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专题1.1丰富的图形世界
【目标导航】
【知识梳理】
1认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
2点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
（3）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
3几何体的表面积
（1）几何体的表面积=侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式??
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh
（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②长方体表面积：2（ab+ah+bh）
（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
③正方体表面积：6a2?（a为正方体棱长）
4几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
5展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
6截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
7简单几何体的三视图
常见的几何体的三视图：
圆柱的三视图：
8简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
【典例剖析】
【考点1】认识立体图形
【例1】（2020秋?和平区期中）下列立体图形中，面数相同的是（ ）
①正方体；②圆柱；③四棱柱；④圆锥．
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
【分析】根据各种立体图形的特点可得答案．
【解析】①正方体六个面；
②圆柱三个面；
③四棱柱六个面；
④圆锥两个面，
面数相同的是①③，
故选：B．
【变式1.1】（2020秋?沈阳月考）下列几何体中，不是柱体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】对每个选项中的几何体分别进行判断即可．
【解析】圆柱体，正方体、棱柱都是柱体，而圆锥是锥体，
故选：D．
【变式1..2】（2020?浦东新区三模）已知长方体ABCD﹣EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（ ）
A．棱EA
B．棱AB
C．棱GH
D．棱GF
【分析】首先确定与GC平行的棱，再确定选项即可求解．
【解析】观察图象可知，与棱GC平行的棱有AE、BF、DH．
故选：A．
【变式1.3】（2019秋?桥东区期末）在下列立体图形中，只要两个面就能围成的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据各立体图形的构成对各选项分析判断即可得解．
【解析】A、球是由一个曲面组成，故本选项错误；
B、长方体是有六个面围成，故本选项错误；
C、圆柱体是两个底面和一个侧面组成，故本选项错误；
D、圆锥是一个底面和一个侧面组成，故本选项正确．
故选：D．
【变式1.4】（2020秋?未央区校级期中）将下列几何体分类，柱体有： （1）（2）（3） （填序号）．
【分析】解这类题首先要明确柱体的概念和定义，然后根据图示进行解答．
【解析】柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有：（1）（2）（3）．
故答案为：（1）（2）（3）．
【变式1.5】（2020秋?和平区期中）若一个直四棱柱的底面是边长为2cm的正方形，侧棱长为4cm，则这个直四棱柱的所有棱长之和是 32 cm．
【分析】利用直四棱柱的特点进行计算即可．
【解析】由题意得：这个直四棱柱的所有棱长之和是：4×2+4×2+4×4＝8+8+16＝32（cm），
故答案为：32．
【考点2】点、线、面、体
【例2】（2020秋?杏花岭区校级期中）沿图中虚线旋转一周，能围成的几何体是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“面动成体”可知，将长方形沿着长边所在的直线旋转一周，形成的几何体是圆柱，得出判断即可．
【解析】将长方形沿着一边旋转一周，所形成的几何体是圆柱，
故选：B．
【变式2.1】（2019秋?宿豫区期末）如图：CD是直角三角形ABC的高，将直角三角形ABC按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是（ ）
A．绕着AC旋转
B．绕着AB旋转
C．绕着CD旋转
D．绕着BC旋转
【分析】根据直角三角形的性质，只有绕斜边旋转一周，才可以得出组合体的圆锥，进而解答即可．
【解析】将直角三角形ABC绕斜边AB所在直线旋转一周得到的几何体是，
故选：B．
【变式2.2】（2019秋?邳州市期末）如图，在下列图形中，绕铅垂线旋转一周可得到如图所示几何体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题目中的图示可知：此圆台是直角梯形转成圆台的条件是：绕垂直于底的腰旋转．
【解析】A、是直角梯形绕高旋转形成的圆台，故A正确；
B、是直角梯形绕底边的腰旋转形成的圆柱加圆锥，故B错误；
C、绕直径旋转形成球，故C错误；
D、绕直角边旋转形成圆锥，故D错误．
故选：A．
【变式2.3】（2019秋?无锡期末）长方形纸板绕它的一条边旋转一周形成的几何体为（ ）
A．圆柱
B．棱柱
C．圆锥
D．球
【分析】根据“点动成线，线动成面，面动成体”，当长方形纸板绕它的一条边旋转一周形成圆柱体．
【解析】将长方形纸板绕它的一条边旋转，可得下面的几何体，
故选：A．
【变式2.4】（2019秋?宾县期末）粉刷墙壁时，粉刷工人用滚筒在墙上刷过几次后，墙壁马上换上了“新装”，在这个过程中，你认为下列判断正确的是（ ）
A．点动成线
B．线动成面
C．面动成体
D．面与面相交得到线
【分析】点动线，线动成面，将滚筒看做线，在运动过程中形成面．
【解析】滚筒看成是线，滚动的过程成形成面，
故选：B．
【考点3】几何体的表面积
【例3】（2020秋?南岗区校级月考）计算下列长方体表面积．（单位：厘米）
【分析】根据长方体的表面积的计算方法进行计算即可．
【解析】（6×4+6×2+4×2）×2＝88（平方厘米），
答：该长方体的表面积为88平方厘米．
【变式3.1】（2019秋?新华区校级月考）如图，圆柱的高为15cm，全面积（也称表面积）为200π平方厘米，则圆柱底面半径为多少？
【分析】设圆柱的底面半径，利用表面积等于底面积的2倍加侧面积，列出方程求解即可．
【解析】设圆柱的底面半径为rcm，由题意得，
πr2×2+2πr×15＝200π，
解得，r＝5，或r＝﹣20（舍去）
答：圆柱的底面半径为5cm．
【变式3.2】（2015秋?云霄县校级月考）将一个长为4cm、宽为3cm的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，问：得到圆柱体的表面积是多少？（表面积包括上下底面和侧面，结果保留π）
【分析】旋转后的几何体是圆柱体，先确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的表面积公式计算即可求解．
【解析】情况①：
π×3×2×4+π×32×2
＝24π+18π
＝42π（cm2）；
情况②：
π×4×2×3+π×42×2
＝24π+32π
＝56π（cm2）．
【变式3.3】（2011秋?小店区校级月考）一张长方形纸片宽为4厘米，长为6厘米．如果把这张长方形纸片绕它的长边所在直线旋转一周，得到一个几何体，请说出这个几何体的名称，并计算出它的表面积．
【分析】点动成线，线动成面，面动成体．依据圆柱的表面积等于底面面积加侧面面积，进行计算即可．
【解析】把长方形纸片绕它的长边所在直线旋转一周，得到一个高为6厘米，底面半径为4厘米的圆柱，
∴表面积＝2×π×42+6×2π×4＝32π+48π＝80π（平方厘米）．
【变式3.4】（2020秋?广饶县期中）把棱长为1cm的若干个小正方体摆放成如图所示的几何体，然后在露出的表面上涂上颜色（不含底面）
（1）该几何体中有 14个 小正方体？
（2）其中两面被涂到的有 4 个小正方体；没被涂到的有 1 个小正方体；
（3）求出涂上颜色部分的总面积．
【分析】（1）根据题意和图形可以得到该几何体中有多少个小正方体；
（2）根据题意和图形可以看出两面被涂到的有几个和没被涂到的有几个；
（3）根据图形可以得到涂上颜色部分的总面积．
【解析】（1）由图可得，
该几何体中有：1+4+9＝14（个）小正方体，
故答案为：14个；
（2）由图可得，
中两面被涂到的有4个小正方体；没被涂到的有1个小正方体，
故答案为：4，1；
（3）涂上颜色部分的总面积为：1×1×（12+9+8+4）＝33cm2，
即涂上颜色部分的总面积为33cm2．
【考点4】几何体的展开图
【例4】（2020?江北区模拟）将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是 A （填A或B）．
（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示）
（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）
【分析】（1）有“田”字格的展开图都不能围成正方体，据此可排除B，从而得出答案；
（2）可利用“1、3、2”作图（答案不唯一）；
（3）根据裁剪线裁剪，再展开．
【解析】（1）两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是A，
故答案为：A．
（2）立方体表面展开图如图所示：
（3）将其表面展开图画在方格图中如图所示：
【变式4.1】（2019秋?山西期末）图1所示的三棱柱，高为7cm，底面是一个边长为5cm的等边三角形．
（1）这个三棱柱有 9 条棱，有 5 个面．
（2）图2方框中的图形是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补全．
【分析】（1）依据三棱柱的特征，即可得到结论；
（2）依据三棱柱的侧面为长方形，底面为三角形，即可得到其展开图．
【解析】（1）三棱柱有9条棱，有5个面，
故答案为：9，5．
（2）（画法不唯一）如图所示．
【变式4.2】（2019秋?简阳市
期末）如图所示，圆柱的底面半径为3cm，高为4cm．若沿图中的线AB把圆柱的侧面展开，你认为会得到什么图形？请你求出这个侧面展开图的面积．
【分析】根据“圆柱侧面积＝底面周长×高”计算即可．
【解析】沿图中的线AB把圆柱的侧面展开，得到的是长方形，
圆柱的侧面展开图的面积是π×2×3×4＝24π（cm2）．
【变式4.3】（2019秋?襄城县期末）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为12cm．
（1）制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？
（2）若1平方米硬纸板价格为5元，则制作10个这的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）
【分析】（1）根据长方体的表面积公式计算即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【解析】（1）由题意得，2×（12×6+12×6+6×6）＝360cm2；
答：制作这样的包装盒需要360平方厘米的硬纸板；
（2）360÷10000×5×10＝1.8元，
答：制作10个这的包装盒需花费1.8元钱．
【变式4.4】（2018秋?雨城区校级月考）如图是一个棱柱形状的食品包装盒的侧面展开图．
（1）请写出这个包装盒的几何体的名称： 三棱柱 ；
（2）若AC＝3，BC＝4，AB＝5，DF＝6，计算这个多面体的侧面积．
【分析】（1）根据图示可知有三个长方形和2个三角形组成，故可知是三棱柱；
（2）这个多面体的侧面积是三个长方形的面积和．
【解析】（1）共有3个长方形组成侧面，2个三角形组成底面，故是三棱柱；
故答案为：三棱柱；
（2）∵AB＝5，AD＝3，BE＝4，DF＝6
∴侧面积为3×6+5×6+4×6＝18+30+24＝72．
【考点5】展开图折叠成几何体
【例5】（2019春?嘉定区期末）（1）如图1所示的四个图分别由六个相同的正方形拼接而成，其中不能折成正方体的是 D ．
（2）用斜二测画法补画图2，使它成为长方体的直观图．（注：遮住的线段用虚线表示，保留痕迹，不必写画法）
（3）在这一长方体中，从同一个顶点出发的三个面的面积之比为5：7：2，其中最大的面积比最小的面积大30cm2，求这个长方体的表面积．
【分析】（1）正方体的展开图1﹣4﹣1型，只有D不是这种情况，所以D不能折成正方体；
（2）根据斜二测画法作图即可得；
（3）设三个面的面积分别为5xcm2、7xcm2、2xcm2根据等量关系列方程解答．
【解析】（1）D
不能折成正方体，
故答案为：D；
（2）作图如图：
（3）设这三个面的面积分别为5xcm2、7xcm2、2xcm2，
7x﹣2x＝30，
x＝6，
2×（5×6+7×6+2×6）＝168（cm2）．
答：这个长方体的表面积是168cm2．
【变式5.1】（2019秋?垦利区期中）用一根长80厘米的铁丝围成一个长方体，长、宽、高的比是5：3：2，这个长方体的体积是多少？
【分析】依据长、宽、高的比是5：3：2，即可得出这个长方体的长、宽、高，进而得到其体积．
【解析】由题可得，长、宽、高的比是5：3：2，
∴长为8010（cm），
宽为806（cm），
高为804（cm），
∴这个长方体的体积是10×6×4＝240（cm3）．
【变式5.2】（2019秋?怀柔区期末）在把如图折叠成正方体后，
（1）AB与GB的位置关系是 垂直 ；
（2）CB与GB的位置关系是 垂直 ；
（3）AB与BC的位置关系是 重合 ，理由解释为 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ．
【分析】根据正方体的展开与折叠、两直线的位置关系解答即可．
【解析】（1）AB与GB的位置关系是垂直；
（2）CB与GB的位置关系是垂直；
（3）AB与BC的位置关系是重合，理由解释为：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故答案为：垂直，垂直，重合，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【变式5.3】（2019秋?碑林区校级月考）用长为12厘米、宽为6厘米的长方形纸片围成一个圆柱的侧面（不计损耗），求得到圆柱的表面积．（π取3）
【分析】由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，长方形的长和宽已知，也就等于知道了圆柱的底面周长和高，于是可以求出其底面积，进而求其表面积．
【解析】底面周长是12cm，高6cm时，圆柱的表面积为：12×67296（cm2）；
底面周长是6cm，高12cm时，圆柱的表面积为：12×67278（cm2）．
【考点6】截一个几何体
【例6】（2020秋?郓城县期中）一个圆柱的底面半径是10cm，高是18cm，把这个圆柱放在水平桌面上，如图所示．
（1）如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
（2）如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
（3）怎样截时所得的截面是长方形且长方形的面积最大，请你求出这个截面面积．
【分析】（1）用水平的平面去截，所得到的截面形状与圆柱体的底面相同，是圆形的；
（2）用竖直的平面去截，所得到的截面形状为长方形的；
（3）求出当截面最大时，长方形的长和宽，即可求出面积
【解析】（1）所得的截面是圆；
（2）所得的截面是长方形；
（3）当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，
这时，长方形的一边等于圆柱的高，长方形的另一边等于圆柱的底面直径，
则这个长方形的面积为：10×2×18＝360（cm2）．
【变式6.1】（2017秋?铁西区期中）我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱．
（1）请写出截面的形状；
（2）请直接写出四边形DECB的周长．
【分析】（1）依据大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱，即可得到截面的形状；
（2）依据△ADE是周长为3的等边三角形，△ABC是周长为10的等边三角形，即可得到四边形DECB的周长．
【解析】（1）由题可得，截面的形状为长方形；
（2）∵△ADE是周长为3的等边三角形，
∴DE＝AD＝1，
又∵△ABC是周长为10的等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∴DB＝EC1，
∴四边形DECB的周长＝129．
【变式6.2】（2015秋?蓝田县校级月考）将如图中几何体的截面用阴影部分表示出来，并分别指出它们的形状．
【分析】观察图形即可得出答案．
【解析】如图所示：
如图①所示，截面是一个三角形；
如图②所示，截面是一个梯形．
【变式6.3】（2015秋?威海期中）用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码．
如A（1、5、6）；则B（ 1，3，4 ）；C（ 1，2，3，4 ）；D（ 5 ）；E（ 3，5，6 ）．
【分析】分别分析其余四种图形的所有的截面情况，再写出答案．
【解析】B三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形
C正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形
D球体，截面只可能是圆
E圆柱体，截面有可能是椭圆，圆，矩形，
因此应该写B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）．
【变式6.4】一个长方体长2米，截面是边长3厘米的正方形，将这个长方体木料锯成五段后，表面积一共增加了多少平方厘米？
【分析】根据长方体的切割特点可知，切割成五段后，增加的表面积是8个长方体的截面的面积．
【解析】增加的表面积为8×32＝72（平方厘米），
答：表面积一共增加了72平方厘米．
【考点7】简单几何体的三视图
【例7】（2008秋?安宁市校级期末）请你画出如图几何体的三视图．
【分析】从正面，左面，上面看圆柱得到的图形分别是长方形，长方形，圆．
【解析】如图所示：
【变式7.1】如图所示，观察左图，并在右边的三视图中标出几何体中的相应字母的位置．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面所看到的图形，从而得出答案．
【解析】根据题意如图：
【变式7.2】如图是一颗正方体骰子，分别画出从正面、左面、上面看这颗骰子得到的平面图形．
【分析】分别画出主视图、左视图、俯视图即可．
【解析】主视图为：
；
左视图为：
；
俯视图为：
．
【变式7.3】如图，画出这些立体图形的从各面看的示意图．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作图．
【解析】（1）如图：
；
（2）如图：
；
（3）如图：
；
（4）如图：
．
【变式7.4】指出下列立体图形的对应的俯视图，在括号里填上对应的字母．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图象判定则可．
【解析】A是一圆锥，其俯视图是中间带有一点的圆；B是一圆柱，其俯视图是圆；D是一三棱锥，其俯视图是三角形加中心到三个顶点的连线；D是一长方体，其俯视图是长方形．故：
【考点8】组合体的三视图
【例8】（2020秋?郫都区期中）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
（1）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）： 26cm2 ；
（2）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
【分析】（1）三视图面积和的2倍即可；
（2）利用三视图的画法画出图形即可．
【解析】（1）（5+4+4）×2＝26（cm2），
故答案为：26cm2；
（2）根据三视图的画法，画出相应的图形如下：
【变式8.1】（2020春?楚雄州期末）一个几何体由一些大小相同的小正方块儿搭建，如图是从上面看到的这个几何体的形状如图，小正方形的数字表示在该位置的小正方块儿的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．
【分析】根据主视图，左视图的定义画出图形即可．
【解析】主视图，左视图如图所示：
【变式8.2】（2020秋?汉滨区校级期中）画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图：
【分析】主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1；俯视图，3列，每列小正方形数目分别为3，1，1．
【解析】作图如下：
【变式8.3】（2020秋?锦江区校级期中）由7个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，
（1）请画出它的三视图？
（2）请计算它的表面积？（棱长为1）
【分析】（1）主视图从左往右3列正方形的个数依次为2，1，2；左视图从左往右2列正方形的个数依次为2，1；俯视图从左往右3列正方形的个数依次为2，2，1，依此画出图形即可；
（2）查出从前后，上下，左右可以看到的面，然后再加上中间空两边的两个正方形的2个面，进行计算即可求解．
【解析】（1）如图所示：
（2）从正面看，有5个面，从后面看有5个面，
从上面看，有5个面，从下面看，有5个面，
从左面看，有3个面，从右面看，有3个面，
中间空处的两边两个正方形有2个面，
∴表面积为（5+5+3）×2+2＝26+2＝28．
【变式8.4】（2014秋?围场县校级期末）连线：将图中四个物体与（下面一排中）其相应的俯视图连接起来．
【分析】俯视图是从物体上面所看到的图形，可根据各立体图形的特点进行判断．
【解析】如图所示：
【考点9】由三视图判断几何体
【例9】（2020秋?英德市期中）如图是分别从正面、左面、上面观察一个几何体得到的图形，请解答以下问题：
（1）这个几何体的名称为 三棱柱 ；
（2）若从正面看到的是长方形，其长为10cm；从上面看到的是等边三角形，其边长为4cm，求这个几何体的侧面积．
【分析】（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都是长方形，俯视图为三角形，故可判断出该几何体是三棱柱；
（2）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可．
【解析】（1）这个几何体是三棱柱．
故答案为：三棱柱；
（2）三棱柱的侧面展开图形是长方形，长方形的长是等边三角形的周长，宽是三棱柱的高，
所以三棱柱侧面展开图形的面积为：
S＝3×4×10＝120（cm2）．
答：这个几何体的侧面积为120cm2．
【变式9.1】（2020?无为县一模）如图是一个几何体的三视图（单位：cm）．
（1）这个几何体的名称是 圆锥 ；
（2）根据图中尺寸，求这个几何体的表面积．（结果保留π）
【分析】（1）根据三视图即可得出该几何体是圆锥体；
（2）根据圆锥体的表面积公式计算可得．
【解析】（1）由三视图知该几何体是圆锥，
故答案为：圆锥；
（2）圆锥体的表面积为13×10π+π×52＝90π．
【变式9.2】（2019秋?大田县期末）已知下图为从正面、左面、上面看到的一个几何体的形状图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）若从正面看到的长方形的宽为3cm，从上面看到的正方形的边长为8cm，求这个几何体的表面积．
【分析】（1）直接利用三视图可得出几何体的形状；
（2）利用已知各棱长得出长方体的表面积即可．
【解析】（1）这个几何体的名称是长方体（四棱柱）；
（2）S＝8×8×2+8×3×4＝64×2+24×4＝224（cm2）．
故这个几何体的表面积是224cm2．
【变式9.3】（2019秋?崂山区期末）如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图．
（1）画出这个几何体的一种表面展开图；
（2）求该正六角螺母的侧面积．
【分析】（1）根据正六角螺母毛坯的三视图画这个几何体的一种表面展开图，六棱柱的侧面展开图是长方形，底面是正六边形即可画出；
（2）正六角螺母的侧面积是六个长方形面积的和．
【解析】（1）如图即为这个几何体的一种表面展开图；
（2）这个正六角螺母的侧面积为：
6×S长方形＝6×3×2＝36cm2．
答：该正六角螺母的侧面积为36cm2．
【变式9.4】（2019秋?福安市期中）如图是一几何体从三个不同的方向看到的图形．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）若从正面看到的图形的长是8cm，从上面看到的圆的直径为4cm，
求这个几何体的侧面积（结果保留π）．
【分析】（1）根据该几何体的主视图与左视图是矩形，俯视图是圆可以确定该几何体是圆柱；
（2）根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可．
【解析】（1）该几何体是圆柱．
（2）π×4×8＝32π（cm2）．
答：这个几何体的侧面积是32πcm2．
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专题1.1丰富的图形世界
【目标导航】
【知识梳理】
1认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
2点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
（3）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
3几何体的表面积
（1）几何体的表面积=侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式??
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh
（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②长方体表面积：2（ab+ah+bh）
（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
③正方体表面积：6a2?（a为正方体棱长）
4几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
5展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
6截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
7简单几何体的三视图常见的几何体的三视图：
圆柱的三视图：
8简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
【典例剖析】
【考点1】认识立体图形
【例1】（2020秋?和平区期中）下列立体图形中，面数相同的是（ ）
①正方体；②圆柱；③四棱柱；④圆锥．
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
【变式1.1】（2020秋?沈阳月考）下列几何体中，不是柱体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1..2】（2020?浦东新区三模）已知长方体ABCD﹣EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（ ）
A．棱EA
B．棱AB
C．棱GH
D．棱GF
【变式1.3】（2019秋?桥东区期末）在下列立体图形中，只要两个面就能围成的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1.4】（2020秋?未央区校级期中）将下列几何体分类，柱体有： （填序号）．
【变式1.5】（2020秋?和平区期中）若一个直四棱柱的底面是边长为2cm的正方形，侧棱长为4cm，则这个直四棱柱的所有棱长之和是 cm．
【考点2】点、线、面、体
【例2】（2020秋?杏花岭区校级期中）沿图中虚线旋转一周，能围成的几何体是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2.1】（2019秋?宿豫区期末）如图：CD是直角三角形ABC的高，将直角三角形ABC按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是（ ）
A．绕着AC旋转
B．绕着AB旋转
C．绕着CD旋转
D．绕着BC旋转
【变式2.2】（2019秋?邳州市期末）如图，在下列图形中，绕铅垂线旋转一周可得到如图所示几何体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2.3】（2019秋?无锡期末）长方形纸板绕它的一条边旋转一周形成的几何体为（ ）
A．圆柱
B．棱柱
C．圆锥
D．球
【变式2.4】（2019秋?宾县期末）粉刷墙壁时，粉刷工人用滚筒在墙上刷过几次后，墙壁马上换上了“新装”，在这个过程中，你认为下列判断正确的是（ ）
A．点动成线
B．线动成面
C．面动成体
D．面与面相交得到线
【考点3】几何体的表面积
【例3】（2020秋?南岗区校级月考）计算下列长方体表面积．（单位：厘米）
【变式3.1】（2019秋?新华区校级月考）如图，圆柱的高为15cm，全面积（也称表面积）为200π平方厘米，则圆柱底面半径为多少？
【变式3.2】（2015秋?云霄县校级月考）将一个长为4cm、宽为3cm的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，问：得到圆柱体的表面积是多少？（表面积包括上下底面和侧面，结果保留π）
【变式3.3】（2011秋?小店区校级月考）一张长方形纸片宽为4厘米，长为6厘米．如果把这张长方形纸片绕它的长边所在直线旋转一周，得到一个几何体，请说出这个几何体的名称，并计算出它的表面积．
【变式3.4】（2020秋?广饶县期中）把棱长为1cm的若干个小正方体摆放成如图所示的几何体，然后在露出的表面上涂上颜色（不含底面）
（1）该几何体中有 小正方体？
（2）其中两面被涂到的有 个小正方体；没被涂到的有 个小正方体；
（3）求出涂上颜色部分的总面积．
【考点4】几何体的展开图
【例4】（2020?江北区模拟）将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形．
（1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是 A （填A或B）．
（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图．（用阴影表示）
（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中．（用阴影表示）
【变式4.1】（2019秋?山西期末）图1所示的三棱柱，高为7cm，底面是一个边长为5cm的等边三角形．
（1）这个三棱柱有 条棱，有 个面．
（2）图2方框中的图形是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补全．
【变式4.2】（2019秋?简阳市
期末）如图所示，圆柱的底面半径为3cm，高为4cm．若沿图中的线AB把圆柱的侧面展开，你认为会得到什么图形？请你求出这个侧面展开图的面积．
【变式4.3】（2019秋?襄城县期末）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为12cm．
（1）制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？
（2）若1平方米硬纸板价格为5元，则制作10个这的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）
【变式4.4】（2018秋?雨城区校级月考）如图是一个棱柱形状的食品包装盒的侧面展开图．
（1）请写出这个包装盒的几何体的名称：
；
（2）若AC＝3，BC＝4，AB＝5，DF＝6，计算这个多面体的侧面积．
【考点5】展开图折叠成几何体
【例5】（2019春?嘉定区期末）（1）如图1所示的四个图分别由六个相同的正方形拼接而成，其中不能折成正方体的是 ．
（2）用斜二测画法补画图2，使它成为长方体的直观图．（注：遮住的线段用虚线表示，保留痕迹，不必写画法）
（3）在这一长方体中，从同一个顶点出发的三个面的面积之比为5：7：2，其中最大的面积比最小的面积大30cm2，求这个长方体的表面积．
【变式5.1】（2019秋?垦利区期中）用一根长80厘米的铁丝围成一个长方体，长、宽、高的比是5：3：2，这个长方体的体积是多少？
【变式5.2】（2019秋?怀柔区期末）在把如图折叠成正方体后，
（1）AB与GB的位置关系是
；
（2）CB与GB的位置关系是
；
（3）AB与BC的位置关系是
，理由解释为
．
【变式5.3】（2019秋?碑林区校级月考）用长为12厘米、宽为6厘米的长方形纸片围成一个圆柱的侧面（不计损耗），求得到圆柱的表面积．（π取3）
【考点6】截一个几何体
【例6】（2020秋?郓城县期中）一个圆柱的底面半径是10cm，高是18cm，把这个圆柱放在水平桌面上，如图所示．
（1）如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
（2）如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是什么形状？
（3）怎样截时所得的截面是长方形且长方形的面积最大，请你求出这个截面面积．
【变式6.1】（2017秋?铁西区期中）我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱．
（1）请写出截面的形状；
（2）请直接写出四边形DECB的周长．
【变式6.2】（2015秋?蓝田县校级月考）将如图中几何体的截面用阴影部分表示出来，并分别指出它们的形状．
【变式6.3】（2015秋?威海期中）用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码．
如A（1、5、6）；则B（
）；C（
）；D（
）；E（
）．
【变式6.4】一个长方体长2米，截面是边长3厘米的正方形，将这个长方体木料锯成五段后，表面积一共增加了多少平方厘米？
【考点7】简单几何体的三视图
【例7】（2008秋?安宁市校级期末）请你画出如图几何体的三视图．
【变式7.1】如图所示，观察左图，并在右边的三视图中标出几何体中的相应字母的位置．
【变式7.2】如图是一颗正方体骰子，分别画出从正面、左面、上面看这颗骰子得到的平面图形．
【变式7.3】如图，画出这些立体图形的从各面看的示意图．
【变式7.4】指出下列立体图形的对应的俯视图，在括号里填上对应的字母．
【考点8】组合体的三视图
【例8】（2020秋?郫都区期中）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
（1）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）： 26cm2 ；
（2）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
【变式8.1】（2020春?楚雄州期末）一个几何体由一些大小相同的小正方块儿搭建，如图是从上面看到的这个几何体的形状如图，小正方形的数字表示在该位置的小正方块儿的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．
【变式8.2】（2020秋?汉滨区校级期中）画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图：
【变式8.3】（2020秋?锦江区校级期中）由7个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，
（1）请画出它的三视图？
（2）请计算它的表面积？（棱长为1）
【变式8.4】（2014秋?围场县校级期末）连线：将图中四个物体与（下面一排中）其相应的俯视图连接起来．
【考点9】由三视图判断几何体
【例9】（2020秋?英德市期中）如图是分别从正面、左面、上面观察一个几何体得到的图形，请解答以下问题：
（1）这个几何体的名称为
；
（2）若从正面看到的是长方形，其长为10cm；从上面看到的是等边三角形，其边长为4cm，求这个几何体的侧面积．
【变式9.1】（2020?无为县一模）如图是一个几何体的三视图（单位：cm）．
（1）这个几何体的名称是
；
（2）根据图中尺寸，求这个几何体的表面积．（结果保留π）
【变式9.2】（2019秋?大田县期末）已知下图为从正面、左面、上面看到的一个几何体的形状图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）若从正面看到的长方形的宽为3cm，从上面看到的正方形的边长为8cm，求这个几何体的表面积．
【变式9.3】（2019秋?崂山区期末）如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图．
（1）画出这个几何体的一种表面展开图；
（2）求该正六角螺母的侧面积．
【变式9.4】（2019秋?福安市期中）如图是一几何体从三个不同的方向看到的图形．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）若从正面看到的图形的长是8cm，从上面看到的圆的直径为4cm，
求这个几何体的侧面积（结果保留π）．
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