专题8 直线与圆、圆与圆的位置关系 专题集训-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
专题8
直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．两圆与的公切线有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
2．已知圆，圆，则两圆的位置关系是
A．相交
B．内切
C．外切
D．外离
3．直线与圆相切，则实数等于（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
4．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数
A．-2
B．-4
C．-6
D．-8
5．若直线与圆有两个不同的公共点，那么点与圆的位置关系是（
）．
A．点在圆外
B．点在圆内
C．点在圆上
D．不能确定
6．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为
A．7
B．6
C．5
D．4
7．点在直线上,
，与圆分别相切于A，B两点，
O为坐标原点，则四边形PAOB面积的最小值为
（
）
A．24
B．16
C．8
D．4
8．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．（多选题）若过点A(3，0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率可能是（
）
A．-1
B．-
C．
D．
10．（多选题）若圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0没有公共点，则实数k的取值可能是（
）
A．-16
B．-9
C．11
D．12
11．圆和圆的交点为A，B，则有（
）
A．公共弦AB所在直线方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（
）
A．圆M上点到直线的最小距离为2
B．圆M上点到直线的最大距离为3
C．若点（x，y）在圆M上，则的最小值是
D．圆与圆M有公共点，则a的取值范围是
三、填空题：本题共4小题
13．过点引圆的切线，则切线长为________．
14．若点在圆上，点在圆，则的最小值为_____
.
15．圆的半径为______．若直线与圆交于两点,则的取值范围是______．
16．已知，则直线过定点__________；若直线与圆恒有公共点，则半径r的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆经过、、三点.
（1）求圆的方程；
（2）若圆区域内有未知暗礁，现有一船D在岛的南偏西30°方向距岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
18．已知两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0，C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k<50).当两圆有如下位置关系时:（1）外切；（2）内切；（3）相交；（4）内含；（5）外离.试确定上述条件下k的取值范围.
19．已知圆，直线．
（1）判断直线与圆C的位置关系；
（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120°，求弦AB的长．
20．已知线段AB的端点B的坐标是（4，2），端点A在圆C：（x+2）2+y2＝16上运动．
（1）求线段AB的中点的轨迹方程H．
（2）判断（1）中轨迹H与圆C的位置关系．
21．已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x+m=0．
（1）若圆C1与圆C2外切，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，若直线x+2y+n=0与圆C2的相交弦长为2，求实数n的值．
22．在平面直角坐标中，圆与圆相交与两点．
（I）求线段的长．
（II）记圆与轴正半轴交于点，点在圆C上滑动，求面积最大时的直线的方程．
参考答案
1．C
【解析】由题意，得两圆的标准方程分别为和，则两圆的圆心距，即两圆外切，所以两圆有3条公切线；故选C．
2．D
【解析】将两圆方程分别化为标准式得到圆
;圆
,
则圆心
,半径
,
两圆的圆心距
,
则圆心距大于半径之和,
故两圆相离.因此，本题正确答案是:D.
3．C
【解析】圆的方程即为（
，圆心
到直线的距离等于半径
或者
故选C．
4．B
【解析】由题意：圆心，，
设圆心到直线的距离为，
∴，
∵，
∴，
∴．
5．A
【解析】解：因为直线与圆有两个公共点，
所以有，
即，
因为点与的圆心的距离为，圆的半径为2，
所以点在圆外.
故选:A．
6．B
【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.
7．C
【解析】圆的圆心坐标为，半径为．
的最小值为点P到直线的距离，
此时切线，的长度取得最小值，最小值为．
所以四边形PAOB面积的最小值为．
故选C．
点睛：解决圆的有关切线的问题，一要注意圆心到切线的距离等于半径，二要注意圆心与切点的连线与切线垂直，三要注意圆心、切点、圆外一点构成三角形为直角三角形，利用此直角三角形的三边长关系可以求切线长．求圆的切线长的最值，应转化为求圆心到圆外一点的距离的最值．本题考查学生的识图能力、运算能力、转化能力．
8．A
【解析】直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
9．BC
【解析】由题意知直线l的斜率必存在，设为k，则l的方程为y=k(x-3)，即kx-y-3k=0，
圆心C(1，0)，半径r=1.直线与圆有公共点，需≤1，所以|2k|≤，得k2≤，
所以-≤k≤，对照选项知B，C适合.
故选:BC.
10．AD
【解析】圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0化为标准式：(x-3)2+(y-4)2=25+k，
则k>-25，圆心坐标为(3，4)，半径为；
圆C1:x2+y2=1的圆心坐标为(0，0)，半径为1.
要使圆C1和圆C2没有公共点，则两圆位置关系为相离或内含，
即圆心距|C1C2|>+1或|C1C2|<-1，即5>+1或5<-1，解得-2511.
所以实数k的取值范围是，满足这一范围的有A和D.
故选：AD.
11．ABD
【解析】对于A，由圆与圆的交点为A，B，
两式作差可得，
即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；
对于B，圆的圆心为，，
则线段AB中垂线斜率为，
即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；
对于C，圆，圆心到的距离为
，半径
所以，故C不正确；
对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为
，半径，即P到直线AB距离的最大值为，
故D正确.
故选：ABD
12．ACD
【解析】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，
由点B(－1,3)，点C(4,－2)可得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率，
所以线段BC的垂直平分线的斜率，
所以线段BC的垂直平分线的方程为即，
又圆M：的圆心为，半径为，
所以点到直线的距离为，
所以圆M：，
对于A、B，圆M的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故A正确，B错误；
对于C，令即，当直线与圆M相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故C正确；
对于D，圆圆心为，半径为，若该圆与圆M有公共点，则即，解得，故D正确.
故选：ACD.
13．4.
【解析】由圆的标准方程，
得到圆心坐标，半径，
又点与的距离，
由直线为圆的切线，得到为直角三角形，
根据勾股定理得：．
则切线长为．
故答案为：4．
14．2
【解析】由题意可知，圆的圆心坐标为，半径，
圆的圆心坐标为，半径.
由，两圆的位置关系是外离.
又点在圆上，点在圆上，则的最小值为
故答案为：2
15．2
【解析】,所以圆心坐标为：,圆的半径为2.因为直线与圆交于两点,所以有
.
故答案为：2；
16．
【解析】解：将直线化简为点斜式，可得，
直线经过定点，且斜率为．
即直线过定点恒过定点．
和圆恒有公共点，
，即半径的最小值是1，
故答案为：；．
17．（1）（2）该船有触礁的危险
【解析】解：（1）如图所示，、，
设过、、三点的圆的方程为，
得：，
解得，，，
故所以圆的方程为，
圆心为，半径，
（2）该船初始位置为点，则，
且该船航线所在直线的斜率为1，
故该船航行方向为直线：，
由于圆心到直线的距离，
故该船有触礁的危险.
18．（1）k=34；（2）k=14；（3）1434.
【解析】将两圆的方程化为标准方程:C1:(x+2)2+(y-3)2=1；C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k，
则圆C1的圆心坐标C1(-2，3)，半径r1=1，
圆C2的圆心坐标C2(1，7)，半径r2=，
则两圆的圆心距d==5.
(1)当两圆外切时，d=r1+r2，即1+=5，解得k=34；
(2)当两圆内切时，d=|r1-r2|，即|1-|=5，解得k=14；
(3)当两圆相交时，|r1-r2|(4)当两圆内含时，d<|r1-r2|，即|1-|>5，解得k<14；
(5)当两圆外离时，d>r1+r2，即1+<5，解得k>34.
19．(1)直线l与圆C必相交
(2)．
【解析】(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1，1)，
又＝1<，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．
(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，又k＝tan
120°＝－，即m＝－．
此时，圆心C(0，1)到直线l：
x＋y－－1＝0的距离d＝＝，
又圆C的半径r＝，所以|AB|＝2＝2＝．
20．（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4．
（2）两个圆相交
【解析】（1）设,中点,则,
∴,代入圆C：（x+2）2+y2＝16,
可得圆H：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4
（2）由题,圆心C为（﹣2，0）,半径,
由（1）圆心H为（1，1），半径,
则圆心距为,
∵,
∴两个圆相交
21．（1）5；（2）n=﹣3或n=﹣3．
【解析】（1）由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
圆的圆心坐标为，半径为，
因为圆与相外切，所以，即，解得.
（2）由（1）得，圆的方程为，可得圆心，半径为,
由题意可得圆心到直线的距离，
又由圆的弦长公式，可得，即，
解得，或.
22．（I）；（II）或．
【解析】（I）由圆O与圆C方程相减可知，相交弦PQ的方程为．
点（0，0）到直线PQ的距离，
（Ⅱ），.
当时，取得最大值．
此时，又则直线NC为．
由，或
当点时，，此时MN的方程为．
当点时，，此时MN的方程为．
∴MN的方程为或．