2020-2021学年湖南省常德市四校联考八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年湖南省常德市四校联考八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列分式中是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）以下各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．2cm，4cm，6cm B．8cm，6cm，4cm
C．14cm，6cm，7cm D．2cm，3cm，6cm
3．（3分）如果将分式中的字母x与y的值分别扩大为原来的10倍，那么这个分式的值（　　）
A．扩大为原来的10倍 B．扩大为原来的20倍
C．缩小为原来的 D．不改变
4．（3分）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”，应先假设这个三角形中（　　）
A．有两个角是直角
B．有两个角是钝角
C．有两个角是锐角
D．一个角是钝角，一个角是直角
5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（　　）
A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF
6．（3分）在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝3x，∠C＝2x，则∠BAD＝（　　）
A．120° B．135° C．145° D．150°
7．（3分）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）对于非零的两个有理数a，b，规定a⊕b＝﹣，若2⊕（2x﹣1）＝0，则x的值为（　　）
A． B． C． D．﹣
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 　 　．
10．（3分）如果的值为0，那么x的值为 　 　．
11．（3分）已知x2﹣3x﹣1＝0，则x2+x﹣2的值为　 　．
12．（3分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交AB，BC于E，D，△ABC和△ACE的周长分别是15cm，9cm，则BC＝　 　cm．
13．（3分）与的最简公分母是 　 　．
14．（3分）如图，已知AB∥CF，E为AC的中点，若FC＝8cm，DB＝2cm，则AB＝　 　cm．
15．（3分）若am＝3，an＝2，则am﹣2n的值为　 　．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝x°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…，∠An﹣1BC和∠An﹣1CD的平分线交于点An，则∠An＝　 　．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1）÷+；
（2）（）﹣2+（3.14﹣π）0﹣|﹣2|．
18．（8分）解方程
（1）＝1﹣；
（2）+＝1．
19．（5分）先化简，再求值：（），其中x＝2．
20．（5分）如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、AB上两点，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝65°，AB＝13，BC＝11，DE垂直平分AB交AC、AB于E、D两点．求：
（1）∠EBC的度数；
（2）△BCE的周长．
22．（6分）已知关于x的方程无解，求a的值．
23．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，AD＝9cm，BE＝4cm，求DE的长．
24．（7分）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．
（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？
（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？
25．（10分）阅读下列解题过程，并完成问题：
若＝﹣2，求的值．
解：因为＝﹣2，所以a＝﹣2b．
所以＝＝＝．
（1）解题过程中，由得，是对分式进行了 　 　；
（2）已知＝，求的值；
（3）已知＝＝≠0，求的值．
26．（10分）已知：如图1，△DBC是等腰直角三角形，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到点A，使DA＝DF，延长BF交AC于点E．
（1）求证：△BDF≌△CDA；
（2）试说明：△ABC是等腰三角形；
（3）连接AF并延长，交BC于点G，如图2，求证：AG⊥BC．
2020-2021学年湖南省常德市四校联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列分式中是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；
B、；
C、＝；
D、；
故选：A．
2．（3分）以下各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．2cm，4cm，6cm B．8cm，6cm，4cm
C．14cm，6cm，7cm D．2cm，3cm，6cm
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
【解答】解：A、2+4＝6，不能组成三角形；
B、4+6＝10＞8，能组成三角形；
C、6+7＝13＜14，不能够组成三角形；
D、2+3＝5＜6，不能组成三角形．
故选：B．
3．（3分）如果将分式中的字母x与y的值分别扩大为原来的10倍，那么这个分式的值（　　）
A．扩大为原来的10倍 B．扩大为原来的20倍
C．缩小为原来的 D．不改变
【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
【解答】解：
＝
＝，
即分式的值不变，
故选：D．
4．（3分）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”，应先假设这个三角形中（　　）
A．有两个角是直角
B．有两个角是钝角
C．有两个角是锐角
D．一个角是钝角，一个角是直角
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解答】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”，
应先假设这个三角形有两个角是钝角，
故选：B．
5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（　　）
A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF
【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．
【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，
∴添加∠A＝∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故选：D．
6．（3分）在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝3x，∠C＝2x，则∠BAD＝（　　）
A．120° B．135° C．145° D．150°
【分析】根据三角形内角和定理求出x，再求出答案即可．
【解答】解：∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
又∵∠BAC＝x，∠B＝3x，∠C＝2x，
∴6x＝180°，
解得：x＝30°，
即∠BAC＝30°
∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝150°，
故选：D．
7．（3分）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式．
【解答】解：根据题意，得
．
故选：C．
8．（3分）对于非零的两个有理数a，b，规定a⊕b＝﹣，若2⊕（2x﹣1）＝0，则x的值为（　　）
A． B． C． D．﹣
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：根据题中的新定义化简2⊕（2x﹣1）＝0得：﹣＝0，
去分母得：2﹣2x+1＝0，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：2x﹣1≠0，
∴分式方程的解为x＝．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 　2.5×10﹣6　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6，
故答案为：2.5×10﹣6．
10．（3分）如果的值为0，那么x的值为 　﹣3　．
【分析】分式的值为零，分子等于0，分母不为0．
【解答】解：根据题意，得
，
解得x＝﹣3．
故答案是：﹣3．
11．（3分）已知x2﹣3x﹣1＝0，则x2+x﹣2的值为　11　．
【分析】已知等式两边除以x变形后，两边平方，利用完全平方公式变形即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵x≠0，
∴已知等式变形得：x﹣＝3，
两边平方得：（x﹣）2＝x2+x﹣2﹣2＝3，
则x2+x﹣2＝（x﹣）2+2＝11，
故答案为：11
12．（3分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交AB，BC于E，D，△ABC和△ACE的周长分别是15cm，9cm，则BC＝　6　cm．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∵△ABC和△ACE的周长分别是15cm，9cm，
∴AB+AC+BC＝15cm，AC+AE+EC＝AC+AE+EB＝AC+AB＝9cm，
∴BC＝15﹣9＝6（cm），
故答案为：6．
13．（3分）与的最简公分母是 　2x（x+1）（x﹣1）　．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式与的分母分别为：2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1），x2﹣x＝x（x﹣1），则与的最简公分母是2x（x+1）（x﹣1）．
故答案是：2x（x+1）（x﹣1）．
14．（3分）如图，已知AB∥CF，E为AC的中点，若FC＝8cm，DB＝2cm，则AB＝　10　cm．
【分析】根据平行线的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是AC的中点，所以根据AAS得出△ADE≌△CFE，从而得出AD＝FC，已知FC，DB的长，那么AB的长就不难求出．
【解答】解：∵AB∥CF，
∴∠ADE＝∠F，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝FC，
∵FC＝8cm，
∴AD＝8cm，
∵DB＝2cm，
∴AB＝AD+DB＝10cm，
故答案为：10．
15．（3分）若am＝3，an＝2，则am﹣2n的值为　　．
【分析】根据同底数幂的除法法则和幂的乘方的运算法则求解．
【解答】解：am﹣2n＝3÷4＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝x°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…，∠An﹣1BC和∠An﹣1CD的平分线交于点An，则∠An＝　　．
【分析】根据角平分线的定义得出∠A1BC＝ABC，∠A1CD＝ACD，根据三角形的外角性质得出∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠A+∠ABC，求出∠A1＝A，再求出∠A2，∠A3，再根据求出的结果得出答案即可．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC＝ABC，∠A1CD＝ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A1CD＝ACD＝∠A1+∠A1BC＝∠A1+ABC，∠ACD＝A+ABC，
∴∠A1＝A，
∵∠A＝x°，
∴∠A1＝x°，
同理：∠A2＝A1＝×x°＝，∠A3＝∠A2＝，
???，
∠An＝∠An﹣1＝，
故答案为：．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1）÷+；
（2）（）﹣2+（3.14﹣π）0﹣|﹣2|．
【分析】（1）先因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分，最后计算加法即可；
（2）先计算负整数指数幂、零指数幂和绝对值，再计算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝÷+
＝?+
＝+
＝
＝1；
（2）原式＝9+1﹣2
＝8．
18．（8分）解方程
（1）＝1﹣；
（2）+＝1．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：1﹣x＝x﹣2﹣3，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：x﹣2＝3﹣2＝1≠0，
∴分式方程的解为x＝3；
（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x﹣1＝0，
∴x＝1是增根，分式方程无解．
19．（5分）先化简，再求值：（），其中x＝2．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝[+]÷[﹣]
＝÷
＝÷
＝?
＝，
当x＝2时，原式＝＝．
20．（5分）如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、AB上两点，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形．
【分析】根据等边三角形的性质由△ABC为等边三角形得到∠A＝60°，由DE∥BC得到∠ADE＝∠C＝∠B＝∠AED＝60°，然后根据等边三角形的判定方法得到△ADE是等边三角形．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴∠ADE＝∠C＝∠B＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝65°，AB＝13，BC＝11，DE垂直平分AB交AC、AB于E、D两点．求：
（1）∠EBC的度数；
（2）△BCE的周长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，进而得出∠ABE＝∠A＝50°，计算即可；
（2）根据等腰三角形的判定定理得到AC＝AB＝13，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝65°，
则∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝65°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝50°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝15°；
（2）∵∠ABC＝∠C＝65°，
∴AC＝AB＝13，
∴△BCE的周长＝BC+CE+EB＝BC+CE+EA＝BC+AC＝24．
22．（6分）已知关于x的方程无解，求a的值．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：去分母，整理得（a+1）x＝2a+4，①
由于原方程无解，故有以下两种情况：
（1）方程①无实数根，即a+1＝0，
而2a+4≠0，此时a＝﹣1．
（2）方程①的根x＝是增根，则＝3，解得a＝1．
因此，a的值为﹣1或1．
23．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，AD＝9cm，BE＝4cm，求DE的长．
【分析】根据垂直的定义及直角三角形的两锐角互余得出∠CAD＝∠BCE，即可证明△CDA≌△BEC，可得CD＝BE，CE＝AD，根据DE＝CE﹣CD，即可解题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△CDA和△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS），
∴CD＝BE，CE＝AD，
∵DE＝CE﹣CD，
∴DE＝AD﹣BE，
∵AD＝9cm，BE＝4cm，
∴DE＝9cm﹣4cm＝5cm．
24．（7分）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．
（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？
（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？
【分析】（1）设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路1.5x米，根据题意，列方程解答即可；
（2）由（1）的结论列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设原计划每天修建道路x米，
可得：，
解得：x＝100，
经检验x＝100是原方程的解，
答：原计划每天修建道路100米；
（2）设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%，
可得：，
解得：y＝20，
经检验y＝20是原方程的解，
答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十．
25．（10分）阅读下列解题过程，并完成问题：
若＝﹣2，求的值．
解：因为＝﹣2，所以a＝﹣2b．
所以＝＝＝．
（1）解题过程中，由得，是对分式进行了 　约分　；
（2）已知＝，求的值；
（3）已知＝＝≠0，求的值．
【分析】（1）根据分式的分子、分母都除以b2，知道是对分式进行了约分；
（2）根据条件得：b＝2a，代入代数式中，约去a2即可得到答案；
（3）设＝k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝5k，代入代数式中，约去k，即可得到答案．
【解答】解：（1）分式的分子、分母都除以b2，
故答案为：约分；
（2）∵＝，
∴b＝2a，
∴原式＝
＝
＝；
（3）设＝k（k≠0），
则x＝3k，y＝4k，z＝5k，
∴原式＝
＝
＝．
26．（10分）已知：如图1，△DBC是等腰直角三角形，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到点A，使DA＝DF，延长BF交AC于点E．
（1）求证：△BDF≌△CDA；
（2）试说明：△ABC是等腰三角形；
（3）连接AF并延长，交BC于点G，如图2，求证：AG⊥BC．
【分析】（1）由SAS证明△FBD≌△ACD即可；
（2）由全等三角形的性质得∠DBF＝∠DCA，再证△ABE≌△CBE（ASA），得AB＝CB，即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质得AD＝DF，DB＝DC，则∠DAF＝∠DFA＝45°，再由等腰直角三角形的性质得∠DCB＝45°，然后证∠FGC＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠BDC＝90°，
∴∠CDA＝90°＝∠BDF，BD＝CD，
又∵DF＝DA，
∴△FBD≌△ACD（SAS）；
（2）由（1）得：△FBD≌△ACD，
∴∠DBF＝∠DCA，
∵∠CDA＝90°，
∴∠DAC+∠A＝90°，
∴∠DBF+∠A＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠DBF+∠A）＝90°，
∴∠CEB＝90°＝∠AEB，
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABF＝∠CBF，
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB＝CB，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）由（1）得：△FBD≌△ACD，
∴AD＝DF，DB＝DC，
∵∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠DFA＝45°，
∵△DBC是等腰直角三角形，∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∵∠GFC＝∠DFA＝45°，
∴∠FGC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴AG⊥BC．