【细解】初中数学鲁教版七年级上册专题训练八一次函数与方案设计问题
一、【细解】七上数学专题训练八一次函数与方案设计问题 一次函数与方案设计问题
1．某通信公司推出三种上网的月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y(元)与上网时间x(小时)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．每月上网不足25小时，选择A方式最省钱
B．每月小网时间为30小时，选择B方式最省钱
C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长
D．每月小网时间超过70小时，选择C方式最省钱
2．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型 办卡费用/元 每次游泳收费/元
A类 50 25
B类 200 20
C类 400 15
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550(元)，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45~55次之间，则最省钱的方式为（ ）
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
3．4月20日是“世界读书日”。甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动。甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．
（1）以x(单位：元)表示标价总额，y(单位：元)表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求y关于x的函数解析式．
（2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？
4．某工厂生产某种产品，每件产品出厂价为50元，成本价为25元，因在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，所以为了净化环境，工厂设计了两种处理污水的方案．
方案一：工厂将污水先净化处理再排出，每处理1立方米污水需原料费2元，且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每．处理1立方米污水需付14元的排污费．
（1）设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出两种方案处理污水时，y与x函数关系式(利润=总收入-总支出)；
（2）设工厂每月生产6 000件产品，则在不污染环境又节约资金的前提下，应选择哪种方案？请通过计算加以说明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】A、每月上网不足25小时，选择A方式最省钱，故A选项不符合题意；
B、每月上网时间为30小时，选择A方式的费用为：30＋5×[（120 30）÷（50 25）]＝48（元），B方式为50元，C方式为120元，所以选择A方式最省钱，故B选项符合题意；
C、每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长，故C选项不符合题意；
D、每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱，故D选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据函数图象求解即可。
2．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，
根据题意得：yA＝50＋25x，yB＝200＋20x，yC＝400＋15x，
当40≤x≤50时，1050≤yA≤1300；1000≤yB≤1200；1000≤yC≤1150；
∴C类会员年卡消费最低，
即最省钱的方式为购买C类会员年卡．
故选：C．
【分析】先求出yA＝50＋25x，yB＝200＋20x，yC＝400＋15x，再求出C类会员年卡消费最低，最后求解即可。
3．【答案】（1）解：y甲=0.8x；
y乙=x，(x≤100)，100+0.6(x- 100)，(x> 100)
（2）解：当x≤100元时，显然0.8x即，当购书标价总额不超过100元时，选择甲书店购书更省钱。
当x> 100元时，
若0.8x> 100+0.6(x- 100)，解得x> 200，选择乙书店更优惠。
若0.8x= 100+0.6(x- 100)，解得x=200，甲、乙书店任意选择都一样。
若0.8x<100+0.6(x- 100)，解得x<200，选择甲书店更优惠。
综上所述：当购书标价小于200元时，选择甲书店更优惠；
当购书标价等于200元时，选择甲书店或乙书店优惠一样；
当购书标价大于200元时，选择乙书店更优惠。
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意求函数解析式即可；
（2）分类讨论，计算求解即可。
4．【答案】（1）解：采用第一种方案时总利润为y=50x- 25x-(0.5x×2+30 000)= 24x- 30 000．
采用第二种方案时总利润为
y=50x- 25x-0.5x×14= 18x
（2）解：x=6 000，当采用第一种方案时工厂利润为
y1=24×6 000-30 000= 114 000(元)；
当采用第二种方案时工厂利润为y2= 18×6 000= 108 000(元)．
y1> y2，
所以工厂采用第一种方案时利润更多．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意求函数解析式即可；
（2）先求出 y1=114 000 ，再求出 y2=108 000 ，最后求解即可。
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一、【细解】七上数学专题训练八一次函数与方案设计问题 一次函数与方案设计问题
1．某通信公司推出三种上网的月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y(元)与上网时间x(小时)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．每月上网不足25小时，选择A方式最省钱
B．每月小网时间为30小时，选择B方式最省钱
C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长
D．每月小网时间超过70小时，选择C方式最省钱
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】A、每月上网不足25小时，选择A方式最省钱，故A选项不符合题意；
B、每月上网时间为30小时，选择A方式的费用为：30＋5×[（120 30）÷（50 25）]＝48（元），B方式为50元，C方式为120元，所以选择A方式最省钱，故B选项符合题意；
C、每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长，故C选项不符合题意；
D、每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱，故D选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据函数图象求解即可。
2．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型 办卡费用/元 每次游泳收费/元
A类 50 25
B类 200 20
C类 400 15
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550(元)，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45~55次之间，则最省钱的方式为（ ）
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，
根据题意得：yA＝50＋25x，yB＝200＋20x，yC＝400＋15x，
当40≤x≤50时，1050≤yA≤1300；1000≤yB≤1200；1000≤yC≤1150；
∴C类会员年卡消费最低，
即最省钱的方式为购买C类会员年卡．
故选：C．
【分析】先求出yA＝50＋25x，yB＝200＋20x，yC＝400＋15x，再求出C类会员年卡消费最低，最后求解即可。
3．4月20日是“世界读书日”。甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动。甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．
（1）以x(单位：元)表示标价总额，y(单位：元)表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求y关于x的函数解析式．
（2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？
【答案】（1）解：y甲=0.8x；
y乙=x，(x≤100)，100+0.6(x- 100)，(x> 100)
（2）解：当x≤100元时，显然0.8x即，当购书标价总额不超过100元时，选择甲书店购书更省钱。
当x> 100元时，
若0.8x> 100+0.6(x- 100)，解得x> 200，选择乙书店更优惠。
若0.8x= 100+0.6(x- 100)，解得x=200，甲、乙书店任意选择都一样。
若0.8x<100+0.6(x- 100)，解得x<200，选择甲书店更优惠。
综上所述：当购书标价小于200元时，选择甲书店更优惠；
当购书标价等于200元时，选择甲书店或乙书店优惠一样；
当购书标价大于200元时，选择乙书店更优惠。
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意求函数解析式即可；
（2）分类讨论，计算求解即可。
4．某工厂生产某种产品，每件产品出厂价为50元，成本价为25元，因在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，所以为了净化环境，工厂设计了两种处理污水的方案．
方案一：工厂将污水先净化处理再排出，每处理1立方米污水需原料费2元，且每月排污设备损耗费为30000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每．处理1立方米污水需付14元的排污费．
（1）设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出两种方案处理污水时，y与x函数关系式(利润=总收入-总支出)；
（2）设工厂每月生产6 000件产品，则在不污染环境又节约资金的前提下，应选择哪种方案？请通过计算加以说明．
【答案】（1）解：采用第一种方案时总利润为y=50x- 25x-(0.5x×2+30 000)= 24x- 30 000．
采用第二种方案时总利润为
y=50x- 25x-0.5x×14= 18x
（2）解：x=6 000，当采用第一种方案时工厂利润为
y1=24×6 000-30 000= 114 000(元)；
当采用第二种方案时工厂利润为y2= 18×6 000= 108 000(元)．
y1> y2，
所以工厂采用第一种方案时利润更多．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意求函数解析式即可；
（2）先求出 y1=114 000 ，再求出 y2=108 000 ，最后求解即可。
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