专题4 直线的倾斜角和斜率 专题集训-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
专题4
直线的倾斜角和斜率
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知直线斜率的绝对值等于1，则此直线的倾斜角
A．
B．
C．
D．或135°
2．若图中的直线、、的斜率分别为、、则（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知直线，则直线的倾斜角为（
）
A．
B．
C．
D．
4．在平面直角坐标系中,一条直线的斜率等于,则此直线的倾斜角等于（
）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
5．若过点P(3,2m)和点Q(,2)的直线与过点M(2,)和点N(,4)的直线平行，则m的值是（
）
A．
B．
C．2
D．－2
6．如果过P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为1，那么m的值是（
）
A．1
B．4
C．1或3
D．1或4
7．l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是(　　)
A．0°≤α<90°
B．90°≤α<180°
C．90°<α<180°
D．0°<α<180°
8．过点的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（
）．
A．
B．
C．或
D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．(多选)若过点(1,a)，(0,0)的直线l1与过点(a,3)，(-1,1)的直线l2平行，则a的取值可以为（
）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
10．(多选)下列直线l1与直线l2平行的有（
）
A．直线l1经过点A(2，1)，B(-3，5)，直线l2过点C(3，-3)，D(8，-7)
B．直线l1经过点A(0，1)，B(-2，-1)，直线l2过点C(3，4)，D(5，2)
C．直线l1经过点A(1，)，B(2，2)，直线l2的倾斜角为60°且过原点
D．直线l1经过点A(0，2)，B(0，1)，直线l2的斜率为0
11．在下列四个命题中，错误的有（
）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
12．下列说法中正确的是
A．若是直线的倾斜角，则
B．若是直线的斜率，则
C．任意一条直线都有斜率，
但不一定有倾斜角
D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
三、填空题：本题共4小题
13．经过作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率和倾斜角的取值范围分别为________；________．
14．直线的一个方向向量，则直线的倾斜角是_______，直线的斜率是______.
15．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________.
16．光线从点A(-2，)射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，2)，则光线BC所在直线的倾斜角为_____.
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率.
18．如图所示，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥l2，求直线l1，l2的斜率．
直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，求直线的斜率和倾斜角的取值范围.
20．已知直线过点，.
（1）当为何值时，直线的斜率是？
（2）当为何值时，直线的倾斜角为？
21．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．
22．光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4,3)，试求点Q的坐标及入射光线的斜率．
参考答案
1．D
【解析】，
当斜率为1时，直线的倾斜角为；当斜率为时，直线的倾斜角为135°.
故选：D
2．A
【解析】由于直线的倾斜角为钝角，所以；
由于直线的倾斜角为锐角，且的倾斜角小于的倾斜角，所以，
所以.
故选：A.
3．B
【解析】根据题意，直线是与轴垂直的直线，其倾斜角为.
故选：B.
4．B
【解析】设此直线的倾斜角为θ,θ∈[0°,180°）,
∵tanθ,
∴θ＝60°.
故选：B.
5．B
【解析】由，即，得.
经检验知，符合题意.
故选：B.
6．A
【解析】由题意，过过P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为1，
根据直线的斜率公式，可得，解得.
故选：A.
7．C
【解析】由题意，可得直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的范围是90°180°，故选C.
8．D
【解析】当时，直线的倾斜角为，满足题意；
当时，直线的斜率为或，
所以或，
所以或.
综合得实数的取值范围是.
故选：D.
9．AC
【解析】若直线l1与l2平行，则，即a(a+1)=2，故a=
-2或a
=1.
当时，，，符合题设；
当时，，，符合题设；
故选：AC.
10．AC
【解析】A选项中，，且两直线不重合，故l1l2；
B选项中，，∵∴两直线不平行；
C选项中，，且两直线不重合，故l1l2；
D选项中，l1斜率不存在，l2的斜率为0，∴两直线不平行.
故选：AC
11．ACD
【解析】对于A，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，A错误
对于B，直线倾斜角的取值范围是，B正确
对于C，一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为，
如的斜率为，它的倾斜角为，C错误
对于D，一条直线的倾斜角为时,它的斜率为或不存在，D错误
故选：ACD
12．BD
【解析】对A，若是直线的倾斜角，则，故A错误；
对B，根据，即正切函数的值域为实数，故B正确；
对C，因为倾斜角为时没有斜率，故C错误；
对D，由倾斜角的定义可得任意一条直线都有倾斜角，由直线的斜率定义可得，倾斜角为的直线，没有斜率，故D正确；
故选：BD.
13．
【解析】由斜率公式可得，,,故直线的斜率的取值范围为，
由斜率与倾斜角的公式可得，直线的倾斜角为
，直线的倾斜角为，
故直线的倾斜角的取值范围为.
故答案为：；
14．
【解析】由，设，则，
由向量是直线的一个方向向量，
则也为直线的一个方向向量.
则直线的斜率为，所以倾斜角为，
故答案为：，.
15．
【解析】如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
∴直线l1的斜率k1＝tan
60°＝.
由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝.
∴直线AB的斜率存在，且kAB＝.
∴＝＝－，
解得m＝4＋.
故答案为：4＋
16．60°.
【解析】点A(-2，)关于x轴的对称点为A'(-2，-)，由物理知识知kBC=kA'C=，所以所求倾斜角为60°.
故答案为：60°.
17．见解析
【解析】因为OD∥BC，∠BOD=60°，
所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率都是tan60°=；
又因为DC∥OB，
所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率也都为0；
由菱形的性质可得∠COB=30°，∠OBD=60°，
所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC=tan30°=，
直线BD的倾斜角为∠DBx=180°-60°=120°，斜率．
18．直线l1，l2的斜率分别为，
【解析】l1的斜率
的倾斜角α2=90°+30°=120°
的斜率
19．斜率的范围：；倾斜角的范围：.
【解析】如图所示.
∵，，
又直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，
所以由图像可得：，
因此倾斜角的范围为：.
20．（1）m=；（2）m=1.
【解析】（1）由题意，，解得；
（2）若直线的倾斜角为，则平行于轴，所以，得.
21．（1）存在，；（2）存在；（3）不存在，
【解析】试题分析：(1)根据直线上两点坐标求斜率，可得，结合，可得结果；(2)
根据直线上两点坐标求斜率，可得，结合，可得结果；（3）根据直线上两点横坐标相等可知直线的斜率不存在，倾斜角.
试题解析：(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)
存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
22．Q坐标为,
斜率为
【解析】解：方法一　设Q(0，y)，则由题意得kQA＝－kQB.
∵kQA＝，kQB＝，∴.
解得y＝，即点Q的坐标为，
∴入射光线AQ的斜率kQA＝.
方法二　如图，点B(4,3)关于y轴的对称点为B′(－4,3)，
kAB′＝，
由题意得，A、Q、B′三点共线．
从而入射光线的斜率为kAQ＝kAB′＝.
设Q(0，y)，则入射光线AQ的斜率kQA＝.
解得y＝，即点Q的坐标为.
故答案为Q坐标为,
斜率为