1.4.1空间中点、直线和平面的向量表示课件(共28张PPT)
文档属性
| 名称 | 1.4.1空间中点、直线和平面的向量表示课件(共28张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-14 14:33:07 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
人教A版(2019)选择性必修第一册
第一章
空间向量与立体几何
1.4.1
空间中点、线、面的向量表示（1）
平面向量
空间向量
代数运算
推广
建系
一.复习回顾
空间向量解决了哪些几何问题？
问题
距离问题
夹角问题
平行、垂直问题
二.探究新知
几何中
点
线
面
向量中
？
？
？
点、线、面是空间的基本图形，点、线段、平面图形是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量研究立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、线、面.
如何用向量表示空间中的一个点？
思考1
定点O
P
p
如图所示，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用来表示，我们把称为点P的位置向量.
向量的坐标
起点的坐标
终点的坐标
坐标
（一）点的位置向量
如何用向量表示空间中的直线？
思考2
P
几何中
向量中
点
方向向量
a
A
B
如图所示，a是直线l的方向向量，在直线l上取=
a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线可知：
点P在直线l上
存在实数t，使得=
ta，即=
t
充要条件
一个点
一个方向
+
（2）空间直线的方向向量
=
t
P
a
A
B
进一步地，如图，取定空间中的任意一点O，
O
可以得到：P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
=+t
①
或=+t
②
①
②式称为空间直线l的向量表示.
由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
如何用向量表示空间中的平面？
思考3
（1）三点确定一个平面
（2）直线和直线外一点确定一个平面
（3）两条相交直线确定一个平面
（4）两条平行直线确定一个平面
（5）一个定点和两个定方向确定一个平面？
a
b
=
+x+
B
C
P
A
O
（3）空间平面的向量表达式
=x+
l
如何用向量表示空间中的平面？
思考
（5）一个定点和两个定方向确定一个平面？
（6）一个定点和一个定方向确定一个平面？
A
P
平面过点A，且是唯一的
a
如图，直线l，取直线l的方向向量a，称向量a为平面的法向量.
如果另有一条直线m⊥，在直线m上任取向量b
,
b与a有什么关系？
（4）平面的法向量
小试牛刀
√
×
×
√
三.典例剖析
例1．已知长方体ABCD-?A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1
=2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
（1）求平面BCC1B1的一个法向量．
（2）求平面MCA1的一个法向量．
x
y
z
D
A
B
C
D1
A1
B1
C1
M
(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
解:
(2)因为AB=4,
BC=3,
CC1
=2,M是AB的中点，所以M,C,A的坐标分别为(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此
=(-3,2,0),
=(0,-2,2),
设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则
n2
，n2，
所以
解得
令z=3，则x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
?总结
1、判断下列命题是否正确
(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量。
（
）
(2)若v是直线l的方向向量，则λv(λ∈R)也是直线l的方向向量。
（
）
(3)在空间直角坐标系中,j=(0,0,1)是坐标平面Oxy的一个法向量。
(
)
2、在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，a
,
b
,
c
,O是BD1与B1D的交点.
以{a,b,c}为空间的一个基底，求直线OA的一个方向向量.
练习
练习
练习3．在长方体ABCD-?A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1
=2，以D为原点，以{,
,
}为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面ACD1的一个法向量．
x
y
z
D
A
B
C
D1
A1
B1
C1
2．空间中直线、平面的平行
我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量．那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题．
思考
由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？
l1
l2
图1.4-8
线线平行
l
图1.4-9
图1.4-10
线面平行
面面平行
a
b
P
例2
证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
a
b
P
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
x
y
z
P
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
x
y
z
P
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
x
y
z
P
3．空间中直线、平面的垂直
思考
类似空间中直线、平面平行的向量表示在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
（1）直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；
（2）直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；
（3）平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
符号语言怎么表示呢？
l
l1
l2
(1)
(2)
(3)
B
C
D
D1
A1
B1
C1
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
A
l
例5
证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
课堂小结
人教A版(2019)选择性必修第一册
第一章
空间向量与立体几何
1.4.1
空间中点、线、面的向量表示（1）
平面向量
空间向量
代数运算
推广
建系
一.复习回顾
空间向量解决了哪些几何问题？
问题
距离问题
夹角问题
平行、垂直问题
二.探究新知
几何中
点
线
面
向量中
？
？
？
点、线、面是空间的基本图形，点、线段、平面图形是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量研究立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、线、面.
如何用向量表示空间中的一个点？
思考1
定点O
P
p
如图所示，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用来表示，我们把称为点P的位置向量.
向量的坐标
起点的坐标
终点的坐标
坐标
（一）点的位置向量
如何用向量表示空间中的直线？
思考2
P
几何中
向量中
点
方向向量
a
A
B
如图所示，a是直线l的方向向量，在直线l上取=
a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线可知：
点P在直线l上
存在实数t，使得=
ta，即=
t
充要条件
一个点
一个方向
+
（2）空间直线的方向向量
=
t
P
a
A
B
进一步地，如图，取定空间中的任意一点O，
O
可以得到：P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
=+t
①
或=+t
②
①
②式称为空间直线l的向量表示.
由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
如何用向量表示空间中的平面？
思考3
（1）三点确定一个平面
（2）直线和直线外一点确定一个平面
（3）两条相交直线确定一个平面
（4）两条平行直线确定一个平面
（5）一个定点和两个定方向确定一个平面？
a
b
=
+x+
B
C
P
A
O
（3）空间平面的向量表达式
=x+
l
如何用向量表示空间中的平面？
思考
（5）一个定点和两个定方向确定一个平面？
（6）一个定点和一个定方向确定一个平面？
A
P
平面过点A，且是唯一的
a
如图，直线l，取直线l的方向向量a，称向量a为平面的法向量.
如果另有一条直线m⊥，在直线m上任取向量b
,
b与a有什么关系？
（4）平面的法向量
小试牛刀
√
×
×
√
三.典例剖析
例1．已知长方体ABCD-?A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1
=2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
（1）求平面BCC1B1的一个法向量．
（2）求平面MCA1的一个法向量．
x
y
z
D
A
B
C
D1
A1
B1
C1
M
(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
解:
(2)因为AB=4,
BC=3,
CC1
=2,M是AB的中点，所以M,C,A的坐标分别为(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此
=(-3,2,0),
=(0,-2,2),
设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则
n2
，n2，
所以
解得
令z=3，则x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
?总结
1、判断下列命题是否正确
(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量。
（
）
(2)若v是直线l的方向向量，则λv(λ∈R)也是直线l的方向向量。
（
）
(3)在空间直角坐标系中,j=(0,0,1)是坐标平面Oxy的一个法向量。
(
)
2、在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，a
,
b
,
c
,O是BD1与B1D的交点.
以{a,b,c}为空间的一个基底，求直线OA的一个方向向量.
练习
练习
练习3．在长方体ABCD-?A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1
=2，以D为原点，以{,
,
}为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面ACD1的一个法向量．
x
y
z
D
A
B
C
D1
A1
B1
C1
2．空间中直线、平面的平行
我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量．那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题．
思考
由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？
l1
l2
图1.4-8
线线平行
l
图1.4-9
图1.4-10
线面平行
面面平行
a
b
P
例2
证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
a
b
P
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
x
y
z
P
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
x
y
z
P
A
B
C
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D1
A1
B1
C1
x
y
z
P
3．空间中直线、平面的垂直
思考
类似空间中直线、平面平行的向量表示在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
（1）直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；
（2）直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；
（3）平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
符号语言怎么表示呢？
l
l1
l2
(1)
(2)
(3)
B
C
D
D1
A1
B1
C1
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
A
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例5
证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
课堂小结