课时训练1.1集合的含义及其表示（答案）
1.下列各组对象不能形成集合的是__________.
⑴大于6的所有整数； ⑵高中数学的所有难题；
⑶被3除余2的所有整数 ； ⑷函数y＝图象上所有的点.
解：综观⑴⑶⑷的对象是确定的，惟有⑵中的对象不确定，故不能形成集合的是⑵.
2.下列条件能形成集合的是______________.
⑴充分小的负数全体； ⑵爱好飞机的一些人；
⑶某班本学期视力较差的同学； ⑷某校某班某一天所有课程.
解：综观⑴⑵⑶的对象不确定，惟有⑷某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是⑷.
3.方程组的解集用列举法表示为_____________；用描述法表示为_______.
解：因的解集为方程组的解.
解该方程组x＝，y＝－
则用列举法表示为{（，－）}；用描述法表示为｛（x，y）|}
4.{(x，y)｜x＋y＝6，x，y∈N}用列举法表示为__________.
解：因x＋y＝6，x，y∈N的解有：
故列举法表示该集合，就是{(0，6),(1，5),(2，4),(3，3),(4，2),(5，1),(6，0)}
5.已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，则B＝___________.
解：∵y∈A ∴y＝－2，－1，0，1
此时｜y｜＝0，1，2，则有B＝{0，1，2}.
6.用列举法表示下列集合：
⑴x2－4的一次因式组成的集合. ⑵{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}.
⑶方程x2＋6x＋9＝0的解集. ⑷{20以内的质数}.
⑸{（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}. ⑹{大于0小于3的整数}.
⑺{x∈R｜x2＋5x－14＝0}.
⑻{（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}.
⑼{（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}.
分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内.
解：⑴因x2－4＝（x－2）（x＋2），故符合题意的集合为{x－2，x＋2}.
⑵y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0，1，2，3，4.
故{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}＝{0，1，2，3，4}.
⑶由x2＋6x＋9＝0得 x1＝x2＝－3 ∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}.
⑷{20以内的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}.
⑸因x∈Z , y∈Z ，则x＝－1，0，1时，y＝0，1，－1.
那么{(x，y)｜x2＋y2＝1，x∈Z ,y∈Z}＝{（－1，0），（0，1），（0，－1），（1，0）}.
⑹{大于0小于3的整数}＝{1，2}.
⑺因x2＋5x－14＝0的解为x1＝－7，x2＝2，则{x∈R｜x2＋5x－14＝0}＝{－7，2}.
⑻当x∈N且1≤x＜4时，x＝1，2，3，此时y＝2x，即y＝2，4，6.
那么{（x，y）｜x∈N且1≤x＜4，y－2x＝0}＝{（1，2），（2，4），（3，6）}.
⑼{（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}＝{（0，6）（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}.
7.用描述法表示下列集合：
⑴方程2x＋y＝5的解集. ⑵小于10的所有非负整数的集合.
⑶方程ax＋by＝0（ab≠0）的解. ⑷数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.
⑸平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.
⑹方程组的解的集合. ⑺{1， 3，5，7，…}.
⑻x轴上所有点的集合. ⑼非负偶数.
⑽能被3整除的整数.
分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素，公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质.
解：(1){（x，y）｜2x＋y＝5}.
(2)小于10的所有非负整数的集合用描述法表示为{x｜0≤x＜10，x∈Z}.
(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解用描述法表示为{（x，y）｜ax＋by＝0（ab≠0）}.
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合用描述法表示为{x｜x＞3}.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为{（x，y）｜xy＜0}.
(6)方程组的解的集合用描述法表示为{（x，y）｜}.
(7){1，3，5，7，…}用描述法表示为{x｜x＝2k－1，k∈N*}.
(8)x轴上所有点的集合用描述法表示为{（x，y）｜x∈R，y＝0}.
(9)非负偶数用描述法表示为{x｜x＝2k，k∈N}.
(10)能被3整除的整数用描述法表示为{x｜x＝3k，k∈Z}.
8.方程 ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，则a＝_______，c＝_______.
解：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，那么、是方程两根
即有 eq \b\lc\{(\a\al(＋＝－,·＝)) 得 那么 a＝－6，c＝－1
9.集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中的元素至多有一个，求k值的范围.
解：由题A中元素即方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的根
若k＝0，则x＝，知A中有一个元素，符合题设
若k≠0，则方程为一元二次方程.
当Δ＝9－8k＝0即k＝时，kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素.又当9－8k＜0即k＞时,kx2－3x＋2＝0无解.
此时A中无任何元素，即A＝也符合条件
综上所述 k＝0或k≥
评述：解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况. 10.若x∈R，则{3，x，x2－2x}中的元素x应满足什么条件
解：集合元素的特征说明{3，x，x2－2x}中元素应满足关系式
即 也就是
即x≠－1，0，3满足条件.
11.已知x2∈{1,0,x}，求实数x的值.
解：∵x2∈{1,0,x}，∴x2＝1或x2＝0或x2＝x，解得x＝±1或x＝0，
经检验x＝－1.
*12.集合A的元素是由x＝a＋b（a∈Z,b∈Z）组成，判断下列元素x与集合A之间的关系：0，，.
解：因x＝a＋b，a∈Z ,b∈Z
则当a＝b＝0时，x＝0
又＝＋1＝1＋
当a＝b＝1时，x＝1＋
又＝＋
当a＝，b＝1时，a＋b＝＋
而此时Z，故有：A，
故0∈A，∈A，A.
*13.设集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A、B和C的关系.
解：因A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，则集合A由偶数构成，集合B由奇数构成.
即a是偶数，b是奇数 设a＝2m，b＝2n＋1（m∈Z ,n∈Z）
则a＋b＝2（m＋n）＋1是奇数，那么a＋bA，a＋b∈B
又C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}是由部分奇数构成且x＝4k＋1＝2·2k＋1
故m＋n是偶数时，a＋b∈C；m＋n不是偶数时，a＋bC.
综上a＋bA，a＋b∈B，a＋bC.课时训练1.1集合的含义及其表示（答案）
1.下列各组对象不能形成集合的是__________.
⑴大于6的所有整数； ⑵高中数学的所有难题；
⑶被3除余2的所有整数 ； ⑷函数y＝图象上所有的点.
2.下列条件能形成集合的是______________.
⑴充分小的负数全体； ⑵爱好飞机的一些人；
⑶某班本学期视力较差的同学； ⑷某校某班某一天所有课程.
3.方程组的解集用列举法表示为_____________；用描述法表示为____________.
4.{(x，y)｜x＋y＝6，x，y∈N}用列举法表示为_____________________________________.
5.已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，则B＝___________.
6.用列举法表示下列集合：
⑴x2－4的一次因式组成的集合. ____________________________________________
⑵{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}. ____________________________________________
⑶方程x2＋6x＋9＝0的解集. ____________________________________________
⑷{20以内的质数}. ____________________________________________
⑸{（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}. ____________________________________________
⑹{大于0小于3的整数}. ____________________________________________
⑺{x∈R｜x2＋5x－14＝0}. ____________________________________________
⑻{（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}.____________________________________________
⑼{（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}. ____________________________________________
7.用描述法表示下列集合：
⑴方程2x＋y＝5的解集. ____________________________________________
⑵小于10的所有非负整数的集合. ____________________________________________
⑶方程ax＋by＝0（ab≠0）的解. ____________________________________________
⑷数轴上离开原点的距离大于3的点的集合. ____________________________________________
⑸平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合. ____________________________________________
⑹方程组的解的集合. ____________________________________________
⑺{1，3，5，7，…}. ____________________________________________
⑻x轴上所有点的集合. ____________________________________________
⑼非负偶数. ___________________________________________
⑽能被3整除的整数. ____________________________________________
8.方程 ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，则a＝_______，c＝_______.
9.集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中的元素至多有一个，求k值的范围.
10.若x∈R，则{3，x，x2－2x}中的元素x应满足什么条件
11.已知x2∈{1,0,x}，求实数x的值.
*12.集合A的元素是由x＝a＋b（a∈Z,b∈Z）组成，判断下列元素x与集合A之间的关系：0，，.
*13.设集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A、B和C的关系.(共20张PPT)
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
目录及提示：点选左侧选项进入相应环节.
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
一 学习目标
通过实例了解集合的含义;体会集合元素与集合之间的“属于”关系.
通过实例理解集合元素的性质并且熟练判断集合与集合的元素.
能够利用自然语言描述不同的具体问题.
体会数学语言严谨性和逻辑性,要逐渐养成严密的思维习惯.
返回
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
二 知识铺垫
根据课本上所列举的小学和初中学习到的集合,你能不能列举出一些例子
把这些例子写下来,然后看课本上所给的8个例子.
大家能不能概括一下它们的共同点
它们的元素都是确定的；
它们的元素都是互不相同的
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一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
三 知识引入
一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体称为集合(set)(简称为集).
集合的元素满足以下要求：
确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中是确定的.
互异性：集合中的元素是不重复出现的.
无序性：集合中的元素排列是没有顺序的.
集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
练习一下
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
三 知识引入
我们通常用大写拉丁字母A，B，C，······表示集合，用小写的拉丁字母a，b，c······表示集合中的元素.
如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A记作 ；如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A记作 .
常用数集的记法：
非负整数集(自然数集)：_____
正整数集：________
整数集：______
有理数集：_______
实数集：______
N
N*或N+
Z
Q
R
练习一下
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
四 知识创新
集合元素的个数：
课本所列举的8个实例表示的集合中各有多少元素？
2、3、5、7、11、13、17、19共8个；
不清楚(但是可以通过各种途径知道)；
不清楚(但是可以通过各种途径知道)；
不清楚(但是可以通过各种途径知道)；
无数个；
无数个；
两个；
不清楚(但是可以通过各种途径知道)；
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
四 知识创新
通过上面的分析，我们可以知道：例1至例4、例7所列举的元素组成的集合元素个数是有限的；而例5、例6、例8所列举的元素组成的集合元素个数是无限的.
我们把含有有限个个数的集合叫做有限集，用card来表示有限集中元素的个数.含有无限个个数的集合叫做无限集.
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一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
五 知识强化
练习1 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
大于3小于11的偶数；
我国的小河流；
高个的人；
我们班的全体男生；
我们班全体男生的名字；
我们本学期开设的课程.
对于上面能够组成集合的情况，你能不能说出这些集合的元素是什么？
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一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
五 知识强化
练习2 用合适的符号填空：
1__N 1__Z 1__Q 1__R
-1__N -1__Z -1__Q -1__R
0.5__N 0.5__Z 0.5__Q 0.5__R
π __N π__Z π__Q π__R
练习3 用合适的符号填空：
若A={x|x2=x}，则-1__A；
若B={x|x2+x-6=0}，则3___B；
若C={x∈N|1≤x≤10}，则8___C，9.1___C.
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一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
六 知识总结
集合是一个原始的、不定义的概念.我们在理解和使用集合的概念时，主要通过实际例子理解集合的含义.从而可以加深对集合中元素特点的理解，体会集合与元素的关系.我们在以后的学习中要不断有意识的利用集合语言来描述问题和解决问题，这对我们学习以后的知识有着不可估量的促进作用.
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
一 学习目标
初步掌握用列举法和描述法表示集合的基本方式和一般规则.
能够根据实际问题选择合适的方法来表示集合.
能够在理解问题数学本质的基础上把数学语言准确的转化成自然语言.
体会数学语言严谨性和逻辑性,要逐渐养成严密的思维习惯.
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
二 知识铺垫
简要回顾一下上节课所学内容：集合、元素与集合的关系.
练习 判断一下元素的全体能否组成集合？
地球上的四大洋；
方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根；
小于10的正偶数；
不等式x-7＜3的所有的解.
根据集合元素的特点，可以判断出以上四例都可以组成集合，我们除了用自然语言表示集合外还可以用数学语言来表示集合.
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
三 知识引入
练习一下
我们可以把“地球上的四大洋”组成的集合表示为“
{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，把“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合表示为{1，-2}；把“小于10的正偶数”组成的集合表示为{2，4，6，8}.
象这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
既然是“一一列举”那么能不能用列举法表示元素无限多的集合，即无限集呢？
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
三 知识引入
我们不能用列举法来表示不等式x-7＜3的解集，因为这个集合的元素是列举不完的.但是我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述.
用集合所含元素的共同特征表示集合 的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
1
2
3
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
四 知识创新
练习一下
例1 用描述法表示不等式x-7＜3的解集.
{
}
解：
x∈R
x-7＜3
或
{
}
x∈R
x＜10
例2 判断下列各组集合是不是相同.
{x∈R|x-7＜3}与{x∈N|x＜10}；
{x∈N|x-7＜3}与{x∈N*|x＜10}.
注意：在用描述法表示集合或理解描述法所表示的集合时，一定要注意代表元素的特征.
竖线前面的这部分,可以称为代表元素
一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
五 知识强化
练习1 用列举法表示下列给定的集合：
大于1且小于6的整数；
方程x2-9=0的实数根；
小于8的所有质数；
一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点.
答案：
{2，3，4，5}；
{-3，3}；
{2，3，5，7}；
{(1,4)}.
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一 学习目标
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三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
五 知识强化
x
练习2 试选择适当的方法表示下列集合：
二元二次方程组{ 的解集；
二次函数y=x2-4的因变量组成的集合；
反比例函数y= — 的自变量组成的集合；
不等式3 x≥4-x的解集.
y=x
y=x2
1
{(0,0),(1,1)}
{y|y≥-4}
{x|x≠0}
{x|x≥1}
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一 学习目标
二 知识铺垫
三 知识引入
四 知识创新
五 知识强化
六 知识总结
六 知识总结
本节我们进一步学习了集合的表示方法——列举法和描述法，在解决实际问题时我们应学会选择合适的方法来恰当的表示集合；在利用描述法表示集合时要特别注意竖线前面的 代表元素的选择，在分析集合问题时也要注意实际问题中代表元素的特殊形式，从而提高我们解决实际问题的能力.
作业:课本第13页1,2题.课题：集合的概念（二）
教学过程
Ⅰ 复习回顾
集合元素的特征有哪些？怎样理解？试举例说明？
集合与元素关系是什么？如何表示？.
常用数集的专用符号
Ⅱ 新课讲授
集合的表示方法.
通过学习提纲，师生共同归纳集合表示方法，常用表示方法有：
⑴列举法：把集合中元素一一列举出来的方法,置于“{ }”内，如{北京，天津，上海，重庆}， {b,o,k}用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关。
⑵描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，
写成的形式；
如：，
方法：
例：由方程x2–1=0的所有解组成的集合可以表示为{-1，1}，不等式x -3>2的解集可以表示为{x| x -3>2}.
请用列举法表示下列集合
⑴小于5的正奇数
⑵能补3整除且大于4小于15的自然数
⑶方程x2–9=0的解的集合
⑷{15以内的质数}
⑸
⑴满足条件的集合为{1，3}
⑵满足条件的集合为{6，9，12}
⑶满足条件的集合为{-3，3}
⑷满足条件的集合为{2，3，5，7，11， 13}
⑸满足条件的集合为{2，4，1，5，0，6，-3，9}
通过上述题目求解，可以看到问题求解的关键应是什么？
依题意找出集合中的所有元素是问题解决的关键所在.
用列举法表示集合时，要注意元素不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内.
例1：求不等式2x-3>5的解集。
解：略
思考：{x}，{x,y}，{(x,y)}的含义是否相同.
{x}表示单元素集合；
{x,y}表示两个元素集合；
{(x,y)}表示含一点集合.
集合的表示除了列举法和描述法外，还有文恩图（文氏图）叙述如下：
画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，如图：
表示任意一个集合A
表示{3，9，27}
表示{4，6，10}
边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素。
2、 ( http: / / www. )集合的分类
⑴有限集——含有有限个元素的集合.
⑵无限集——含有无限个元素的集合.
表示空集，既不含任何元素的集合.
例2、求方程
Ⅲ 课堂练习：用列举法表示下列集合
（1）；
（2）；
（3）“mathematics”中字母构成的集合。
2、用描述法分别表示：
1、抛物线x 2= y上的点.
2、平面直角坐标系中第Ⅰ、Ⅱ象限点的集合.
1、满足条件的集合为{(x,y)| x 2= y}
2、满足条件的集合为{(x,y)|x，y>0)
Ⅳ 课时小结：
通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并能灵活运用，一个集合并不是只要是有限集就用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，在某种情况下，两种方法都可以.
注意在解决问题时所起作用，这一小节仅仅是认识，具体性质在下一节将研究.
Ⅴ 课后作业：
下列各题中的M与P表示相同集合的是___________
M=，；（2）；
（3）；（4）
2、已知集合M=，用列举法表示，则P=_____________________________________
2、预习提纲
⑴两个集合A、B具有什么条件，就能说明一个集合是另一个集合的子集？ ⑵一个集合A是另一个集合B的真子集，则其应满足条件是什么？
⑶空集有哪些性质？
A
3，9，27
4，6，10(共17张PPT)
集合的含义及其表示
楚水实验学校高一数学备课组
蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快的飞翔
茫茫的草原上，一群羊在悠闲的走动
清清的湖水里，一群鱼在自由地游动；
－－－－－
集合的含义及其表示(一)
问题情境
1.介绍自己的家庭、原来就读的学校、现在的班级。
2.问题：像“家庭”、“学校”、“班级”等，
有什么共同特征？
同一类对象的汇集
活动
1.列举生活中的集合的例子；
2.分析、概括各实例的共同特征
（1）集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set)。
（一）集合的有关概念：
1、集合的含义
（2）元素：集合中的每一个对象叫做该集合的元素(element)或简称元。
探讨以下问题:
{1,2,2,3}是含1个1,2个2,
1个3的四个元素的集合吗
(2)著名科学家能构成一个集合吗
(3) {a,b,c,d}和{b,c,d,a}是不是
表示同一个集合？
(4)“中国的直辖市”构成一个集合，写出该集合的元素。
(6)“book中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素。
(5)“young中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素。
集合中的元素没有一定
的顺序（通常用正常的顺序写出）
按照明确的判断标准给定
一个元素或者在这个集合里，
或者不在，不能模棱两可。
2、集合中元素的特性
（1）确定性：
（2）互异性：
集合中的元素没有重复。
（3）无序性：
（5）实数集：
常用数集及记法
（1）自然数集（非负整数集） ：
全体非负整数的集合。记作N
（2）正整数集:
非负整数集内排除0的集。记作N*或N+
（3）整数集：
全体整数的集合。记作Z
（4）有理数集
：全体有理数的集合。记作Q
全体实数的集合。记作R
集合常用大写拉丁字母来表示。
如集合A、集合B。
对象与集合的关系：
如果对象a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A；如果对象a不是集合A的元素，就记作a∈A，读作a不属于A。
如：2∈Z，2.5∈Z
例1 下列的各组对象能否构成集合：
所有的好人；
(2)小于2013的数；
(3) 和2013非常接近的数。
(4)小于5的自然数；
(5)不等式2x+1>7的整数解；
(6)方程x2+1=0的实数解；
高一数学
（三） 有限集与无限集
1、有限集(finite set)：含有有限个元素的集合。
2、无限集(infinite set )：含有无限个元素的集合。
3、空集(empty set)：不含任何元素的集合。记作Φ
例2 用符号“∈”或“∈”填空：
3.14＿Q；
(2) π＿Q ；
(3)0 ＿ N+
(4)0 ＿ N
(7) ＿ Q
(8) ＿ Q
(5)(-2)0 ＿ N+
(6) ＿ Z
三、小 结：本节课学习了以下内容：
1.集合的含义；
3.数集及有关符号.
2.集合中元素的特性：
确定性，互异性，无序性
集合的含义是什么？
集合之间有什么关系？
怎样进行集合的运算？
练习：
(1)《课课练》P1 Ex2
(2)在作业本上写出你这节
课不懂的地方。
(3)思考题：已知2是集合{0,a,a2 -3a+2}
中的元素,则实数a为( )
A.２ B.０或3 C. 3 D . 0,2,3均可(共20张PPT)
1.1集合的含义及其表示
江苏省金湖中学
梁家斌
蓝蓝的天空，一群鸟在欢快地飞翔；
茫茫的草原，一群羊在悠闲地走动；
清清的湖水，一群鱼在自由地游戏；
……
鸟群、羊群、鱼群……都是“同一类对象汇
集在一起”，这就是本章将要学习的集合。
●想一想：
集合这个术语，在初中我们是否使用过？
这里，用“集合”来描述研究对象，既简
洁又方便.那么，我们不禁要问：
●集合的含义是什么？
●集合之间有什么关系？
●怎样进行集合的运算？
请仿照下列叙述，向全班同学介绍一下你
原来读书的学校、现在的班级情况.
我来自金湖县外国语学校；
我现在的班级是高一⑶班，全班有学生
53人，其中男生30人，女生23人.
●像“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念
有什么共同的特征？
1.集合的概念
一般地，一定范围内某些确定的、不同
对象的全体构成一个集合.集合中的每一个对
象称为该集合的元素，简称元.
集合常用大写拉丁字母表示，如集合A、集合B等.
集合中的元素常用小写拉丁字母表示.
练习1.考察下列每组对象能否构成集合？
⑴中国的直辖市；
⑵young中的字母；
⑶不超过20的非负数；
⑷高一⑶班16岁以下的学生；
⑸高一⑶班所有个子高的学生.
⑴确定性
集合中的元素必须是确定的，也就是说，
对于一个给定的集合，其元素的意义是明确的.
⑵互异性
集合中的元素必须是互异的，也就是说，
对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是
不同的.
⑶无序性
集合中的元素是无先后顺序，也就是说，
对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可
以交换的.
阅读P5－6并思考下列问题：（3分钟）
⑴常用数集的专用符号有哪些？
⑵“∈”，“ ”
的含义是什么？
⑶集合的表示方法有几种 怎样表示？试举例
说明.
⑷两个集合满足什么条件时叫做相等？
⑸集合如何分类？依据是什么
2.常见集合的表示
N：非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的
集合)
N*或N＋：正整数集（非负整数集N内排除0
的集合）
Ｚ：整数集（全体整数的集合）
Q：有理数集（全体有理数的集合）
R：实数集（全体实数的集合）
3.元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，记作a∈A，读
作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记
作a
A，读作“a不属于A”.
4. 集合表示方法，常用表示方法有
⑴列举法：把集合中元素一一列举出来的方法.
⑵描述法：用确定条件表示某些对象是否属于
这个集合的方法.
⑶Venn图：
方程x2－1＝0所有实数解构成的集合，
可以表示成下列形式
⑴列举法：
{－1,1}
⑵描述法：
{x| x2－1＝0，x∈R}
⑶Venn图：
5．集合的分类（根据元素的个数来分）
⑴有限集——含有有限个元素的集合.
⑵无限集——含有无限个元素的集合.
⑶ 表示空集，既不含任何元素的集合.
学而时习之
1.用“∈”或“ ”填空（P7页练习3）
⑴1_____N，－3______N，0______N，
_____N， 1_____Z，－3_____Q，
0______Z，
____R；
⑵A＝{x|x2－x＝0}，则1___A，－1____A；
⑶B＝{x|1≤x≤5,x∈N}，则1___B，1.5___B；
⑷C＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，则0.2__C，3__C.
2.求不等式2x－3＞5的解集.
3.求方程x2＋x＋1＝0所有实数解的集合.
4.练习5.P7页练习1、2、4
5.(口答)说出下面集合中的元素.
⑴{大于3小于11的偶数}
⑵{平方等于1的数}
⑶{15的正约数}
其元素为 4，6，8，10
其元素为－1，1
其元素为1，3，5，15
回顾反思
1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是
任意的具体确定的事物，例如数、式、点、
形、物等.
2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无
序性，要能熟练运用之.
3.通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并
能灵活运用，一个集合并不是只要是有限集就
用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，
在某种情况下，两种方法都可以.
作业
1.完成课时训练一
2.预习提纲：
⑴两个集合A、B具有什么条件，就能说明一
个集合是另一个集合的子集？
⑵一个集合A是另一个集合B的真子集，则其
应满足条件是什么
⑶空集有哪些性质
⑷如何求一个集合补集？1.1集合的含义及其表示
一.课标解读
1.《普通高中数学课程标准》明确指出：“通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系；能选择自然语言.图形语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.”
2.重点:集合的概念与表示方法.
3.难点:运用集合的两种常用表示法---列举法与描述法,正确表示一些简单的集合.
二.要点扫描
1.集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）；构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。
2.集合元素的特征
由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质：
⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。
设集合给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居
其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
3.集合与元素之间的关系
集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。例如：是集合的元素，记作，读作“属于”； HYPERLINK "http://www." 不是集合的元素，记作，读作“不属于”。
4.集合的分类
集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作。
5.集合的表示方法
⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。
例如：集合可以用它的特征性质描述为{}，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。
除此之外，集合还常用韦恩图来表示，韦恩 ( http: / / www. )图是用封闭曲线内部的点来表示集合的方法（有时，也用小写字母分别定出集合中的某些元素），同学们在下节课中会接触到这个内容。
三.知识精讲
知识点1.集合与元素
一个东西是集合还是元素并不是绝对的，很多情况下是相对的，集合是由元素组成的集合，元素是组成集合的元素。例如：你所在的班级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学组成的集合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素；而整个学校又是由许许多多个班级组成的集合，你所在的班级只是其中的一分子，是一个元素。班级相对于你是集合，相对于学校是元素，参照物不同，得到的结论也不同，可见，是集合还是元素，并不是绝对的。
知识点2.区分、{}与{}
是空集，是不含任何元素的集合；{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以{}；{}也不是空集，而是单元素集合，只有一个元素，可见{}， HYPERLINK "http://www." {}，这也体现了“是集合还是元素，并不是绝对的”。
知识点3.解集合问题的关键
解集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的，也就是将抽象问题具体化、形象化，将特征性质描述法表示的集合用列举法来表示，或用韦恩图来表示抽象的集合，或用图形来表示集合，比如用数轴来表示集合，或是集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等。
四.典题解悟
-------------------------------------------------------基础在线---------------------------------------------------
[题型一]集合的判断
集合元素的特征：
⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。设集合
给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
例1、 “①难解的题目;②方程;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能组成集合的是( )。
.② .① ③ .② ④ .① ② ④
解析: 解这类题目要从集合元素的特征-----确定性、互异性-----出发。
①③④不符合集合元素的确定性特征。
答案:
例2、下列命题正确的个数为…………………( )。
很小两实数可以构成集合；
HYPERLINK "http://www." 与是同一集合
这些数组成的集合有5个数；
集合是指第二、四象限内的点集；
.个 .个 .个 .个
解析:
①中的元素不符合集合元素的确定性，不对；
②先看 “|”左边描述的元素，第一个集合是函数的值域，第二个集合是点集，所以不是同一集合；
③根据集合元素的互异原则：，所以集合有3个数，③不对；
④先看 “|”左边描述的元素，集合是点集，再看“|”右边规定的元素的公共属性，第二、四象限内的点集的公共属性应为 HYPERLINK "http://www." ，包括了坐标轴上的点，④也不对；
答案: A
例3、则中的元素应满足什么条件？
解析:根据集合中元素具有的互异性可知，该集合中的元素应满足，解不等式组即得答案。
答案:
[题型二] 集合与元素之间的关系
集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。
例4、下列表述是否正确，说明理由。
⑴{全体整数}
⑵{实数集}
解析:“{ }”是集合符号，包含了“所有”“全体”“全部”“集”等含义，因而这些词语不能再出现在大括号内；而表示以实数集为元素的集合，它与的关系是。
答案: ⑴{整数}，⑵ HYPERLINK "http://www." {实数}。
[题型三] 集合的表示方法
（1）列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
（2）特征性质描述法：集合可以用它的特征性质描述为{}，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。
例5、⑴用列举法表示下列集合：
① ；
②
⑵用特征性质描述法表示下列集合
①所有正偶数组成的集合 ；
②被9除余2的数组成的集合 。
解析：首先搞清楚组成集合的元素是什么，然后再选择适当的方法表示集合。
答案：
⑴①{}；
②
⑵①
②
例6、指出下列集合的元素：
⑴ HYPERLINK "http://www." ；
⑵；
⑶；
⑷。
解析：分析一个集合，首先要看“|”左边，左边的记号表示元素；再看“|”右边，右边规定了元素的公共属性，尤其是本题的第⑶、⑷小题，⑶的元素是函数的自变量，⑷的元素是函数的函数值，虽然共同属性都是满足一个函数关系式，但⑶表示函数的定义域，⑷却表示函数的值域，一定要理解清楚它们的各自含义。
答案：
⑴元素所满足的共同属性为,
⑵元素易错点所满足的共同属性为，,故元素是有实根的一元二次方程；
⑶元素所满足的共同属性为，即函数中自变量所能取到的实数的全体，也就是该函数的定义域，化简后为 HYPERLINK "http://www." ，故元素为函数的定义域中的所有实数；
⑷元素所满足的共同属性为，即函数中函数值所能取到的实数的全体，也就是该函数的值域，化简得到，所以元素为函数的值域中的所有实数。
-------------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------
1．集合与方程。
例7、若方程的解集是求.的值。
解析:由解集是可知这是个二次方程，即，
由韦达定理，，解得
答案: HYPERLINK "http://www."
2．用数形结合的思想解集合问题。
例8、求集合与集合有公共元素的的取值范围。
解析:集合即为不等式的解集，是大于的所有实数；集合即为不等式的解集，是小于的所有实数，在数轴上表示出两个集合，
可见，若要两个集合有公共部分，必须。
答案: 。
3． 注意中集合元素形式的转化。
例9、若， 则 。
（填“ HYPERLINK "http://www." ”或“”）
解析:对进行分母有理化,，
令，则。
答案:
-------------------------------------------------------错解点击---------------------------------------------------
例10．方程组的解集是……………( )。
.{(-3,0)} .{-3,0} .(-3,0) .{(0,-3)}
错解：
正解：
分析：首先解这个方程组，得到一组解 HYPERLINK "http://www." ，注意到题目中要求写出解集，即解的集合，按照集合的表示方法，一定要用大括号，所以不对；集合的元素是方程组的解，是有序数对，须加小括号。
例11．下列四个关系中，正确的是…………………( )。
. .
. .
错解：
正解：
分析：首先，选项中， 易错点是空集，是不含任何元素的集合，而{}不是空集，它是以一个 HYPERLINK "http://www." 为元素的单元素集合，所以{}；选项中是空集， {}是以一个为元素的单元素集合，这两个集合之间没有“属于”或“不属于”的关系； 选项中、这两个集合之间同样没有“属于”或“不属于”的关系；选项中是集合，同时也是的一个元素，所以 HYPERLINK "http://www." 是正确的。
例12．下列各题中与表示同一集合的是……( )。
.
.
.
.
错解：
正解：
分析：选项中集合 HYPERLINK "http://www." 、的元素都是有序数对，而，∴；选项中是空集，是不含任何元素的集合，而{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，∴；选项中集合是函数的值域，集合是函数图像上的所有点的集合，同样；选项中集合 HYPERLINK "http://www." 、分别是函数和函数的值域，这两个函数值域相同，此题选。
五.课本习题解析
六.同步自测
-------------------------------------------------------双基训练-------------------------------------------------------
1. 下面四个命题正确的是（ ）
以内的质数集合是 “个子较高的人”不能构成集合
方程的解集是 偶数集为
2.下列关系正确的是 （ ）
Z∈Q (2,1)∈{(2,1)}
HYPERLINK "http://www." NR 2∈{(2,1)}
3.已知A＝{x| x≤3,x∈R}，a=, b=2, 则（ ）
a∈A且bA aA且b∈A
a∈A且b∈A aA且bA
4.下列集合中，不同于另外三个的是（ ）
HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3
5. 下面命题：
① {2，3，4，2}是由四个元素组成的；
②集合{0}表示仅一个数“零”组成的集合；
③集合{1，2，4}与{4，1，2}是同一集合；
④集合{小于1的正有理数}是一个有限集。
其中正确的是（ ）
③④ ②③ ①② ②
6.集合面积为的矩形，面积为的正三角形，则正确的是（ ）
A. HYPERLINK "http://www." 都是无限集
B.都是有限集
C.是有限集是无限集
D.是有限集是无限集
7.用列举法表示集合： ；
8.用描述法写出直角坐标系中，不在坐标轴上的点的坐标组成的集合 ；
9.设都是非零的实数， 则的值组成的集合的元素个数为 ；
10. 集合中的元素所应满足的条件是 ；
11.若集合有且只有一个元素，则实数的取值集合是 ；
12.设直线上的点集为，则 HYPERLINK "http://www." ，点（2，7）与的关系为
（2，7） 。
13. 已知，若集合中恰有3个元素，求
14. 已知 ， ， ，求
15. 已知集合A={x|x=a+b，a，b∈R}，判断下列元素x与集合A之间的关系：
（1）x=0；（2）x=；（3）x=。
-------------------------------------------------------综合提高-------------------------------------------------------
16. 设下面8个关系式，
其中正确的个数是（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
17. 集合M={(x，y)| HYPERLINK "http://www." ≥0，x∈R，y∈R}的意义是（ ）
第一象限的点
第三象限的点
C． 第一和第三象限的点
D． 不在第二象限也不在第四象限的点
18.下列各式中错误的是（ ）
A．.-3
B．
C．
D．
19.,下列不属于的是（ ）
. . . .
20.方程组的解集可表示为① HYPERLINK "http://www." ② ③
④ ⑤
以上正确的个数是（ ）
5 个 4个 3个 2个
21.已知下列四个条件：
①数轴上到原点距离大于的点的全体
②大于且小于的全体素数
③与非常接近的实数的全体
④实数中不是无理数的所有数的全体
其中能够组成集合的是 ；
22. 关于的方程，当实数满足条件 时，方程的解集是有限集；当实数 HYPERLINK "http://www." 满足条件 时，方程的解集是无限集。
23.已知集合 ，用列举法表示 ；
24.用特征性质描述法表示直角坐标平面内的横坐标与纵坐标相等的点的集合是 ；
25.已知 求实数的值
26. 已知集合用列举法表示集合。
27. 已知集合A=，若A中元素至多只有一个，求实数的取值范围。
七.相关链接
为科学而疯的人——康托
康托(Contor,Georg)(1845-1918)，俄罗斯—德国数学家、19世纪数学伟大成就之一——集合论的创立人。康托自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。
1874年康托的有关无穷的概念，震撼了知识界。康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展。他研究数论和用三角函数唯一地表示函数等问题，发现了惊人的结果：证明有理数是可列的，而全体实数是不可列的。
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的康托向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。
康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托的集合论是一种“疾病”，康托的概念是“雾中之雾”，甚至说康托是“疯子”。
来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的。
真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托在一家精神病院去世。
高考解密
考点导航
05考纲
考题展示
考点①了解映射的概念,理解函数的概念
1.(2004年,湖北)
解
答案
2.(2004年,湖北)
解法一
解法二
答案
考点②
参考答案
1.1集合与集合的表示方法------------------------------------------
1.B 2.B 3. C 4. C 5. B 6. D
7. {（0，5），（1，3）（2，1）}
8. }
9. {3,-1}
10.
11. {或 HYPERLINK "http://www." }
12.
13. 6
14.
15. 令，则x
(2) x==,令即可，x
(3) x=, x.
16.C 17. D 18.C 19. A 20. A 21. ①②④ 22.
23. {0，6，14，21}
24. { HYPERLINK "http://www." }
25. 若则不成立；成立；
若则不成立；
若则或均不成立。
综上所述，
26. {-7，-1，1，2，3，4}
27. 若满足题意；
若。
综上所述，或。1.1 集合的含义及其表示
教学目标：
1．使学生理解集合的含义，知道常用集合及其记法；
2．使学生初步了解“属于”关系和集合相等的意义，初步了解有限集、无限集、空集的意义；
3．使学生初步掌握集合的表示方法，并能正确地表示一些简单的集合．
教学重点：
集合的含义及表示方法．
教学过程：
一、问题情境
1．情境．
新生自我介绍：介绍家庭、原毕业学校、班级．
2．问题．
在介绍的过程中，常常涉及像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念，这些概念与“学生×××”相比，它们有什么共同的特征？
二、学生活动
1．介绍自己；
2．列举生活中的集合实例；
3．分析、概括各集合实例的共同特征．
三、数学建构
1．集合的含义：一般地，一定范围内不同的、确定的对象的全体组成一个集合．构成集合的每一个个体都叫做集合的一个元素．
2．元素与集合的关系及符号表示：属于，不属于．
3．集合的表示方法：
另集合一般可用大写的拉丁字母简记为“集合A、集合B”．
4．常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R．
5．有限集，无限集与空集．
6．有关集合知识的历史简介．
四、数学运用
1．例题．
例1 表示出下列集合：
（1）中国的直辖市；（2）中国国旗上的颜色．
小结：集合的确定性和无序性
例2 准确表示出下列集合：
（1）方程x2―2x－3=0的解集；
（2）不等式2－x＜0的解集；
（3）不等式组的解集；
（4）不等式组的解集．
解：略．
小结：（1）集合的表示方法——列举法与描述法；
（2）集合的分类——有限集⑴，无限集⑵与⑶，空集⑷
例3 将下列用描述法表示的集合改为列举法表示：
（1）{(x，y)| x＋y = 3，x N，y N }
（2）{(x，y)| y = x2－1，|x |≤2，x Z }
（3）{y| x＋y = 3，x N，y N }
（4）{ x R | x3－2x2＋x=0}
小结：常用数集的记法与作用．
例4 完成下列各题：
（1）若集合A＝{ x｜ax＋1＝0}＝，求实数a的值；
（2）若－3{ a－3，2a－1， a2－4}，求实数a．
小结：集合与元素之间的关系．
2．练习：
（1）用列举法表示下列集合：
①{ x｜x＋1＝0}；
②{ x｜x为15的正约数}；
③{ x｜x 为不大于10的正偶数}；
④{ (x，y)｜x＋y＝2且x－2y＝4}；
⑤{(x，y)｜x∈{1，2}，y∈{1，3}}；
⑥{(x，y)｜3x＋2y＝16，x∈N，y∈N}．
（2）用描述法表示下列集合：
①奇数的集合；②正偶数的集合；③{1，4，7，10，13}
五、回顾小结
（1）集合的概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集；
（2）集合的表示——列举法、描述法以及Venn图；
（3）集合的元素与元素的个数；
（4）常用数集的记法．
六、作业
课本第7页练习3，4两题．
个体与群体
群体是由个体组成
自然语言描述 如{15的正整数约数}
数学语言描述 规范格式为{x|p(x) }
列举法
描述法
图示法第1课时 集合的含义及其表示（一）
【学习目标】
1.理解集合的基本概念和集合中元素的特性，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法；
2.会用符号∈和表示对象与集合之间的关系.
【课前导学】
（一）生活中
1.介绍自己的家庭、原来就读的学校、现在的班级.
2.问题：像“家庭”、“学校”、“班级”等，有什么共同特征？
【特征】 同一类对象的汇集 .
（二）数学中
1.【形】圆、线段垂直平分线可以看着满足什么条件的点的集合；
2.【数】自然数集、整数集、 ··· .
【课堂活动】
一、建构数学：
（一）集合的有关概念：
1 .集合：一定范围内某些 确定的 、 不同的 对象的全体构成一个集合（set) .
2 .元素：集合中的 每一个对象 叫做该集合的元素(element)（简称元）.
探讨以下问题:
{1,2,2,3}是含1个1,2个2, 1个3的四个元素的集合吗
(2)著名科学家能构成一个集合吗
(3) {a,b,c,d}和{b,c,d,a}是不是表示同一个集合？
(4)“中国的直辖市”构成一个集合，写出该集合的元素.
(5)“young中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素.
(6)“book中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素.
3.集合中元素的特性
（1）确定性：
由“问题探究”可以归纳：
按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可.
（2）互异性：
集合中的元素没有重复.
（3）无序性
集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）.
4.集合的表示：
集合常用大写拉丁字母来表示，如集合A、集合B .
5.元素与集合的关系：
如果对象a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A；
如果对象a不是集合A的元素，就记作aA，读作a不属于A .
又如：2∈Z，2.5Z
二、应用数学：
例1 下列的各组对象能否构成集合：
(1)所有的好人；
(2)小于2003的数；
(3) 和2003非常接近的数；
(4)小于5的自然数；
(5)不等式2x+1>7的整数解；
(6)方程x2+1=0的实数解.
【思路分析】解这类题目要从集合元素的特征即确定性、互异性出发.
解：（1）（3）不符合集合元素的确定性，（2）（4）（5）（6）能够构成集合.
例2 如果，求实数x的值.
【思路分析】由元素属于集合知，元素必等于集合中的某一元素；故需要分类讨论。
解：当=0时，有x=0, 这时与集合中 元素的互异性矛盾，不合，舍去；
当=1时，有x=1或-1，经检验，x=1时与集合中 元素的互异性矛盾，不合，舍去；
X= -1时，经检验，符合题意！
当=x时，有x=0或1，同上，经检验，均不合，舍去；
综上所述，= －1 .
【解后反思】
1 .思路的确定：
2 .解题的规范性：
3 .含参要讨论：
4 .结论要检验：元素的互异性、条件是否满足.
【变式】
1.如果，y可能的取值组成的集合为 .
2.a、b、c为三角形ABC的三边，S={a,b,c},则三角形一定不是 等腰三角形 .
例3 ，若A=B，求a的值.
解：A={0，-4}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}={0,-4} ，
0,-4为方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根，∴a=1 .
例4 集合A={x|ax2-2x+1=0},B={x| x2-2x+a=0}中，已知A只有一个元素，求集合A与B .
解：当a=0 时 ， A={}， B={0,2}；
当a≠0时 ，对于集合A有=4-4a=0 ∴a=1 ，
此时 A=B={1} .
【解后反思】注意对方程，特别是一元二次型方程的最高次项系数是否为零的讨论.
（二）常用数集及记法
（1）自然数集（非负整数集） ：全体非负整数的集合，记作N；
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N*或N+；
（3）整数集：全体整数的集合，记作Z；
（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q；
（5）实数集：全体实数的集合，记作R .
（三）有限集与无限集
1、有限集(finite set)：含有有限个元素的集合；
2、无限集(infinite set )：含有无限个元素的集合；
3、空集(empty set)：不含任何元素的集合，记作Φ.
三、理解数学：
1.用符号“”或“∈”填空：
1 ∈ N , 1 ∈ Z , -3 N , -3 ∈ Q
0 ∈ N , 0 ∈ Z , N , ∈ R
2. “①难解的题目;②方程;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能组成集合的序号是 ② .
解析：解这类题目要从集合元素的特征“确定性、互异性”出发.
①③④不符合集合元素的确定性特征.
3.下列命题不能构成集合的序号为 ①②③④ .
很小两实数可以构成集合；
与 HYPERLINK "http://www." 是同一集合
这些数组成的集合有5个数；
集合是指第二、四象限内的点集.
解析：①中的元素不符合集合元素的确定性，不对；
②先看 “|”左边描述的元素，第一个集合是函数的值域，第二个集合是点集，所以不是同一集合；
③根据集合元素的互异原则：，所以集合有3个数，③不对；
④先看 “|”左边描述的元素，集合是点集，再看“|”右边规定的元素的公共属性，第二、四象限内的点集的公共属性应为，包括了坐标轴上的点，④也不对.
4.则中的元素应满足什么条件？
解析:根据集合中元素具有的互异性可知，该集合中的元素应满足，解不等式组即得答案: .
【课后提升】
1.下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数；
（2）好心的人；
（3）1，2，2，3，4，5.
解：（1）（不确定性）（2）（不确定性）（3）（有重复）
2.设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是 .
解：_-2,0,2__
3.由实数x,－x,｜x｜,所组成的集合，最多含 个元素.
解：2
4.若{t},求t的值.
解：- 1 .
5. 若A={{x|ax+1=0}中元素的个数为 .
解：0个或1个.
6.求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件
解：
【思考】
集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？
（1）0 （2） （3）集合的概念及其表示（二）
教学目标：了解有限集、元限集概念，掌握表示集合方法；了解空集的概念及其特殊性，渗透抽象、概括思想。
教学重点：集合的表示方法
教学难点：正确表示一些简单集合
课 型：自学辅导法
教学手段：多媒体
教学过程：
一、创设情境
复习提问
集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明，集合与元素关系是什么？如何表示？
二、活动尝试
阅读教材第二部分，问题如下：
（1）集合的表示方法有几种？分别是如何定义的？
（2）有限集、无限集、空集的概念是什么？试各举一例。
三、师生探究
1．请用列举法表示下列集合（投影a）：
（1）小于5的正奇数.
（2）能被3整除且大于4小于15的自然数.
（3）方程x2-9=0的解的集合.
2．请用描述法表示下列集合：
（4）到定点距离等于定长的点.
（5）由适合x2-x-2>0的所有解组成集合.
（6）方程组的解集
3．用描述法分别表示(投影2):
（1）抛物线x2=y上的点.
（2）抛物线x2=y上点的横坐标.
（3）抛物线x2=y上点的纵坐标.
四、数学理论
（一）通过预习提纲师生共同归纳集合表示方法，通用的表示方法有：
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
例如， “中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}
由“young中的字母” 构成的集合，写成{y,o,u,n,g}
由“book中的字母” 构成的集合，写成{b,o,k}
注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：
{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}
（2）a与{a}不同：a表示一个元素， {a}表示一个集合，该集合只有一个元素。
描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
格式： {x∈A| P（x）}
含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。
例如，“中国的直辖市”构成的集合，写成{为中国的直辖市}；
“young中的字母” 构成的集合，写成{为young中的字母}；
不等式的解集可以表示为：或
注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。如：{直角三角形}；
{大于104的实数}
（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}
3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
( http: / / www. )
边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.
注：何时用列举法？何时用描述法？
（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。
如：集合
（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
如：集合；集合{1000以内的质数}
注：集合与集合是同一个集合吗？答：不是。
集合是点集，集合= 是数集。
（二）集合相等的概念
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素.我们就说集合A等于集合B.记作A＝B.
如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；{2，3}与{3，2}相等.
“与2相差3的所有整数所组成的集合”，即 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 = {-1，5}
思考：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}相等吗？
（三）集合的分类
1．有限集：含有有限个元素的集合。
2．无限集：含有无限个元素的集合。
3．空集：不含任何元素的集合。记作，如：
五、巩固运用
例1解不等式，并把结果用集合表示.
解：由不等式，知
所以原不等式解集是
例2 求方程的解集
解：因为没有实数解，
所以
六、回顾反思
1．描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。注意：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}是错误的。
2．列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般无限集，不宜采用列举法。
3．不含任何元素的集合叫做空集，记作，不能写成；
4．韦恩图表示集合
5．本节课在教学时主要教会学生学习集合的表示方法，在认识集合时，应从两方面入手：
（1）元素是什么？
（2）确定集合的表示方法是什么？表示集合时，与采用字母名称无关。
七、课后练习
1．用描述法表示下列集合
①{1，4，7，10，13}
②{-2，-4，-6，-8，-10}
2．用列举法表示下列集合
①{x∈N|x是15的约数}
②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}
③
④
⑤
⑥{ HYPERLINK "http://www." 分别是4的正整数约数}
3．集合中有几个元素，你能列举出来吗？
4．问集合A与B相等吗？集合A与C相等吗？
其中，，
5．写出不等式的解集，并化简
6．已知集合
①若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个集合；
②若A中至多只有一个元素，求a的取值范围；
参考答案：
1．①②
2．①{1，3，5，15}②{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}
注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}
③④{-1，1}⑤{（0，8）（2，5），（4，2）}
⑥{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}
3．
4．A=B，A与C是两个不同的集合；
5．
6．①a=0时，2x+1=0，得，集合为{}②a=0时，2x+1=0，得；a0时， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 =4-4a<0，得a>1；
a的取值范围是a>1或a=0.1.1集合的含义及其表示
学习目标：
1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.了解集合相等的意义，了解有限集、无限集、空集的含义.
2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
3.培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力；培养学生认识事物的能力，引导学生爱班、爱校、爱国.
教学重点：
集合的表示方法，集合的相等，空集.
教学难点：
正确表示一些简单集合.
教学方法：
尝试指导法
教学过程：
一、情境设置
蓝蓝的天空，一群鸟在欢快地飞翔；
茫茫的草原，一群羊在悠闲地走动；
清清的湖水，一群鱼在自由地游戏；
……
鸟群、羊群、鱼群……都是“同一类对象汇集在一起”，这就是本章将要学习的集合。
●想一想：集合这个术语，在初中我们是否使用过？
在初中学习“自然数”、“有理数”等内容时，已经使用了“自然数集”、“有理数集”等术语.
初中代数第六章不等式的解法一节中提到：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
不等式解集的定义中涉及到“集合”.
这里，用“集合”来描述研究对象，既简洁又方便.那么，我们不禁要问：
●集合的含义是什么？
●集合之间有什么关系？
●怎样进行集合的运算？
二、学生活动
请仿照下列叙述，向全班同学介绍一下你原来读书的学校、现在的班级情况.
我来自金湖县外国语学校；
我现在的班级是高一⑶班，全班有学生53人，其中男生30人，女生23人.
●像“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念有什么共同的特征？
同一类对象汇集在一起
三、建构数学
1.集合的概念
一般地，一定范围内某些确定的、不同对象的全体构成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.集合常用大写拉丁字母表示，如集合A、集合B等.集合中的元素常用小写拉丁字母表示.
练习1.考察下列每组对象能否构成集合？
⑴中国的直辖市；
⑵young中的字母；
⑶不超过20的非负数；
⑷高一⑶班16岁以下的学生；
⑸高一⑶班所有个子高的学生.
生在师的指导下回答问题：
⑴“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素是“北京、上海、天津、重庆”；
⑵“young中的字母”构成一个集合，该集合的元素是“y,o,u,n,g”；
⑶“不超过20的非负数”构成一个集合，该集合的元素是“0,1,2,3,…,20”；
⑷“高一⑶班16岁以下的学生“”构成一个集合；
⑸“高一⑶班所有个子高的学生”不能构成一个集合，个子高这个标准标准不可量化.
从所给问题可知，集合元素具有以下三个特征：
⑴确定性
集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其元素的意义是明确的.
⑵互异性
集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
⑶无序性
集合中的元素是无先后顺序，也就是说，对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可以交换的.
阅读P5－6并思考下列问题：（3分钟）
⑴常用数集的专用符号有哪些？
⑵“∈”，“”的含义是什么？
⑶集合的表示方法有几种 怎样表示？试举例说明.
⑷两个集合满足什么条件时叫做相等？
⑸集合如何分类？依据是什么
通过学习提纲，师生共同归纳
2.常见集合的表示
自然数集记作N，正整数集记作N）或N＋，整数集记作N，有理数集记作Q，实数集记作R.
3.元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作aA，读作“a不属于A”.
4.集合表示方法，常用表示方法有
⑴列举法：把集合中元素一一列举出来的方法.
⑵描述法：用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
⑶Venn图：
如：方程x2－1＝0所有实数解构成的集合，可以表示成下列形式
⑴列举法：{－1,1}
⑵描述法：{x| x2－1＝0，x∈R}
⑶Venn图：
说明：1.{x|p(x)}中x为代表元素，p(x)指x具有的性质.
2.如果两个集合中的元素完全相同，则称这两个集合相等.
5．集合的分类（根据元素的个数来分）
⑴有限集——含有有限个元素的集合.
⑵无限集——含有无限个元素的集合.
⑶ HYPERLINK "http://www." 表示空集，既不含任何元素的集合.
四、数学应用
1.用“∈”或“”填空（P7页练习3）
⑴1_____N，－3______N，0______N，_______N，1_____Z，－3______Q，0______Z，_______R；
⑵A＝{x|x2－x＝0}，则1_____A，－1______A；
⑶B＝{x|1≤x≤5,x∈N}，则1_____B，1.5______B；
⑷C＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，则0.2_____C，3______C.
2.求不等式2x－3＞5的解集.
解：由2x－3＞5得x＞4，所以不等式2x－3＞5的解集为{x|x＞4，x∈R}.
3.求方程x2＋x＋1＝0所有实数解的集合.
解：∵方程x2＋x＋1＝0没有实数解，
∴{x|x2＋x＋1＝0}＝.
4.练习5.P7页练习1、2、4
5.(口答)说出下面集合中的元素.
⑴{大于3小于11的偶数} 其元素为 4，6，8，10
⑵{平方等于1的数} 其元素为－1，1
⑶{15的正约数} 其元素为1，3，5，15
6.判断正误：
⑴所有在N中的元素都在N*中( × )
⑵所有在N中的元素都在Z中( √ )
⑶所有不在N*中的数都不在Z中( × )
⑷所有不在Q中的实数都在R中( √ )
⑸由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0( × )
⑹不在N中的数不能使方程4x＝8成立( √ )
五、回顾反思
1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等.
2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要能熟练运用之.
3.通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并能灵活运用，一个集合并不是只要是有限集就用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，在某种情况下，两种方法都可以.
4.注意在解决问题时所起作用，这一小节仅仅是认识，具体性质在下一节将研究.
六、作业
1.完成课时训练一
2.预习提纲：
⑴两个集合A、B具有什么条件，就能说明一个集合是另一个集合的子集？
⑵一个集合A是另一个集合B的真子集，则其应满足条件是什么
⑶空集有哪些性质
⑷如何求一个集合补集？(共10张PPT)
高一年级 数学
第一章 1.1.1集合的含义与表示
课题: 集合的含义
授课者: 朱海棠
问题提出
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？
知识探究（一）
考察下列问题： （1）1～20以内的所有质数；
（2）绝对值小于3的整数；
（3）师大附中0705班的所有男同学；
（4）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.
思考1：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.上述4个集合中的元素分别是什么？
思考3：组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中 的元素个数的多少是否有限制？
思考4：美国NBA火箭队的全体队员是否组成一个集合？若是，这个集合中有哪些元素？
思考5：试列举一个集合的例子，并指出集合中的元素.
思考2：一般地，怎样理解“元素”与“集合”？
把研究的对象称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；把一些元素组成的总体叫做集合，简称集，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
知识探究（二）
任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？
思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？
集合中的元素必须是确定的
思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？
集合中的元素是不重复出现的
思考3：0705班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？
集合中的元素是没有顺序的
知识探究（三）
思考1：设集合A表示“1～20以内的所有质数”，那么3，4，5，6这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？
思考2：对于一个给定的集合A，那么某元素a与集合A有哪几种可能关系？
思考3：如果元素a是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？
a属于集合A，记作
思考4：如果元素a不是集合A中的元素，我们如何用数学化的语言表达？
a不属于集合A，记作
自然数集（非负整数集）：记作 N
正整数集：记作 或
整数集：记作 Z
有理数集：记作 Q
实数集：记作 R
知识探究（四）
思考1：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实数能否分别构成集合？
思考2：自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？
理论迁移
例1 已知集合S满足： ，且当 时 ,
若 ，试判断 是否属于S，说明你的理由.
例2 设由4的整数倍再加2的所有实数构成的集合为A，由4的整数倍再加3的所有实数构成的集合为B，若 ，试推断x+y和x-y与集合B的关系.
作业：
P5练习： 1.（1）
P11习题1.1A组： 1.集合的含义及其表示（一）
教学目标：使学生初步理解集合的基本概念，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法和集合中元素的特性.
教学重点：集合概念、性质；
教学难点：集合概念的理解；
课 型：新授课
教学手段：多媒体
教学过程：
一、创设情境
军训前学校通知： 8月15日8点，高一年级在广场集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
二、活动尝试
“物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类。
如：用到过的“正数的集合”、 “负数的集合”、“质数”、“合数”
如：2x-1>3，即x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
如：自然数的集合 0，1，2，3，……
结论：一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
三、师生探究
思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？若不能，请说明理由。
（1）所有3的倍数（√）
（2）很大的数的全体（×）——很大没有明确的标准，如全全体体著名的数学家。
（3）中国的直辖市（√）
（4）young中的字母（√）
（5）平面上到点O的距离等于5的点的全体（√）
（6）所有的偶数（√）
（7）所有直角三角形（√）
（8）满足3x-2>x+3的全体实数（√）
（9）方程的实数解（√）
（10）π的近似值（×）——近似没有明确的标准，如2的算术平方根的近似值。
评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。
四、数学理论
△集合理论是由德国数学家康托尔发现的，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。
△集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
△常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
△元素与集合的关系
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 aA （或aA）
五、巩固运用
1、用符合“∈”或“”填空：
(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则：
中国 ∈ A；美国 A；印度 ∈ A；英国 A。
(2)若A={x|x2=x}, 则－1 A；
(3)若B={x|x2+x-6=0},则3 B；
(4)若C={x∈N|1≤x≤10}，则8 ∈ C，9.1 C；
2、判断下面说法是否正确、正确的在( )内填“√”，错误的填“×”
(1)所有在N中的元素都在N*中（ ）
(2)所有在N中的元素都在Ｚ中( )
(3)所有不在N*中的数都不在Z中（ ）
(4)所有不在Q中的实数都在R中（ ）
(5)由既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0（ ）
(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立（ ）
六、回顾反思
1、集合的概念
2、集合元素的三个特征
其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.
“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
3、常见数集的专用符号.
七、课后练习
1．下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数——不确定
（2）好心的人 ——不确定
（3）1，2，2，3，4，5．——有重复
（4）一些四边形——不确定
（5）高一（1）班所有的高个子同学——不确定
（6）2006年中考试卷中的所有难题——不确定
2．设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是 -2,0,2
3．由实数x,－x,｜x｜,所组成的集合，最多含（ ( http: / / www. ) ）A
（A）2个元素 （B）3个元素 （C）4个元素 （D）5个元素
4．下列结论不正确的是( ) C
A.O∈N B. Q C.OQ D.-1∈Z
5．下列结论中，不正确的是( ) A
A.若a∈N，则-aN B.若a∈Z，则a2∈Z
C.若a∈Q，则｜a｜∈Q D.若a∈R，则
6．求数集{1，x，x2-x}中的元素x应满足的条件；
解：由互异性知，，得第一章 集 合
第一课时 集合(一)
教学目标：
使学生掌握集合的概念和性质，集合的元素特征，有关数的集合；培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力；培养学生认识事物的能力，引导学生爱班、爱校、爱国.
教学重点：
集合的概念，集合元素的三个特征.
教学难点：
集合元素的三个特征，数集与数集关系.
教学方法：
尝试指导法
学生依集合概念的要求、集合元素的特征，在教师指导下，能自己举出符合要求的实例，加深对概念的理解、特征的掌握.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
师生共同回顾初中代数中涉及“集合”的提法.
［师］同学们回忆一下，在初中代数第六章不等式的解法一节中提到：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
不等式解集的定义中涉及到“集合”.
Ⅱ.讲授新课
下面我们再看一组实例
幻灯片：
观察下列实例
(1)数组 1，3，5，7.
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点.
(3)满足 3x－2＞x＋3 的全体实数.
(4)所有直角三角形.
(5)高一(3)班全体男同学.
(6)所有绝对值等于6的数的集合.
(7)所有绝对值小于3的整数的集合.
(8)中国足球男队的队员.
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.
(10)参与中国加入WTO谈判的中方成员.
通过以上实例.教师指出：
1.定义
一般地，某些指定对象集在一起就成为一个集合(集).
师进一步指出：
集合中每个对象叫做这个集合的元素.
［师］上述各例中集合的元素是什么
［生］例(1)的元素为1，3，5， 7.
例(2)的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点.
例(3)的元素为满足不等式3x－2＞x＋3的实数x.
例(4)的元素为所有直角三角形.
例(5)为高一 (3)班全体男同学.
例(6)的元素为－6，6.
例(7)的元素为－2，－1，0，1，2.
例(8)的元素为中国足球男队的队员.
例(9)的元素为参加2008年奥运会的中国代表团成员.
例(10)的元素为参与WTO谈判的中方成员.
［师］请同学们另外举出三个例子，并指出其元素.
［生］(1)高一年级所有女同学.
(2)学校学生会所有成员.
(3)我国公民基本道德规范.
其中例(1)的元素为高一年级所有女同学.
例(2)的元素为学生会所有成员.
例(3)的元素为爱国守法、明礼诚信、团结友爱、勤俭自强、敬业奉献.
［师］一般地来讲，用大括号表示集合.
师生共同完成上述例题集合的表示.
如：例(1){1，3，5，7}；
例(2){到两定点距离的和等于两定点间距离的点}；
例(3){3x－2＞x＋3的解}；
例(4){直角三角形}；
例(5){高一(3)班全体男同学}；
例(6){－6，6}；
例(7){－2，－1，0，1，2}；
例(8){中国足球男队队员}；
例(9){参加2008年奥运会的中国代表团成员}；
例(10){参与WTO谈判的中方成员}.
2.集合元素的三个特征
幻灯片：
问题及解释
(1)A＝{1，3}，问3，5哪个是a的元素
(2)A＝{所有素质好的人}能否表示为集合
(3)A＝{2，2，4}表示是否准确
(4)A＝{太平洋，大西洋}，B＝{大西洋，太平洋}是否表示为同一集合
生在师的指导下回答问题：
例(1)3是集合A的元素，5不是集合A的元素.例(2)由于素质好的人标准不可量化，故A不能表示为集合.例(3)的表示不准确，应表示为A＝{2，4}.例(4)的A与B表示同一集合，因其元素相同.
由此从所给问题可知，集合元素具有以下三个特征：
(1)确定性
集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其元素的意义是明确的.
如上例(1)、例(2)、再如
{参加学校运动会的年龄较小的人}也不能表示为一个集合.
(2)互异性
集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
如上例(3)，再如
A＝{1，1，1，2，4，6}应表示为A＝{1， 2，4，6}.
(3)无序性
集合中的元素是无先后顺序，也就是说，对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可以交换的.
如上例(1)
［师］元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ”（也可表示为）两种.
如 A＝{2，4，8，16} 4∈ A 8∈A 32A
请同学们考虑：
A＝{2，4}，B＝{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}，
A与B的关系如何？
虽然A本身是一个集合.
但相对B来讲，A是B的一个元素.
故A∈B.
幻灯片：
3.常见数集的专用符号
N：非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)
N*或N＋：正整数集（非负整数集N内排除0的集合）
Ｚ：整数集（全体整数的集合）
Q：有理数集（全体有理数的集合）
R：实数集（全体实数的集合）
［师］请同学们熟记上述符号及其意义.
Ⅲ.课堂练习
1.(口答)说出下面集合中的元素.
(1){大于3小于11的偶数} 其元素为 4，6，8，10
(2){平方等于1的数} 其元素为－1，1
(3){15的正约数} 其元素为1，3，5，15
2.用符号∈或填空
1∈N 0∈N －3N 0.5N N
1∈Z 0∈Z －3∈Z 0.5Ｚ Ｚ
1∈Q 0∈Q －3∈Q 0.5∈Q Q
1∈R 0∈R －3∈R 0.5∈R ∈R
3.判断正误：
(1)所有在N中的元素都在N*中( × )
(2)所有在N中的元素都在Z中( √ )
(3)所有不在N*中的数都不在Z中( × )
(4)所有不在Q中的实数都在R中( √ )
(5)由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0( × )
(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立( √ )
Ⅳ.课时小结
1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等.
2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要能熟练运用之.(共12张PPT)
一、复习回顾集合
①一般地，一定范围内某些确定的、
不同的对象的全体构成一个集合。
集合的特性：1、元素的确定性；
2、元素的互异性； 3、元素的无序性
③集合的分类：有限集，无限集和空集
④ 常见集合：N，Z，Q，R， N+
集合的含义及其表示方法（二）
观察下列对象能否构成集合
（1）满足X－3＞2的全体实数
（2）本班的全体男生
（3）我国的四大发明
（4）2008年北京奥运会中的球类项目
（5）不等式2X+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形；？
二、问题情境
那么这些集合有没有其它的表示方式？
三.建构数学：
列举法：将集合的元素一一列举出来，
并置于花括号“{ }”内。
用这种方法表示集合，元素要用逗号隔开，但与元素的次序无关。
解问题情境
观察下列对象构成集合用列举法表示
（1）满足X－3＞2的全体实数
（2）本班的全体男生
（3）我国的四大发明
（4）2008年北京奥运会中的球类项目
（5）不等式2X+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形；？
注: (1)如果两个集合所含元素完全相同
（ 即A中的元素都是B中的元素，
B中的元素也都是A中的元素），
则称这两个集合相等。
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，
{a}表示一个集合，该集合只有一个元素a。
（3）集合{（1，2），（3，4）}与
集合{1，2，3，4}不同
2.描述法：
将集合的所有元素都具有的性质
（满足的条件）表示出来，
写成{x|p(x)}的形式
如：{x|x为中国直辖市}，{x|x为young中的字母}。
所有直角三角形的集合可以表示为：
{ x|x是直角三角形}等
3.Venn图法：
用封闭的曲线内部表示集合。
（形象直观）
如：集合{x|x为young中的字母}
y,o,u,n,g
（1）、有些集合的公共属性不明显，难以概括，不
便用描述法表示，只能用列举法。
如 ：集合{ 3，7，8 }
注：何时用列举法？何时用描述法？
(2)、有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，
或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法
如:集合{(x,y)|y=x+1} ；集合{x|x为1000以内的质数}
例1：1）求方程x2-2x-3=0的解集；
2）求不等式x-3>2的解集
四.数学运用
例2：用列举法表示下列集合
①{x∈N|x是15的约数}
②{x|x=(-1)n,n ∈N}
③{(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y ∈ N}
高一数学
例3、用描述法表示下列集合
①{1，4，7，10，13}
②奇数的集合
五、回顾小结：
前两节节课学习了以下内容：
1.集合的含义；
3.数集及有关符号.
2.集合中元素的特性：
确定性，互异性，无序性
4.集合的表示方法；
