2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市南岗区九年级（上）月考数学试卷（9月份）（五四学制）(word解析版)

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市南岗区九年级（上）月考数学试卷（9月份）（五四学制）
一、选择题（每题3分，共计30分）
1．（3分）已知直角三角形两直角边长分别为5，12，则斜边长为（　　）
A．13
B．14
C．15
D．16
2．（3分）若cosA＝，则锐角∠A为（　　）
A．30°
B．15°
C．45°
D．60°
3．（3分）下列四边形中不是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）如图，飞机于空中A处测得目标B处的俯角为α，此时飞机的高度AC为a米，则AB的距离为（　　）米
A．atanα
B．
C．
D．
5．（3分）如图，菱形ABCD的周长为16，∠C＝120°，E，F分别为AB，AD的中点，则EF的长为（　　）
A．
B．
C．4
D．8
6．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
D．m＜1
7．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣5的图象不经过（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8．（3分）下列命题，其中是真命题的为（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形一定是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形一定是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
9．（3分）如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
10．（3分）在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是（　　）
A．小莹的速度随时间的增大而增大
B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大
C．在起跑后180秒时，两人相遇
D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面
二、填空题（每题3分，共计30分）
11．（3分）函数中自变量x的取值范围是
　
　．
12．（3分）一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根是x＝3，则a的值为
　
　．
13．（3分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣6x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1　
　y2．（填“＞”“＜”“＝”）
14．（3分）已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，BC＝8，求AC的长为
　
　．
15．（3分）如图，直线OA与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝　
　．
16．（3分）松花江商场一月份利润为100万元，三月份的利润为121万元，求这个商场二、三月利润的平均增长率
　
　．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AEC的面积为　
　．
18．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，斜边上的中线CO＝10，则AC＝　
　．
19．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，△ABO面积是24，则k的值为
　
　．
20．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝15，AD＝7，则AC＝　
　．
三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25—27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3tan30°+2cos60°．
22．（7分）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan∠ACB＝；
（2）在（1）的条件下，在图中画一个以EF为边且面积为12的平行四边形EFGH，点E、F在小正方形的格点上，连接CH，直接写出线段CH的长．
23．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣2，1）、B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积．
24．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，E在CB的延长线上，且BE＝2BD，连接AE，F是AC的中点，G是AE的中点，连接BG、BF．
（1）如图1，求证：四边形AGBF是平行四边形．
（2）如图2，连接GF、DF，GF与AB相交于点H，若GF＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．
25．（10分）和兴商店准备从希望机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍．
（1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）和兴商店将甲种零件每件售价定为220元，乙种零件每件售价定为155元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件．且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多6个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于3390元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？
26．（10分）菱形ABCD中，∠ABC＝60°，F在CA延长线上．
（1）如图1，求证：FB＝FD；
（2）如图2，E是BC上一点，EC＝AF，求证：FE＝FB；
（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AG⊥FC交FD于点G，当BE＝2，G是DF中点时，求GA的长．
27．（10分）如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b分别交x轴，y轴于点A、B，OA＝4，∠OBA的外角平分线交x轴于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）点P是线段BD上一点（不与B、D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C，设点P的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，当PC＝PB时，将射线EP绕点E旋转45°交直线AB于点F，求F点坐标．
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市南岗区九年级（上）月考数学试卷（9月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共计30分）
1．（3分）已知直角三角形两直角边长分别为5，12，则斜边长为（　　）
A．13
B．14
C．15
D．16
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：由勾股定理得，斜边长为＝13，
故选：A．
2．（3分）若cosA＝，则锐角∠A为（　　）
A．30°
B．15°
C．45°
D．60°
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：由cosA＝，则锐角∠A为45°，
故选：C．
3．（3分）下列四边形中不是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以它们是轴对称图形；
选项D不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以它不是轴对称图形；
故选：D．
4．（3分）如图，飞机于空中A处测得目标B处的俯角为α，此时飞机的高度AC为a米，则AB的距离为（　　）米
A．atanα
B．
C．
D．
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：由题意得，∠B＝α，
在Rt△ABC中，sinB＝，
则AB＝＝，
故选：C．
5．（3分）如图，菱形ABCD的周长为16，∠C＝120°，E，F分别为AB，AD的中点，则EF的长为（　　）
A．
B．
C．4
D．8
【分析】连接AC，BD交于点O，利用等边三角形的性质求得AC的长，从而利用菱形的性质求得AO和AB的长，利用勾股定理求得OB后即可求得EF的长．
【解答】解：连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，AC⊥BD，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB＝AC＝4，
∴OA＝2，
∴OB＝＝＝2，
∴BD＝2OB＝4
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF＝BD＝2．
故选：B．
6．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
D．m＜1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故选：D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣5的图象不经过（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣5，k＝2，b＝﹣5，
∴该函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
8．（3分）下列命题，其中是真命题的为（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直平分的四边形一定是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形一定是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形一定是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
9．（3分）如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【分析】本题主要掌握相似三角形的定义，根据已知条件判定相似的三角形．
【解答】解：根据题意，可得△ADE∽△ABC，
根据相似三角形对应边成比例，可知B不正确，因为AE与EC不是对应边，
所以B不成立．
故选：B．
10．（3分）在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是（　　）
A．小莹的速度随时间的增大而增大
B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大
C．在起跑后180秒时，两人相遇
D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面
【分析】A、由于线段OA表示所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，由此可以确定小莹的速度是没有变化的，
B、小莹比小梅先到，由此可以确定小梅的平均速度比小莹的平均速度是否大；
C、根据图象可以知道起跑后180秒时两人的路程，确定是否相遇；
D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定小梅是否在小莹的前面．
【解答】解：A、∵线段OA表示所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，
∴小莹的速度是没有变化的，故选项错误；
B、∵小莹比小梅先到，∴小梅的平均速度比小莹的平均速度小，故选项错误；
C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，
∴他们没有相遇，故选项错误；
D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，
∴小梅是在小莹的前面，故选项正确．
故选：D．
二、填空题（每题3分，共计30分）
11．（3分）函数中自变量x的取值范围是
　x≠1　．
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．
12．（3分）一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根是x＝3，则a的值为
　﹣3　．
【分析】把x＝3代入方程x2﹣2x+a＝0得9﹣6+a＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣2x+a＝0得9﹣6+a＝0，
解得a＝﹣3．
故答案为﹣3．
13．（3分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣6x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1　＞　y2．（填“＞”“＜”“＝”）
【分析】由k＝﹣6＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合x1＜x2，即可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣6＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵一次函数y＝﹣6x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，且x1＜x2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
14．（3分）已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，BC＝8，求AC的长为
　　．
【分析】作AH⊥BC于H．在Rt△ABH中，求出AH，BH，再求出CH，然后在Rt△ACH中利用勾股定理即可求出AC．
【解答】解：如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，
∵∠AHB＝90°，∠B＝45°，AB＝3，
∴AH＝HB＝AB?sin∠B＝3×＝3，
∴CH＝BC﹣BH＝8﹣3＝5．
在Rt△AHC中，∵∠AHC＝90°，
∴AC＝＝＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，直线OA与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝　4　．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：由题意得：S△OAB＝|k|＝2；
又由于反比例函数在第一象限，k＞0；
则k＝4．
故答案为：4．
16．（3分）松花江商场一月份利润为100万元，三月份的利润为121万元，求这个商场二、三月利润的平均增长率
　10%　．
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），利润的平均月增长率为x，那么根据题意即可得出121＝100（1+x）2．
【解答】解：设商场的二、三月份的总收入平均增长率为x，
由题意得：100（1+x）2＝121，
解之得：x＝0.1或﹣2.2；
考虑实际应用，﹣2.2不合题意舍去；
∴x＝0.1＝10%．
答：这个商场的二、三月份的总收入平均增长率为10%，
故答案为：10%．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AEC的面积为　10　．
【分析】首先证明AE＝CE，根据勾股定理列出关于线段AE的方程，解方程求出AE的长问题即可解决．
【解答】解：由题意得：∠DCA＝∠ACE；
∵四边形ABCD为矩形，
∴DC∥AB，∠B＝90°，
∴∠DCA＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴AE＝CE（设为x）；
则BE＝8﹣x；
由勾股定理得：
x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
∴△AEC的面积＝×5×4＝10．
故答案为：10．
18．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，斜边上的中线CO＝10，则AC＝　16　．
【分析】根据直角三角形的性质得出AB，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，斜边上的中线CO＝10，
∴AB＝2CO＝20，
∴AC＝，
故答案为：16．
19．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，△ABO面积是24，则k的值为
　±　．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，结合△ABO面积是24，即可得出关于k的方程，解之经检验后即可得出k＝±．
【解答】解：当y＝0时，kx+6＝0，解得：x＝﹣，
∴点A的坐标为（﹣，0）；
当x＝0时，y＝k×0+6＝6，
∴点B的坐标为（0，6）．
∴S△ABO＝×|﹣|×6＝24，
∴k＝±，
经检验，k＝±是原方程的解，且符合题意．
故答案为：±．
20．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝15，AD＝7，则AC＝　　．
【分析】作辅助线，构建相似三角形，设DG＝x，表示AC的长，再利用等角的三角函数列方程可得结论，也可以运用角平分线和勾股定理列方程来解答，但计算量比较大．
【解答】解：如图，过点B作BH∥AC，交AD的延长线于H，作BG⊥AH于G，
设DG＝x，
∵AC∥BH，
∴∠CAD＝∠H，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠H，
∴AB＝BH＝15，
∵BG⊥AH，
∴AG＝GH＝7+x，
∴DH＝7+2x，
∵∠ADC＝∠BDH，∠CAD＝∠H，
∴△ACD∽△HBD，
∴，即，
∴AC＝，
∵∠CAD＝∠H，
∴cos∠CAD＝cos∠H，
∴，即，
解得：x1＝﹣16（舍），x2＝5.5，
∴AC＝＝．
故答案为：．
三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25—27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3tan30°+2cos60°．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝?
＝，
∵x＝3×+2×＝+1，
∴原式＝＝＝．
22．（7分）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中以AB为边画Rt△ABC，点C在小正方形的格点上，使∠BAC＝90°，且tan∠ACB＝；
（2）在（1）的条件下，在图中画一个以EF为边且面积为12的平行四边形EFGH，点E、F在小正方形的格点上，连接CH，直接写出线段CH的长．
【分析】（1）如图，作∠BAC＝90°，且边AC＝3，才能满足条件；
（2）根据题意作出图形，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，Rt△BAC即为所求；
（2）如图所示，平行四边形EFGH即为所求；
线段CH＝＝．
23．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣2，1）、B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积．
【分析】（1）先设出一次函数和反比例函数的解析式，再把点A代入反比例函数的解析式，求出反比例函数的解析式，再把点B代入反比例函数的解析式，求出n的值，再用待定系数法即可确定一次函数的解析式；
（2）设直线与x轴交与点D，求出点D的坐标，分别求出三角形AOD和三角形BOD的面积，即可确定三角形AOB的面积．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，设反比例函数的解析式为y＝，
把点A（﹣2，1）代入y＝中，得1＝，
解得n＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把点B代入y＝，
得：n＝＝﹣2，
∴B（1，﹣2），
把点A，B代入y＝kx+b中，
得：，
解得：，
∴AB的解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）设AB与x轴的交点为D，
取y＝0，得﹣x﹣1＝0，
解得x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），
∴＝，，
∴．
24．（8分）已知：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，E在CB的延长线上，且BE＝2BD，连接AE，F是AC的中点，G是AE的中点，连接BG、BF．
（1）如图1，求证：四边形AGBF是平行四边形．
（2）如图2，连接GF、DF，GF与AB相交于点H，若GF＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．
【分析】（1）由AB＝AC，AD⊥BC，根据三线合一的知识，可得BC＝2BD，又由BE＝2BD，可得B是EC的中点，又由F是AC的中点，G是AE的中点，根据三角形中位线的性质，即可得BG∥AC，BF∥AE，即可判定：四边形AGBF是平行四边形．
（2）易证得四边形BGFC是平行四边形，由GF＝AB，可判定△ABC是等边三角形，继而可得△AHF，△CDF，△GHB是等边三角形．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∵BE＝2BD，
∴BC＝BE，
∵F是AC的中点，G是AE的中点，
∴BG∥AC，BF∥AE，
∴四边形AGBF是平行四边形．
（2）∵F是AC的中点，G是AE的中点，
∴GF∥BC，
∵BG∥AC，
∴四边形BGFC是平行四边形，
∴GF＝BC，
∵GF＝AB，AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
即△ABC是等边三角形，
∵GF∥BC，DF∥AB，BG∥AC，
∴△AHF∽△ABC，△CDF∽△CBA，△GBH∽△FAH，
∴△AHF，△CDF，△GHB是等边三角形，
综上可得：图2中等边三角形有：△ABC，△AHF，△CDF，△GHB．
25．（10分）和兴商店准备从希望机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若一个甲种零件的进价比一个乙种零件的进价多50元，用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍．
（1）求每个甲种零件，每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）和兴商店将甲种零件每件售价定为220元，乙种零件每件售价定为155元，商店根据市场需求，决定向该厂购进一批零件．且购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的2倍还多6个，若本次购进的两种零件全部售出后，总获利大于3390元．求该商店本次购进甲种零件至少是多少个？
【分析】（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元，根据数量＝总价÷单价结合用4000元购进甲种零件的数量是用1500元购进乙种零件的数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+6）个，根据总利润＝单个利润×销售数量结合总获利大于3390元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个乙种零件的进价为x元，则每个甲种零件的进价为（x+50）元，
依题意，得：＝2×，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是分式方程的解，且符合题意，
∴x+50＝200．
答：每个甲种零件的进价为200元，则每个乙种零件的进价为150元．
（2）设该商店本次购进甲种零件m个，则购进乙种零件（2m+6）个，
依题意，得：（220﹣200）m+（155﹣150）（2m+6）＞3390，
解得：m＞112．
∵m为正整数，
∴m的最小值为113．
答：该商店本次购进甲种零件至少是113个．
26．（10分）菱形ABCD中，∠ABC＝60°，F在CA延长线上．
（1）如图1，求证：FB＝FD；
（2）如图2，E是BC上一点，EC＝AF，求证：FE＝FB；
（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AG⊥FC交FD于点G，当BE＝2，G是DF中点时，求GA的长．
【分析】（1）证明△BAF≌△DAF（SAS），可得结论．
（2）如图2中，过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H．证明△CFH是等边三角形，再证明△EFC≌△BFH（SAS），可得结论．
（3）如图3中，连接BD交AC于点O．证明AG＝OD，求出OD即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AF＝AF，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴FB＝FD．
（2）证明：如图2中，过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠CAB＝60°，
∵FH∥AB，
∴∠H＝∠ABC＝60°，∠CFH＝∠CAB＝60°，
∴△FHC是等边三角形，
∴CF＝CH＝FH，
∵CA＝CB，
∴AF＝BH，
∵AE＝CE，
∴BH＝EC，
∵∠H∠FCE＝60°，
∴△EFC≌△BFH（SAS），
∴FE＝FB．
（3）解：如图3中，连接BD交AC于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OA＝OC，
∵AG⊥AC，
∴AG∥BD，
∵FG＝GD，
∴AF＝AO，
∴AG＝OD，
∵AC＝BC，AF＝EC，
∴BE＝EC＝2，
∴OA＝OC＝2，
∴OD＝OA＝2，
∴AG＝OD＝．
27．（10分）如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b分别交x轴，y轴于点A、B，OA＝4，∠OBA的外角平分线交x轴于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）点P是线段BD上一点（不与B、D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C，设点P的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，当PC＝PB时，将射线EP绕点E旋转45°交直线AB于点F，求F点坐标．
【分析】（1）利用角平分线的性质定理和等面积法解题；
（2）求面积先求底和高，利用三角形相似二次求解；
（3）直线分逆时针和顺时针两种方向转，然后根据∠BPC＝90°，∠BOC＝90°可得B，P，C，O四点共圆，从而得出角等量的关系，判断三角形相似，再根据相似三角形性质，求出直线的解析式，再与联立方程组，求出F的坐标．
【解答】解：（
1
）∵OA＝4，
∴A（4，0），
把A（4，0）代入，
得：b＝﹣3，
过点D作DH⊥AB于点H，则DH＝DO，BH＝BO，
∵当x＝0时，y＝3，
∴B（0，﹣3），
∴OA＝4，BO＝BH＝3，
∴，
AD＝DO+OA＝DH+4，
∵，
∴，
解得：DH＝6，
∴OD＝6，
∴点D的坐标为（﹣6，0），
（2）过点P作PE⊥OD于点E，则△DPE∽△DBO，
∵点P在直线BD
上，且点P的横坐标为t，
∴DE＝t+6，
∵OD＝6，OB＝3，
∴，
∵△DPE∽△DBO，
∴，
∴，
解得：，
∵PC⊥BD，
∴△PDC∽△ODB，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）作PH垂直于x轴于点H，设射线EP绕点E逆时针旋转45°交x轴于点K，顺时针旋转45°交x轴于点G．
∵∠BPC＝90°，∠BOC＝90°
∴B，P，C，O四点共圆，
∴∠POC＝∠PBC＝45°，
∴PH＝HG，
∴DH＝6﹣HG＝6﹣PH，
∴，
得PH＝2，
∴HC＝CG＝1，
∴OE＝2，
∵∠KEP＝∠DBC，∠PEB＝∠BDC，
∴∠KEP+∠PEB＝∠DBC+∠BDC，
即∠KEO＝∠BCO，
∴OE：GK＝CO：BO＝1：3，
∴GK＝6，
∴K（﹣6，0），
∴直线KE为：y＝﹣x﹣2，
联立方程组：，
解得x＝12，y＝﹣6，
∴F1（12，﹣6），
∵∠KEP+∠PEG＝90°，
∴∠DEG＝90°，
∴∠OEG＝∠ODE，
∴OG：OE＝OE：OD＝1：3，
∴OG＝；
∴G（，0），
∴直线EG的解析式为：y＝3x﹣2，
联立方程组：，
解得x＝，y＝2，
∴F2（，2），
综上所述：F的坐标为（12，﹣6）或（，2）．