高中数学：1.2条件概率 学案 （北师大选修1-2）

1.2条件概率
自学目标
（1）通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义；
（2）掌握一些简单的条件概率的计算．
重点，难点：条件概率的定义及一些简单的条件概率的计算．
自学过程
一．创设情境
1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．
（1）两次都是正面向上的概率是多少？
（2）在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？
（3）在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？
2．问题：上述几个问题有什么区别？它们之间有什么关系？
二．学生活动
两次抛掷硬币，试验结果的基本事件组成集合，其中两次都是正面向上的事件记为，则，故．
将两次试验中有一次正面向上的事件记为，则，那么，在发生的条件下，发生的概率为．
这说明，在事件发生的条件下，事件发生的概率产生了变化．
三．建构数学
1． 若有两个事件和，在已知事件发生的条件下考虑事件发生的概率，则称此概率为已发生的条件下的条件概率，记作．
注：在“”之后的部分表示条件，区分与．
比如，若记事件“两次中有一次正面向上”为，事件“两次都是正面向上”为，则就表示“已知两次试验中有一次正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率”．
思考：若事件与互斥，则等于多少？
在上面的问题中，，我们发现
．
注：事件表示事件和事件同时发生．
2． 与的区别：
是在事件发生的条件下，事件发生的概率，表示事件和事件 同时发生的概率，无附加条件．
3．一般的，若，则在事件已发生的条件下发生的条件概率是，
.
反过来可以用条件概率表示事件发生的概率，即有乘法公式 ：
若，则,
同样有
若，则.
4． 条件概率的性质：任何事件的条件概率都在和之间，即．
必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．
四．数学运用
1．例题：
例1．抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，，求， ，， ．
解：，由古典概型可知
，，，
．
高考资源网
例2正方形被平均分成个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧个小正方形区域的事件记为，投中最上面个小正方形或正中间的个小正方形区域的事件记为，求，．
解：根据几何概型，得，，
所以 ．
例3．在一个盒子中有大小一样的个球，其中个红球，个白球．求第个人摸出个红球，紧接着第个人摸出个白球的概率．
解：记“第个人摸出红球”为事件，“第个人摸出白球” 为事件，则由乘法公式，得
答：所求概率约为．
高考资源网
例4． 设件产品中有件一等品， 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
解：设表示取得一等品，表示取得合格品，则
（1）因为件产品中有 件一等品，
（2）方法1：因为 件合格品中有 70 件一等品，又由于一等品也是合格品
.
方法2： .
2．练习：
（1）．甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%. 求：
① 乙市下雨时甲市也下雨的概率；② 甲市下雨时乙市也下雨的概率.
解 记 “甲市下雨”为事件，记“乙市下雨”为事件.
按题意有，﹪，﹪，﹪.
①乙市下雨时甲市也下雨的概率为
；
②甲市下雨时乙市也下雨的概率为
．
（2）．第页练习第题．
独立事件
自学目标
（1）理解两个事件相互独立的概念；
（2）能进行一些与事件独立有关的概率的计算．
重点，难点：理解事件的独立性，会求一些简单问题的概率．
学习过程
一．问题情境
1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．
在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？
2．问题：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响．
二．学生活动
设表示事件“第一次正面向上”， 表示事件“第二次正面向上”，由古典概型知
，，，
所以．
即，这说明事件的发生不影响事件发生的概率．
三．建构数学
1．两个事件的独立性
一般地，若事件，满足，则称事件，独立．
当，独立时，若，因为，
所以 ，反过来，
即，也独立．这说明与独立是相互的，此时事件和同时发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之积，即
．（*）
若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件，相互独立的充要条件是．今后我们将遵循此约定．
事实上，若，则，同时就有，此时不论是什么事件，都有（*）式成立，亦即任何事件都与独立．同理任何事件也与必然事件独立.
2． 个事件的独立性可以推广到个事件的独立性，且若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率．
3．对立与互斥
回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发 时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.
区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
事实上，当，时，若互斥，则，从而，但，因而等式不成立，即互斥未必独立．若独立，则，从而不互斥（否则，，导致矛盾）．
例如从一副扑克牌（５２张）中任抽一张，设“抽得老Ｋ”“抽的红牌”， “抽到Ｊ”，判断下列事件是否相互独立？是否互斥，是否对立？
①与； ②与
4．讨论研究
概率 意义
、同时发生的概率
不发生发生的概率
发生不发生的概率
、都不发生的概率
、中恰有一个发生的概率
、中至少有一个发生的概率
、中至多有一个发生的概率
四．数学运用
1．例题：
例1．求证：若事件与相互独立，则事件与也相互独立．
证：因为 所以．
因为，相互独立，所以，
于是
( http: / / www. )
( http: / / www. )
( http: / / www. )
( http: / / www. )