，所以，即.
故选：C
7．C
【解析】为直线上的动点，为直线上的动点，
可理解为两动点间距离的最小值，
显然最小值即两平行线间的距离：.
故选C
8．A
【解析】
∵直线和直线的交点在轴上，可设交点坐标为
∴
∴
故选A
9．AB
【解析】由题意，，，所以，所以：，即，
由两平行直线间的距离公式得，解得或，
所以或.
故选：AB
10．BCD
【解析】由题意，可得，
可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确，
故答案为：BCD.
11．AB
【解析】由得，由三条直线相交于一点，可知m×1＋n×2＋5＝0，即，
对于A选项：，故A选项满足；
对于B选项：，故B选项满足；
对于C选项：，故C选项不满足；
对于D选项：，故D选项不满足，
故选：AB.
12．BC
【解析】解：设，则，
解得：或，
则点的坐标可能是(2，0)或(4，6).
故选：BC.
13．(1，－5)
【解析】
设P(x，y)，则有解得.
答案：(1，－5).
14．3x＋19y＝0.
【解析】联立方程，解得，
∴两直线的交点为（，），
∴直线的斜率为=﹣，
∴直线的方程为y=﹣x，即3x+19y=0
故答案为：3x＋19y＝0．
15．x＋y－(1＋)＝0
【解析】如图，设入射光线与交于点Q，反射光线与x轴交于点P′，
由入射光线倾斜角为120°可得入射光线所在直线的斜率为－，又入射光线过点P(0，1＋)，
∴入射光线所在的直线方程为，即x＋y－(1＋)＝0.
解方程组得，所以点Q的坐标为(1，1).
过点Q作垂直于的直线l′，则直线l′的方程为y＝x.
由反射原理知，点P(0，1＋)关于l′的对称点P′(＋1，0)必在反射光线所在的直线上.
所以反射光线所在直线的方程为，即x＋y－(1＋)＝0.
16．(6，-8)
【解析】由3a-4b=1，得b=，代入ax+by-2=0，得a(4x+3y)=y+8，
令解得，所以该直线过定点(6，-8).
故答案为：(6，-8).
17．（1）（2）（3）
【解析】（1）直线和直线的交点得，即的坐标为，
（2）∵直线为边上的高，由垂直得，
，
所以直线BC的方程为
（3）∵的平分线所在直线的方程为，A(-1,0),B（1，2），,设的坐标为，则，
解得
，即的坐标为．
18．（1）（1，–1）；（2）x+y=0．
【解析】（1）联立两条直线的方程可得：，解得，
所以l1与l2交点坐标是（1，–1）．
（2）设与直线x+y+1=0平行的直线l方程为x+y+c=0，
因为直线l过l1与l2交点（1，–1），
所以c=0，
所以直线l的方程为x+y=0．
19．证明见解析.
【解析】证明：将原方程按m的降幂排列，整理得，
此式对于m的任意实数值都成立，
根据恒等式的要求，m的一次项系数与常数项均等于零，
故有解得
所以m为任意实数时，所给直线必通过定点.
20．（1）
（2）
【解析】解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0．
∴＝3．
即2λ2－5λ＋2＝0，
∴λ＝2或．
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0．
(2)由
解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
∴dmax＝|PA|＝．
21．x＋4y－4＝0
【解析】
解法一：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(－x0，2－y0)，∵A在l1上，B在l2上，∴?∴kAP＝，
故所求直线l的方程为y＝x＋1，即x＋4y－4＝0.
解法二：设所求直线l方程为y＝kx＋1，
由方程组，
由方程组，
∵A、B的中点为P(0,1)，∴，∴k＝.
故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
解法三：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，P(0,1)为MN的中点，则有
?代入l2的方程，得2(－x1)＋2－y1－8＝0，即2x1＋y1＋6＝0.由方程组解得由两点式可得所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
解法四：同解法一，设A(x0，y0)，两式相减得x0＋4y0－4＝0，(1)
考察直线x＋4y－4＝0，一方面由(1)知A(x0，y0)在该直线上；另一方面P(0,1)也在该直线上，从而直线x＋4y－4＝0过点P、A．根据两点决定一条直线知，所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
考点：直线相交，直线方程.
22．（1）15（百米）；
（2）见解析；
（3）17+（百米）.
【解析】解法一：
（1）过A作，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.
因为PB⊥AB，
所以.
所以.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知，
从而，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，，
此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.
解法二：
（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，?3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（?4，?3），直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，
直线PB的方程为.
所以P（?13，9），.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（?4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3），
所以线段AD：.
在线段AD上取点M（3，），因为，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，，此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.
当QA=15时，设Q（a，9），由，
得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（?13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.