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专题1.5基本平面图形
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【知识梳理】
1直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
2直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．?
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
3两点间的距离
（1）两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
4角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始
边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
（5）比较角的大小有两种方法：
①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．
②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
5角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
6方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
7多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
8圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念：连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
【典例剖析】
【考点1】直线、射线、线段的认识
【例1】（2020春?哈尔滨月考）如图所示是一段火车路线图，A、B、C、D、E是五个火车站，在这条线路上往返行车需要印制 20 种火车票．
【分析】根据线段的定义找出线段的条数，再根据车票的起始站的不同，乘以2即可得到车票的种数．
【解析】图中线段有：AB、AC、AD、AE，BC、BD、BE，CD、CE、DE
共10条，
∵每条线段应印2种车票，
∴共需印10×2＝20种车票．
故答案为：20．
【变式1.1】（2019秋?顺义区期末）若在直线l上取6个点，则图中一共出现 12 条射线和 15 线段．
【分析】依据直线上点的个数，即可数出射线、线段的条数，进而得到规律．
【解析】若直线l上有2个点，一共有1条线段；
若直线l上有3个点，一共有1+2＝3条线段；
若直线l上有4个点，一共有1+2+3＝6条线段；
…
若直线l上有n个点，一共有n（n﹣1）条线段，则当n＝6时，一共有15条线段；
同理，直线L上有n个点（n是正整数），那么在直线L上就有2n条射线，故但n＝6时，一共有12条射线．
故答案为：12；15．
【变式1.2】（2019秋?潍坊期中）如图所示，若图中共有m条线段，n条射线，则m+n＝ 26 ．
【分析】根据线段、射线的定义解题．
【解析】图中有线段OA、OB、OC、OD、AC、BD、AB、BC、CD、AD计10条，
射线共有16条．
∴m＝10，n＝16，
∴m+n＝26．
故答案为：26．
【变式1.3】（2019秋?青州市校级月考）下列说法中：①直线是射线长度的2倍；②线段AB是直线AB的一部分；③延长射线OA到B．正确的序号是 ② ．
【分析】根据射线、线段、直线的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【解析】①直线和射线不能度量，故不符合题意；
②线段AB是直线AB的一部分；故本选项符合题意；
③延长射线OA到B射线不能延长，所以，延长射线OA到点B错误，故本选项不符合题意；
故答案为：②．
【变式1.4】（2019秋?彭水县期末）如图，在平面内有A，B，C三点．
（1）画直线AB，射线AC，线段BC；
（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接AD，并延长AD至E，使DE＝AD；
（3）数一数，此时图中线段共有 8 条．
【分析】（1）依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线AB，线段BC，射线AC；
（2）依据在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD即可；
（3）根据图中的线段为AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，即可得到图中线段的条数．
【解析】（1）如图，直线AB，线段BC，射线AC即为所求；
（2）如图，线段AD和线段DE即为所求；
（3）由题可得，图中线段的条数为8，
故答案为：8．
【考点2】直线、线段的性质
【例2】（2019秋?江汉区期末）已知A，B，C，D，E五个点不在同一直线上，过其中任意两点作一条直线，可作出直线的条数为 5或6或8或10条 ．
【分析】根据题意画出图形即可．
【解析】如图：
，
可作出直线的条数为5或6或8或10条，
故答案为：5或6或8或10条．
【变式2.1】（2019秋?江北区期末）下列三个现象：
①用两个钉子可以把一根木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行数在一条直线上；
③从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料；其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有 ①② （填序号）．
【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短进行分析即可．
【解析】①用两个钉子可以把一根木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行数在一条直线上，根据是两点确定一条直线；
③从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料，根据是两点之间线段最短；
故答案为：①②．
【变式2.2】（2019秋?汾阳市期末）已知平面上点A，B，C，D（每三点都不在一条直线上）．
（1）经过这四点最多能确定 6 条直线．
（2）如图这四点表示公园四个地方，如果点B，C在公园里湖对岸两处，A，D在湖面上，要从B到C筑桥，从节省材料的角度考虑，应选择图中两条路中的哪一条？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择哪一条？为什么？
【分析】（1）两点确定一条直线，即可得出经过这四点最多能确定6条直线；
（2）依据两点之间线段最短，即可得到结论．
【解析】（1）经过这四点最多能确定6条直线：直线AB，直线AD，直线BC，直线CD，直线AC，直线BD，
故答案为：6；
（2）从节省材料的角度考虑，应选择图中路线2；如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择路线1，
因为两点之间，线段最短，路线2比路线1短，可以节省材料；而路线1较长，可以在桥上较长时间观赏湖面风光．
【变式2.3】（2019秋?平江县期末）阅读下列材料并填空：
（1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？
我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画1条直线，平面内有3个点时，一共可以画3条直线，平面上有4个点时，一共可以画6条直线，平面内有5个点时，一共可以画 10 条直线，…平面内有n个点时，一共可以画 条直线．
（2）运用：某足球比赛中有22个球队进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？
【分析】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．
【解析】（1）平面内有5个点时，一共可以画条直线，
平面内有n个点时，一共可以画条直线；
（2）某足球比赛中有22个球队进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行场比赛，
故答案为：10；．
【变式2.4】（2019秋?行唐县期末）如图某学校从教学楼到图书馆总有少数同学不走人行道，而横穿草坪．
（1）试用所学的知识来说明少数学生这样走的理由；
（2）请问学生这样走行吗？如不行请你在草坪上竖起一个牌子，写上一句话来警示学生应该怎样做．
【分析】（1）直接利用两点之间线段最短得出答案；
（2）直接利用爱护花草的警示语写就行．
【解析】（1）少数学生这样走的理由是：两点之间，线段最短；
（2）学生这样走不行，
可以是：脚下留情（答案不唯一）．
【考点3】线段的中点及计算问题
【例3】（2020秋?锦江区校级期中）如图，线段AB＝8cm，C是线段AB上一点，AC＝3cm，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）求线段CM、NM的长；
（2）若线段AC＝m，线段BC＝n，求MN的长度（m＜n用含m，n的代数式表示）．
【分析】（1）求出AM长，代入CM＝AM﹣AC求出即可；分别求出AN、AM长，代入MN＝AM﹣AN求出即可；
【解析】（1）∵AB＝8cm，M是AB的中点，
∴AMAB＝4cm，
∵AC＝3cm，
∴CM＝AM﹣AC＝4﹣3＝1（cm）；
∵AB＝8cm，AC＝3cm，M是AB的中点，N是AC的中点，
∴AMAB＝4cm，ANAC＝1.5cm，
∴MN＝AM﹣AN＝4﹣1.5＝2.5（cm）；
（2）∵AC＝m，BC＝n，
∴AB＝AC+BC＝m+n，
∵M是AB的中点，N是AC的中点，
∴AMAB（m+n），ANACm，
∴MN＝AM﹣AN（m+n）mn．
【变式3.1】（2019秋?宿豫区期末）画直线l，并在直线l上任取三个点A、B、C，使AB＝10，BC＝4，分别画线段AB、BC的中点E、F，求线段EF的长．
【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．
【解析】因为点E、F分别是线段AB、BC的中点，
所以，；
第一种：点C在点B的右侧，
因为
EF＝BE+BF，
所以；
第二种：点C在点B的左侧，
因为
EF＝BE﹣BF，
所以．
综上：EF＝7或3．
【变式3.2】（2019秋?东湖区校级期末）已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，
（1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣16|+（b﹣4）2＝0，求a+b的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE的长；
（3）如图2，若AB＝17，AD＝2BE，求线段CE的长．
【分析】（1）由|a﹣16|+（b﹣4）2＝0，根据非负数的性质即可推出a、b的值，代入计算即可；
（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC＝8，然后由AE＝AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度；
（3）首先设BE＝x，根据线段中点的性质推出AD、DE关于x的表达式，即DE＝AD＝2x，由图形推出AD+DE+BE＝17，即可得方程：x+2x+2x＝17，通过解方程推出x，即BE，最后由BC＝8.5，即可求出CE的长度．
【解析】（1）∵|a﹣16|+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣16＝0，b﹣4＝0，
∴a＝16，b＝4，
∴a+b＝16+4＝20；
（2）∵点C为线段AB的中点，AB＝16，CE＝4，
∴ACAB＝8，
∴AE＝AC+CE＝12，
∵点D为线段AE的中点，
∴DEAE＝6，
（3）设BE＝x，则AD＝2BE＝2x，
∵点D为线段AE的中点，
∴DE＝AD＝2x，
∵AB＝17，
∴AD+DE+BE＝17，
∴x+2x+2x＝17，
解方程得：x，即BE，
∵AB＝17，C为AB中点，
∴BCAB，
∴CE＝BC﹣BE．
【变式3.3】（2019秋?五峰县期末）如图，点C在线段AB上，M、N分别是线段AC、BC的中点，
（1）若AC＝7cm，BC＝5cm，求线段MN的长；
（2）若AB＝a，点C为线段AB上任意一点，你能用含a的代数式表示MN的长度吗？若能，请写出结果与过程，若不能，请说明理由．
（3）若将（2）中“点C为线段AB上任意一点”改为“点C为直线AB上任意一点”，其余条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？请画图并写出说明过程．
【分析】（1）由中点的定义可得MN＝MC+CN＝6cm；
（2）将（1）中推导过程中的AB＝6换为AB＝a即可；
（3）分两种情况说明：当点C在线段AB延长线上时，MN＝MC﹣NCACBCAB；当点C在线段BA延长线上时，MN＝NC﹣CMBCACAB．
【解析】（1）∵AC＝7cm，点M是AC的中点，
∴MCACcm，
∵BC＝5cm，点N为BC的中点，
∴CNBCcm，
∴MN＝MC+CN＝6cm；
（2）∵点M是AC的中点，
∴MCAC，
∵点N为BC的中点，
∴CNBC，
∴MN＝MC+CNACBCABa；
（3）结论成立；
理由如下：
当点C在线段AB延长线上时，
∵点N为BC的中点，
∴CN＝BNBC，
∵点M是AC的中点，
∴MCAC，
∴MN＝MC﹣NCACBCAB；
当点C在线段BA延长线上时，
∵点N为BC的中点，
∴CN＝BNBC，
∵点M是AC的中点，
∴MCAC，
∴MN＝NC﹣CMBCACAB；
综上所述，（2）的结论成立．
【变式3.4】（2019秋?姜堰区期末）如图：A、B、C、D四点在同一直线上．
（1）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC ＝ BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BCAC，且AC＝12cm，则AD的长为 15 cm；
（2）若线段AD被点B、C分成了3：4：5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．
【分析】（1）①根据等式的性质，得出答案；②求出BC的值，在求出AB、CD的长，进而求出AD的长即可；
（2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可．
【解析】（1）①∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即，AC＝BD，
故答案为：＝；
②∵BCAC，且AC＝12cm，
∴BC12＝9（cm），
∴AB＝CD＝AC﹣BC＝12﹣9＝3（cm），
∴AD＝AC+CD＝12+3＝15（cm），
故答案为：15；
（2）如图，
设每份为x，则AB＝3x，BC＝4x，CD＝5x，AD＝12x，
∵M是AB的中点，点N是CD的中点N，
∴AM＝BMx，CN＝DNx，
又∵MN＝16，
∴x+4xx＝16，
解得，x＝2，
∴AD＝12x＝24（cm），
答：AD的长为24cm．
【考点4】两点间的距离问题
【例4】（2020春?新泰市期末）已知点A、B、C在一条直线上，AB＝5cm，BC＝3cm，则AC的长为 2cm或8cm ．
【分析】分类讨论，C在线段AB上，C在线段AB的延长线上，根据线段的和差，可得答案．
【解析】若C在线段AB上，
则AC＝AB﹣BC＝5﹣3＝2（cm）；
若C在线段AB的延长线上，
则AC＝AB+BC＝5+3＝8（cm），
故答案为2cm或8cm．
【变式4.1】（2020秋?铁西区期中）如图，已知点C，D在线段AB上，且AC：CD：DB＝2：5：3，AC＝4cm，若点M是线段AD的中点，求线段BM的长．
【分析】设AC＝2xcm，CD＝5xcm，BD＝3xcm，由AC＝4cm，得到2x＝4，求得x＝2，于是得到AC＝2×2＝4（cm），CD＝5×2＝10（cm），DB＝3×2＝6（cm），根据线段中点的定义得到结论．
【解析】设AC＝2xcm，CD＝5xcm，BD＝3xcm，
∵AC＝4cm，
∴2x＝4，
解得：x＝2，
∴AC＝2×2＝4（cm），CD＝5×2＝10（cm），DB＝3×2＝6（cm），
∴AD＝AC+CD＝4+10＝14（cm），
∵点M是线段AD的中点，
∴DMAD14＝7（cm），
∴BM＝BD+DM＝6+7＝13（cm）．
【变式4.2】（2020春?延庆区期中）已知：点M是直线AB上的点，线段AB＝12，AM＝2，点N是线段MB的中点，画出图形并求线段MN的长．
【分析】本题主要考查两点间的距离，可分两种情况：①点M在点A左侧，②点M在点A右侧，结合中点的定义计算可求解．
【解析】由于点M的位置不确定，所以需要分类讨论：
①点M在点A左侧，如图1：
∵AB＝12，AM＝2，
∴MB＝AB+AM＝12+2＝14，
∵N是MB的中点（已知），
∴MNMB（中点定义），
∵MB＝14，
∴MN14＝7；
②点M在点A右侧，如图2：
∵AB＝12，AM＝2，
∴MB＝AB﹣AM＝12﹣2＝10，
∵N是MB的中点（已知），
∴MNMB（中点定义），
∵MB＝10，
∴MN10＝5，
综上所述，MN的长度为5或7．
【变式4.3】（2019秋?越秀区期末）如图，已知点C在线段AB上，点M，N分别在线段AC与线段BC上，且AM＝2MC，BN＝2NC．
（1）若AC＝9，BC＝6，求线段MN的长；
（2）若MN＝5，求线段AB的长．
【分析】（1）将AM＝2MC，BN＝2NC．转化为MCAC，NCBC，进而得出MN＝MC+NC（AC+BC）AB，进行计算即可；
（2）根据（1）中的MN与AB的关系进行计算即可．
【解析】（1）如图，AC＝9，BC＝6，则AB＝AC＝BC＝9+6＝15，
∵AM＝2MC，BN＝2NC．
∴MCAC＝3，NCBC＝2，
∴MN＝MC+NC＝3+2＝5，
答：MN的长为5；
（2）由（1）得，MN═MC+NCACBCAB，
若MN＝5时，AB＝3MN＝15，
答：AB的长为15．
【变式4.4】（2020春?肇州县期末）如图，已知线段AB＝12
cm，点C为线段AB上的一动点，点D，E分别是AC和BC中点．
（1）若点C恰好是AB的中点，则DE＝ 6 cm；
（2）若AC＝4
cm，求DE的长；
（3）试说明无论AC取何值（不超过12
cm），DE的长不变．
【分析】（1）根据线段中点的性质计算即可；
（2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算；
（3）同（1）的解法相同．
【解析】（1）∵点D，E分别是AC和BC的中点，
∴DCAC，CECB，
∴DC+CE（AC+CB）＝6cm；
故答案为：6．
（2）∵AC＝4cm，
∴CD＝2cm，
∵AB＝12cm，AC＝4cm，
∴BC＝8cm，
∴CE＝4cm，DE＝DC+CE＝6cm；
（3）∵点D，E分别是AC和BC的中点，
∴DCAC，CECB，
∴DC+CE（AC+CB），
即DEAB＝6cm，
故无论AC取何值（不超过12
cm），DE的长不变．
【考点5】角的概念及表示
【例5】（2019春?恩阳区
期中）如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC的度数比∠BOC的3倍多20°，求∠BOC的度数是多少？
【分析】设出∠BOC＝x°，根据两角的关系可用x表示出∠AOC，由∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝180°写出关于x的方程，解方程问题就得以解决．
【解析】设∠BOC＝x°，则∠AOC＝（3x+20）°，
∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝x°+（3x+20）°＝（4x+20）°＝180°，
解得x＝40，
答：∠BOC的度数是40°
【变式5.1】（2018春?单县校级月考）如图：
（1）以点B为顶点的角有几个？分别表示出来．
（2）请分别指出以射线BA为边的角．
（3）以D为顶点，DC为一边的角有几个？分别写出来．
【分析】（1）根据角的表示方法写出答案；
（2）根据角的定义和角的表示方法写出答案；
（3）角的表示方法写出答案．
【解析】（1）以点B为顶点的角：∠ABC，∠ABD，∠DBC，共3个；
（2）以射线BA为边的角：∠ABE，∠ABC；
（3）以D为顶点，DC为一边的角有：∠BDC，∠EDC，共2个．
【变式5.2】（2020春?大丰区期中）如图，∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，点B、O、D在同一直线上，那么∠COD＝ 110° ．
【分析】直接利用已知得出∠BOC的度数，再利用邻补角的定义得出答案．
【解析】∵∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝70°，
∴∠DOC＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110°．
【变式5.3】（2020秋?锦江区校级期中）下列语句中：正确的个数有（ ）
①画直线AB＝3cm；
②连接点A与点B的线段，叫做A、B两点之间的距离；
③两条射线组成的图形叫角；
④任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．
A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】根据直线的定义，两点之间的距离的定义，角的定义，有理数与数轴的关系，即可判断．
【解析】①因为直线不可以度量，所以画直线AB＝3cm是错误的；
②连接点A与点B的线段的长度，叫做A、B两点之间的距离，原说法错误；
③有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，原说法错误；
④任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，原说法正确；
正确的有1个，
故选：B．
【例6】（2020春?武邑县校级月考）计算：
（1）131°28′﹣51°32′15″
（2）58°38′27″+47°42′40″
（3）34°25′×3+35°42′
【分析】（1）根据度分秒的减法法则计算即可求解；
（2）根据度分秒的加法法则计算即可求解；
（3）先算乘法，再算加法．
【解答】解：（1）131°28′﹣51°32′15″＝79°55′45″；
（2）58°38′27″+47°42′40″＝106°21′7″；
（3）34°25′×3+35°42′
＝103°15′+35°42′
＝138°57′．
【变式6.1】（2019秋?高邑县期中）计算
98°45′﹣3°55′
180°﹣（65°+25°）
【分析】进行度、分、秒的加减法计算，注意以60为进制．
【解答】解：98°45′﹣3°55′＝94°50′；
180°﹣（65°+25°）＝180°﹣90°＝90°．
【变式6.2】（2018秋?雨花区校级月考）计算：
（1）48°39′+67°31′﹣21°17′×5；
（2）90°﹣51°37′11″．
【分析】（1）首先计算乘法，然后计算加减即可；
（2）首先把90°化为89°59′60″，然后再利用度减度、分减分、秒减秒进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝48°39′+67°31′﹣106°25′＝9°45′；
（2）原式＝89°59′60″﹣51°37′11″＝38°22′49″．
【变式6.3】（2018春?单县校级月考）计算题
（1）131°28'﹣32'15''
（2）58°38'27''+47°42'40''
（3）25°38'45''×3
（4）109°15'24''÷4
【分析】根据度分秒的计算解答即可．
【解答】解：（1）131°28'﹣32'15''＝130°55'45″
（2）58°38'27''+47°42'40''＝106°21'7″
（3）25°38'45''×3＝76°56'15″
（4）109°15'24''÷4＝27°18'51″
【考点7】角的大小比较
【例7】（2018秋?宁津县期末）∠AOB与∠COD有共同的顶点O，其中∠AOB＝∠COD＝60°．
（1）如图①，试判断∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由；
（2）如图①，若∠BOC＝10°，求∠AOD的度数；
（3）如图①，猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；
（4）若改变∠AOB，∠COD的位置，如图②，则（3）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请直接写出你的猜想．
【分析】（1）利用角的和差定义证明即可；
（2）求出∠AOC即可解决问题；
（3）结论：∠AOD+∠COB＝120°．利用角的和差定义证明即可；
（4）不成立．猜想：∠AOD+∠BOC＝240°，根据周角的性质证明即可；
【解析】（1）结论：∠AOC＝∠BOD．
理由：∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOC+∠BOC＝∠BOD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
（2）∵∠BCO＝10°，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝50°+60°＝110°．
（3）猜想：∠AOD+∠COB＝120°．
理由：∵∠AOB＝∠COD＝60°．
∴∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠COB＝120°﹣∠COB，
∴∠AOD+∠COB＝120°．
（4）不成立．猜想：∠AOD+∠BOC＝240°，
理由：∵∠AOB＝∠COD＝60°．
∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣60°﹣60°＝240°．
【变式7.1】（2020春?哈尔滨月考）若∠A＝38°15′，∠B＝38.15°，则（ ）
A．∠A＞∠B
B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B
D．无法确定
【分析】先把∠B的0.15°化成分，再比较大小．
【解析】∵∠A＝38°15′，∠B＝38.15°＝38°9′，
∴∠A＞∠B．
故选：A．
【变式7.2】（2019秋?兰州期末）如图，若∠AOC＝∠BOD，那么∠AOD与∠BOC的关系是（ ）
A．∠AOD＞∠BOC
B．∠AOD＜∠BOC
C．∠AOD＝∠BOC
D．无法确定
【分析】根据题意∠AOC＝∠BOD，再根据图得知∠COD为∠AOD与∠BOC的公共角，从而得出答案．
【解析】∵∠AOC＝∠BOD，∠COD为∠AOD与∠BOC的公共角，
∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD，
∴∠AOD＝∠BOC，
故选：C．
【变式7.3】（2019秋?咸安区期末）下列说法：
①连接两点间的线段叫这两点的距离；
②木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点之间，线段最短；
③若A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2CB，则C是线段AB的中点；
④若∠A＝20°18′，∠B＝20°28″，∠C＝20.25°，则有∠A＞∠C＞∠B．
其中一定正确的是 ④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【分析】依据两点间的距离，直线的性质以及度分秒的换算，即可得出结论．
【解析】①连接两点间的线段的长度叫这两点的距离，故①错误；
②木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点确定一条直线，故②错误；
③若A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2CB，则C不一定是线段AB的中点，故③错误；
④若∠A＝20°18′，∠B＝20°28″，∠C＝20.25°＝20°15′，则有∠A＞∠C＞∠B，故④正确．
故答案为：④．
【变式7.4】（2017秋?朝阳区期末）在图所示的4×4的方格表中，记∠ABD＝α，∠DEF＝β，∠CGH＝γ，则（ ）
A．β＜α＜γ
B．β＜γ＜α
C．α＜γ＜β
D．α＜β＜γ
【分析】根据题意和图得出：∠DGC＝∠DCG＝45°，∠HGF＝∠GHF∠＝45°，再根据∠DGC+∠HGF+γ＝180°，从而得出γ＝90°，然后结合图观察出α＞90°，β＜90°，最后比较大小即可．
【解析】由题意知：∠DGC＝∠DCG＝45°，
同理∠HGF＝∠GHF∠＝45°，
又∵∠DGC+∠HGF+γ＝180°，
∴γ＝90°，
由图可知α＞90°，β＜90°，
∴β＜γ＜α，
故选：B．
【考点8】有关角平分线的计算问题
【例8】（2020春?澧县期末）如图所示，已知BC是从直线AB上出发的一条射线，BE平分∠ABC，∠EBF＝90°．求证：BF平分∠CBD．
【分析】根据角平分线的定义可得∠CBE＝∠ABE，再利用平角的定义可求解∠DBF＝∠CBF，进而可证明结论．
【解答】证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵∠EBF＝90°，
∴∠CBF＝90°﹣∠CBE，
∴∠DBF＝180°﹣90°﹣∠ABE＝90°﹣∠CBE＝∠CBF．
即BF平分∠CBD．
【变式8.1】（2019秋?凌源市期末）如图①，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的度数．
（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．
（3）其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图②，已知线段AB＝a，延长线段AB到C，使BC＝m，点M、N分别为线段AC、BC的中点，求线段MN的长（用含a，m的式子表示）．
【分析】（1）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；
（2）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON＝∠BOM+∠BON可求解；
（3）由已知条件求AC的长，再利用中点的定义可求解BM，BN的度数，结合MN＝BM+BN可求解；
【解析】（1）∵∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝100°+60°＝160°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠MOA∠AOC＝80°，
∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝100°﹣80°＝20°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠BON＝∠CON＝30°，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝20°+30°＝50°；
（2）∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠MOA∠AOC（α+β），
∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝α（α+β）αβ，
∵ON平分∠BOC，
∴∠BON＝∠CONβ，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON，
故∠MON；
（3）∵AB＝a，BC＝m，
∴AC＝AB+BC＝a+m，
∵M是AC中点，
∴MC，
∵N是BC中点，
∴NC，
∴MN＝MC﹣NC．
【变式8.2】（2019秋?天心区期末）线段与角的计算．
（1）如图1，已知点C为AB上一点，AC＝15cm，CBAC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．
（2）已知：如图2，∠AOB被分成∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON＝90°，求∠AOB的度数．
【分析】（1）先根据题意得出BC及AB的长，再根据中点的定义得出AE和AD的长，进而可得出结论；
（2）根据题意设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则∠AOB＝9x，再根据角平分线的定义以及∠MON＝90°，即可求出∠AOB的度数．
【解析】（1）∵AC＝15cm，CBAC，
∴CB15＝10（cm），
∴AB＝15+10＝25（cm）．
∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴AE＝BEAB＝12.5cm，DC＝ADAC＝7.5cm，
∴DE＝AE﹣AD＝12.5﹣7.5＝5（cm）；
（2）设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则∠AOB＝9x，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，
∴∠MOC＝x，∠NOD＝2x，
∴∠MON＝x+3x+2x＝6x，
又∵∠MON＝90°，
∴6x＝90°，
∴x＝15°，
∴∠AOB＝135°．
【考点9】方向角问题
【例9】（2020秋?岳池县期中）如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
【分析】由题意得：BE∥AD，∠BAD＝40°，∠CAD＝15°，∠EBC＝80°，再根据平行线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠ACB的度数．
【解析】如图，由题意得：BE∥AD，∠BAD＝40°，∠CAD＝15°，∠EBC＝80°，
∴∠EBA＝∠BAD＝40°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝40°+15°＝55°，
∴∠CBA＝∠EBC﹣∠EBA＝80°﹣40°＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC
＝180°﹣55°﹣40°＝85°，
答：从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数为85°．
【变式9.1】（2020春?长葛市期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2km，OB＝3.5km，OP＝4km，点C为OP的中点，回答下列问题：
（1）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
（2）由图可知，公园在小明家东偏南30°方向2km处．请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置．
【分析】（1）由点C为OP的中点，可得出OC＝2km，结合OA＝2km，即可得出距小明家距离相同的是学校和公园；
（2）观察图形，根据OA，OB，OP的长度及图中各角度，即可得出结论．
【解析】（1）因为点C为OP的中点，
所以OC＝2km，
因为OA＝2km，
所以可得出距小明家距离相同的是学校和公园；
（2）由图可知，学校在小明家东偏北45°方向2km处，商场在小明家西偏北60°方向3.5km处，停车场在东偏南30°方向4km处．
【变式9.2】（2019秋?金乡县期末）如图，OA，OB，OC，OD分别表示北、南、西、东，∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，OE表示北偏东15°．
（1）请在图中画出表示南偏西50°的射线OH和表示东南方向的射线ON；
（2）通过计算判断射线OG表示的方向．
【分析】（1）依据方向角的定义，即可得到表示南偏西50°的射线OH和表示东南方向的射线ON；
（2）依据∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，即可得到∠AOG＝∠MOG﹣∠AOM＝70°，进而得出射线OG表示的方向为北偏东70°方向．
【解析】（1）如图所示：OH表示南偏西50°方向，ON表示东南方向；
（2）∵∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，
∴∠AOG＝∠MOG﹣∠AOM＝70°，
∴射线OG表示的方向为北偏东70°方向．
【变式9.3】（2019秋?薛城区期末）如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．
（1）射线OC的方向是 北偏东70° ；
（2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
【分析】（1）先求出∠AOB＝55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向；
（2）根据∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，得出∠BOC＝110°，进而求出∠COD的度数，根据射线OE平分∠COD，即可求出∠COE＝35°再利用∠AOC＝55°求出答案即可．
【解析】（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，
∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°，
∴∠AOB＝∠NOB+∠NOA＝55°，
∵∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC＝55°，
∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝70°，
∴OC的方向是北偏东70°；
故答案为：北偏东70°；
（2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，
∴∠BOC＝110°．
又∵射线OD是OB的反向延长线，
∴∠BOD＝180°．
∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．
∵∠COD＝70°，OE平分∠COD，
∴∠COE＝35°．
∵∠AOC＝55°．
∴∠AOE＝90°．
【变式9.4】（2018秋?北京期末）如图点A，B是两个初二学生的位置，肯德基圣诞欢享桶在点A的北偏东60°方向，同时在点B的北偏东30°方向，试在图中确定肯德基圣诞欢享桶的位置，画出此点C并保留作图痕迹．
【分析】连接AB，画出∠CAB＝60°，画出∠CBA＝30°，AC与BC交于点C．
【解析】如图所示，点C即为所求．
【考点10】多边形及圆的认识
【例10】（2019秋?巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．14或15
B．13或14
C．13或14或15
D．14或15或16
【分析】根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．
【解析】如图，n边形，A1A2A3…An，
若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，
若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，
若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的四边形为13或14或15，
故选：C．
【变式10.1】（2019秋?惠来县期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．直线有两个端点
B．射线有两个端点
C．有六边相等的多边形叫做正六边形
D．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角
【分析】根据直线、射线的性质，正多边形的性质，角的定义，可得答案．
【解析】A、直线没有端点，故A错误；
B、射线有一个端点，故B错误；
C、六条边相等，六个内角相等是正六边形，故C错误；
D、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故D正确；
故选：D．
【变式10.2】（2019秋?东湖区校级月考）如图，先研究下面三角形、四边形、五边形、六边形…多边形的边数n及其对角线条数t的关系，再完成下面问题：
（1）若一个多边形是七边形，它的对角线条数为 14 ，n边形的对角线条数为t＝ （用n表示）．
（2）求正好65条对角线的多边形是几边形．
【分析】（1）根据图形用类比方法求解即可．
（2）根据多边形有65条对角线，列出方程求解即可．
【解析】（1）若一个多边形是七边形，它的对角线条数为14，n边形的对角线条数为t（用n表示）．
（2）设正好65条对角线的多边形是x边形，依题意有
65，
解得x1＝13，x2＝﹣10．
故正好65条对角线的多边形是13边形．
故答案为：14，．
【变式10.3】（2020?资中县一模）已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（ ）
A．2cm
B．4cm
C．8cm
D．16cm
【分析】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
【解析】∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选：B．
【考点11】分类讨论及方程思想在线段计算中的应用
【例11】（2020秋?锦江区校级期中）（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
（2）已知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设BC﹣AC＝a，请根据题意画出图形并求MN的长度；
（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
【分析】（1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解析】（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CMAC＝5厘米，CNBC＝3厘米，
∴MN＝CM+CN＝8厘米；
（2）如图，∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CMAC，CNBC，
∴MN＝CN﹣CM（BC﹣AC）a；
（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得
10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；
②当5＜t时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t；
③当t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t；
④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍），
综上所述：t＝4或或．
【变式11.1】（2020春?延庆区期中）已知：点M是直线AB上的点，线段AB＝12，AM＝2，点N是线段MB的中点，画出图形并求线段MN的长．
【分析】本题主要考查两点间的距离，可分两种情况：①点M在点A左侧，②点M在点A右侧，结合中点的定义计算可求解．
【解析】由于点M的位置不确定，所以需要分类讨论：
①点M在点A左侧，如图1：
∵AB＝12，AM＝2，
∴MB＝AB+AM＝12+2＝14，
∵N是MB的中点（已知），
∴MNMB（中点定义），
∵MB＝14，
∴MN14＝7；
②点M在点A右侧，如图2：
∵AB＝12，AM＝2，
∴MB＝AB﹣AM＝12﹣2＝10，
∵N是MB的中点（已知），
∴MNMB（中点定义），
∵MB＝10，
∴MN10＝5，
综上所述，MN的长度为5或7．
【变式11.2】（2020春?文登区期末）已知点A、B、C在同一直线上，若AB＝10cm，AC＝16cm，点M、N分别是线段AB、AC中点，则线段MN的长是 13cm或3cm ．
【分析】根据题意，分两种情况：（1）点B、C在点A的两边时，（2）点B、C在点A的同一方向时，根据线段的中点的特征，求出线段MN的长是多少即可．
【解析】（1）如图1，，
∵AB＝10cm，点M是线段AB的中点，
∴AM＝10÷2＝5（cm）；
∵AC＝16cm，点N是线段AC的中点，
∴AN＝16÷2＝8（cm），
∴MN＝AM+AN＝5+8＝13（cm）
（2）如图2，，
∵AB＝10cm，点M是线段AB的中点，
∴AM＝10÷2＝5（cm）；
∵AC＝16cm，点N是线段AC的中点，
∴AN＝16÷2＝8（cm），
∴MN＝AN﹣AM＝8﹣5＝3（cm），
综上，线段MN的长是13cm或3cm．
故答案为：13cm或3cm．
【变式11.3】（2019秋?包河区期末）已知线段AB＝8，如果在直线AB上取一点C，使AB﹣BC＝3，再分别取线段AB、BC的中点M、N，那么MN＝ 或 ．
【分析】当点C在线段AB时，AB＝8，AB﹣BC＝3，则BC＝5，则MN＝MB﹣BNABBC＝4；当点C在AB延长线上时，同理可得：MN，即可求解．
【解析】当点C在线段AB时，如下图，
AB＝8，AB﹣BC＝3，则BC＝5，
则MN＝MB﹣BNABBC＝4；
当点C在AB延长线上时，
同理可得：MN，
故答案为：或．
【考点12】分类讨论及方程思想在角的计算中的应用
【例12】（2020秋?南岗区校级月考）已知：∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系；
（2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足∠BOE∠BOC，∠DOF∠AOD，求∠EOF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝2：3，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOF的度数．
【分析】（1）根据已知条件，∠AOB和∠COD是直角，可得出∠BOD和∠AOC与∠BOC的关系式，再根据∠AOC与∠AOB和∠BOD列出等量关系，即可得出答案；
（2）根据已知条件∠BOE∠BOC，可设∠BOE＝a，则∠BOC＝3a，再根据周角的关系可得到∠AOD的等量关系，再根据∠DOF∠AOD，可得到∠AOF的等量关系式，由∠BOE、∠AOB和∠∠AOF可列出等量关系，即可得到答案；
（3）分两种情况，①当射线OG在∠EOF内部时，由∠GOF：∠GOE＝2：3，可得出结果，当射线OG在∠EOF外部时，由∠GOF：∠GOE＝2：3，可得出结果．
【解答】（1）∠AOD+∠BOC＝180°．
证明：∵∠AOB和∠COD是直角，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠BOD+∠BOC＝∠COD，
∴∠BOD＝90°﹣∠BOC，
同理：∠AOC＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+90°﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC＝180°；
（2）解：设∠BOE＝a，则∠BOC＝3a，
∵∠BOE+∠EOC＝∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝2a，
∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°，
∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB
＝360°﹣90°﹣3a﹣90°＝180°﹣3a，
∵∠DOF∠AOD，
∴∠DOF（180°﹣3a）＝120°﹣2a，
∴∠AOF∠AOD（180°﹣3a）＝60°﹣a，
∴∠EOF＝∠BOE+∠AOB+∠AOF＝a+90°+60°﹣a＝150°，
∠EOF的度数为150°；
（3）①当射线OG在∠EOF内部时，
∴∠GOF：∠GOE＝2：3，
∴∠GOF
（∠GOF+∠GOE）∠EOF150°＝60°；
②当射线OG在∠EOF外部时，
∵∠GOF：∠GOE＝2：3，
∴∠GOF
（∠GOF+∠GOE）
∠EOF
（∠DOF+∠COD+∠EOC）
（120°﹣2a+90°+2a）
＝84°．
综上所述，∠GOF
的度数是60°或84°．
【变式12.1】（2019秋?渝中区校级期末）如图所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE：∠BOD＝2：5，∠COE＝80°，求∠EOB的度数．
【分析】设∠DOE＝2x，根据题意得到∠BOE＝3x，∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x，再根据平角为180度，得到2×（80°﹣2x）+5x＝180°，解得x＝20°，即可得到∠BOE的度数．
【解析】如图，设∠DOE＝2x，
∵∠DOE：∠BOD＝2：5，
∴∠BOE＝3x，
又∵OC是∠AOD的平分线，∠COE＝80°，
∴∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x
2×（80°﹣2x）+5x＝180°，
解得x＝20°
∴∠BOE＝3x＝3×20°＝60°．
故答案为：60°．
【变式12.2】（2020春?哈尔滨期末）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝100°．
（1）如图1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，过点O作射线OD，使∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM，求∠MOD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，请画出图形，并求∠COP的度数．
【分析】（1）根据补角的定义即可求解；
（2）先求出∠AOD，再根据角平分线的定义求出∠AOM，再根据角的和差关系可求∠MOD的度数；
（3）分两种情况：①当射线OP在∠BOC内部时（如图1），②当射线OP在∠BOC外部时（如图2），进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣100°＝80°；
（2）由（1）得∠AOC＝80°，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝10°，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠AOM∠AOC80°＝40°，
∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°；
（3）由（2）得∠AOM＝40°，
∵∠BOP与∠AOM互余，
∴∠BOP+∠AOM＝90°，
∴∠BOP＝90°﹣∠AOM＝90°﹣40°＝50°，
①当射线OP在∠BOC内部时（如图1），
∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝100°﹣50°＝50°；
②当射线OP在∠BOC外部时（如图2），
∠COP＝∠BOC+∠BOP＝100°+50°＝150°．
综上所述，∠COP的度数为50°或150°．
【变式12.3】（2019秋?宿豫区期末）如图1，点O在直线AB上，过点O引一条射线OC，使∠AOC＝80°，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方；将一直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线OC上．
按要求操作：将图1中的三角尺绕着点O以每秒15°的速度按逆时针方向旋转；
同时，直尺也绕着点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转，当一方先完成旋转一周时停止，另一方同时也停止转动，设旋转的时间为t秒．
（1）如图2，三角尺旋转过程中当直角边OM在∠BOC的内部，且OM平分∠BOC时，∠BON＝ 40 °；
（2）当t为何值时，OM⊥OE？
（3）试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，是否存在某个时刻，使OM、OC、OE中的某一条线是另两条线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先由∠AOC＝80°，求得∠BOC的度数，再由OM平分∠BOC，可得∠BON的度数；
（2）先分两种情况画图：①当OM追上OE之前时；②当OM超过OE之后时；然后根据题意列出关于t的一元一次方程，解方程即可；
（3）先计算出t的取值范围，再分以下三种情况画图：①当OC平分∠MOE时；②当OM平分∠COE时；③当OE平分∠COM时；然后分别列出关于t的一元一次方程并求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝80°
∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°
∴当OM平分∠BOC时，∠BOM＝50°
∴∠BON＝90°﹣50°＝40°
故答案为：40；
（2）因为OM⊥OE，所以∠EOM＝90°，
①当OM追上OE之前时，
∵∠EOB＝∠EOC+∠COB＝5t+100，
∠EOB＝∠EOM+∠MOB＝15t+90，
∴5t+100＝15t+90，
解这个方程得：t＝1；
②当OM超过OE之后时，
∵直角三角尺旋转的度数＝（∠BOC+∠COE+∠EOM）的度数，
∴15t＝100+5t+90，
∴t＝19
综上，当t＝1或t＝19时，OM⊥OE．
（3）∵360÷15＝24（秒），
∴0≤t≤24
①当OC平分∠MOE时，
∠MOC＝∠EOC，∠COB﹣∠MOB＝∠EOC
∴100﹣15t＝5t
∴t＝5；
②当OM平分∠COE时，
则有：，
∴
∴t＝8；
③当OE平分∠COM时，
∴大于180°的∠MOC＝2∠EOC
∴15t﹣100＝2×5t
∴t＝20；
综上：t＝5秒或8秒或20秒．
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专题1.5基本平面图形
【目标导航】
【知识梳理】
1直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
2直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．?
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
3两点间的距离
（1）两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
4角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始
边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
（5）比较角的大小有两种方法：
①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．
②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
5角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
6方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
7多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
8圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念：连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
【典例剖析】
【考点1】直线、射线、线段的认识
【例1】（2020春?哈尔滨月考）如图所示是一段火车路线图，A、B、C、D、E是五个火车站，在这条线路上往返行车需要印制 种火车票．
【变式1.1】（2019秋?顺义区期末）若在直线l上取6个点，则图中一共出现 条射线和 线段．
【变式1.2】（2019秋?潍坊期中）如图所示，若图中共有m条线段，n条射线，则m+n＝ ．
【变式1.3】（2019秋?青州市校级月考）下列说法中：①直线是射线长度的2倍；②线段AB是直线AB的一部分；③延长射线OA到B．正确的序号是 ．
【变式1.4】（2019秋?彭水县期末）如图，在平面内有A，B，C三点．
（1）画直线AB，射线AC，线段BC；
（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接AD，并延长AD至E，使DE＝AD；
（3）数一数，此时图中线段共有
条．
【考点2】直线、线段的性质
【例2】（2019秋?江汉区期末）已知A，B，C，D，E五个点不在同一直线上，过其中任意两点作一条直线，可作出直线的条数为
．
【变式2.1】（2019秋?江北区期末）下列三个现象：
①用两个钉子可以把一根木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行数在一条直线上；
③从A地到B地架设电线，只要尽可能沿着线段AB架设，就能节省材料；其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有 （填序号）．
【变式2.2】（2019秋?汾阳市期末）已知平面上点A，B，C，D（每三点都不在一条直线上）．
（1）经过这四点最多能确定 条直线．
（2）如图这四点表示公园四个地方，如果点B，C在公园里湖对岸两处，A，D在湖面上，要从B到C筑桥，从节省材料的角度考虑，应选择图中两条路中的哪一条？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择哪一条？为什么？
【变式2.3】（2019秋?平江县期末）阅读下列材料并填空：
（1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？
我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画1条直线，平面内有3个点时，一共可以画3条直线，平面上有4个点时，一共可以画6条直线，平面内有5个点时，一共可以画 条直线，…平面内有n个点时，一共可以画 条直线．
（2）运用：某足球比赛中有22个球队进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？
【变式2.4】（2019秋?行唐县期末）如图某学校从教学楼到图书馆总有少数同学不走人行道，而横穿草坪．
（1）试用所学的知识来说明少数学生这样走的理由；
（2）请问学生这样走行吗？如不行请你在草坪上竖起一个牌子，写上一句话来警示学生应该怎样做．
【考点3】线段的中点及计算问题
【例3】（2020秋?锦江区校级期中）如图，线段AB＝8cm，C是线段AB上一点，AC＝3cm，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）求线段CM、NM的长；
（2）若线段AC＝m，线段BC＝n，求MN的长度（m＜n用含m，n的代数式表示）．
【变式3.1】（2019秋?宿豫区期末）画直线l，并在直线l上任取三个点A、B、C，使AB＝10，BC＝4，分别画线段AB、BC的中点E、F，求线段EF的长．
【变式3.2】（2019秋?东湖区校级期末）已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，
（1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣16|+（b﹣4）2＝0，求a+b的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE的长；
（3）如图2，若AB＝17，AD＝2BE，求线段CE的长．
【变式3.3】（2019秋?五峰县期末）如图，点C在线段AB上，M、N分别是线段AC、BC的中点，
（1）若AC＝7cm，BC＝5cm，求线段MN的长；
（2）若AB＝a，点C为线段AB上任意一点，你能用含a的代数式表示MN的长度吗？若能，请写出结果与过程，若不能，请说明理由．
（3）若将（2）中“点C为线段AB上任意一点”改为“点C为直线AB上任意一点”，其余条件不变，（2）中的结论是否仍然成立？请画图并写出说明过程．
【变式3.4】（2019秋?姜堰区期末）如图：A、B、C、D四点在同一直线上．
（1）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BCAC，且AC＝12cm，则AD的长为 cm；
（2）若线段AD被点B、C分成了3：4：5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．
【考点4】两点间的距离问题
【例4】（2020春?新泰市期末）已知点A、B、C在一条直线上，AB＝5cm，BC＝3cm，则AC的长为
．
【变式4.1】（2020秋?铁西区期中）如图，已知点C，D在线段AB上，且AC：CD：DB＝2：5：3，AC＝4cm，若点M是线段AD的中点，求线段BM的长．
【变式4.2】（2020春?延庆区期中）已知：点M是直线AB上的点，线段AB＝12，AM＝2，点N是线段MB的中点，画出图形并求线段MN的长．
【变式4.3】（2019秋?越秀区期末）如图，已知点C在线段AB上，点M，N分别在线段AC与线段BC上，且AM＝2MC，BN＝2NC．
（1）若AC＝9，BC＝6，求线段MN的长；
（2）若MN＝5，求线段AB的长．
【变式4.4】（2020春?肇州县期末）如图，已知线段AB＝12
cm，点C为线段AB上的一动点，点D，E分别是AC和BC中点．
（1）若点C恰好是AB的中点，则DE＝ cm；
（2）若AC＝4
cm，求DE的长；
（3）试说明无论AC取何值（不超过12
cm），DE的长不变．
【考点5】角的概念及表示
【例5】（2019春?恩阳区
期中）如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC的度数比∠BOC的3倍多20°，求∠BOC的度数是多少？
【变式5.1】（2018春?单县校级月考）如图：
（1）以点B为顶点的角有几个？分别表示出来．
（2）请分别指出以射线BA为边的角．
（3）以D为顶点，DC为一边的角有几个？分别写出来．
【变式5.2】（2020春?大丰区期中）如图，∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，点B、O、D在同一直线上，那么∠COD＝ 110° ．
【变式5.3】（2020秋?锦江区校级期中）下列语句中：正确的个数有（ ）
①画直线AB＝3cm；
②连接点A与点B的线段，叫做A、B两点之间的距离；
③两条射线组成的图形叫角；
④任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点6】度分秒的换算
【例6】（2020春?武邑县校级月考）计算：
（1）131°28′﹣51°32′15″
（2）58°38′27″+47°42′40″
（3）34°25′×3+35°42′
【变式6.1】（2019秋?高邑县期中）计算
98°45′﹣3°55′
180°﹣（65°+25°）
【变式6.2】（2018秋?雨花区校级月考）计算：
（1）48°39′+67°31′﹣21°17′×5；
（2）90°﹣51°37′11″．
【变式6.3】（2018春?单县校级月考）计算题
（1）131°28'﹣32'15''
（2）58°38'27''+47°42'40''
（3）25°38'45''×3
（4）109°15'24''÷4
【考点7】角的大小比较
【例7】（2018秋?宁津县期末）∠AOB与∠COD有共同的顶点O，其中∠AOB＝∠COD＝60°．
（1）如图①，试判断∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由；
（2）如图①，若∠BOC＝10°，求∠AOD的度数；
（3）如图①，猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；
（4）若改变∠AOB，∠COD的位置，如图②，则（3）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请直接写出你的猜想．
【变式7.1】（2020春?哈尔滨月考）若∠A＝38°15′，∠B＝38.15°，则（ ）
A．∠A＞∠B
B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B
D．无法确定
【变式7.2】（2019秋?兰州期末）如图，若∠AOC＝∠BOD，那么∠AOD与∠BOC的关系是（ ）
A．∠AOD＞∠BOC
B．∠AOD＜∠BOC
C．∠AOD＝∠BOC
D．无法确定
【变式7.3】（2019秋?咸安区期末）下列说法：
①连接两点间的线段叫这两点的距离；
②木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点之间，线段最短；
③若A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2CB，则C是线段AB的中点；
④若∠A＝20°18′，∠B＝20°28″，∠C＝20.25°，则有∠A＞∠C＞∠B．
其中一定正确的是 ④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【变式7.4】（2017秋?朝阳区期末）在图所示的4×4的方格表中，记∠ABD＝α，∠DEF＝β，∠CGH＝γ，则（ ）
A．β＜α＜γ
B．β＜γ＜α
C．α＜γ＜β
D．α＜β＜γ
【考点8】有关角平分线的计算问题
【例8】（2020春?澧县期末）如图所示，已知BC是从直线AB上出发的一条射线，BE平分∠ABC，∠EBF＝90°．求证：BF平分∠CBD．
【变式8.1】（2019秋?凌源市期末）如图①，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的度数．
（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．
（3）其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图②，已知线段AB＝a，延长线段AB到C，使BC＝m，点M、N分别为线段AC、BC的中点，求线段MN的长（用含a，m的式子表示）．
【变式8.2】（2019秋?天心区期末）线段与角的计算．
（1）如图1，已知点C为AB上一点，AC＝15cm，CBAC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．
（2）已知：如图2，∠AOB被分成∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON＝90°，求∠AOB的度数．
【考点9】方向角问题
【例9】（2020秋?岳池县期中）如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．
【变式9.1】（2020春?长葛市期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2km，OB＝3.5km，OP＝4km，点C为OP的中点，回答下列问题：
（1）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
（2）由图可知，公园在小明家东偏南30°方向2km处．请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置．
【变式9.2】（2019秋?金乡县期末）如图，OA，OB，OC，OD分别表示北、南、西、东，∠MOG＝110°，OM表示北偏西40°，OE表示北偏东15°．
（1）请在图中画出表示南偏西50°的射线OH和表示东南方向的射线ON；
（2）通过计算判断射线OG表示的方向．
【变式9.3】（2019秋?薛城区期末）如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．
（1）射线OC的方向是 北偏东70° ；
（2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
【变式9.4】（2018秋?北京期末）如图点A，B是两个初二学生的位置，肯德基圣诞欢享桶在点A的北偏东60°方向，同时在点B的北偏东30°方向，试在图中确定肯德基圣诞欢享桶的位置，画出此点C并保留作图痕迹．
【考点10】多边形及圆的认识
【例10】（2019秋?巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．14或15
B．13或14
C．13或14或15
D．14或15或16
【变式10.1】（2019秋?惠来县期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．直线有两个端点
B．射线有两个端点
C．有六边相等的多边形叫做正六边形
D．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角
【变式10.2】（2019秋?东湖区校级月考）如图，先研究下面三角形、四边形、五边形、六边形…多边形的边数n及其对角线条数t的关系，再完成下面问题：
（1）若一个多边形是七边形，它的对角线条数为 14 ，n边形的对角线条数为t＝ （用n表示）．
（2）求正好65条对角线的多边形是几边形．
【变式10.3】（2020?资中县一模）已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（ ）
A．2cm
B．4cm
C．8cm
D．16cm
【考点11】分类讨论及方程思想在线段计算中的应用
【例11】（2020秋?锦江区校级期中）（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
（2）已知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设BC﹣AC＝a，请根据题意画出图形并求MN的长度；
（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
【变式11.1】（2020春?延庆区期中）已知：点M是直线AB上的点，线段AB＝12，AM＝2，点N是线段MB的中点，画出图形并求线段MN的长．
【变式11.2】（2020春?文登区期末）已知点A、B、C在同一直线上，若AB＝10cm，AC＝16cm，点M、N分别是线段AB、AC中点，则线段MN的长是
．
【变式11.3】（2019秋?包河区期末）已知线段AB＝8，如果在直线AB上取一点C，使AB﹣BC＝3，再分别取线段AB、BC的中点M、N，那么MN＝
．
【考点12】分类讨论及方程思想在角的计算中的应用
【例12】（2020秋?南岗区校级月考）已知：∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系；
（2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足∠BOE∠BOC，∠DOF∠AOD，求∠EOF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝2：3，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOF的度数．
【变式12.1】（2019秋?渝中区校级期末）如图所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE：∠BOD＝2：5，∠COE＝80°，求∠EOB的度数．
【变式12.2】（2020春?哈尔滨期末）已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠BOC＝100°．
（1）如图1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，过点O作射线OD，使∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM，求∠MOD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP，若∠BOP与∠AOM互余，请画出图形，并求∠COP的度数．
【变式12.3】（2019秋?宿豫区期末）如图1，点O在直线AB上，过点O引一条射线OC，使∠AOC＝80°，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方；将一直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线OC上．
按要求操作：将图1中的三角尺绕着点O以每秒15°的速度按逆时针方向旋转；
同时，直尺也绕着点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转，当一方先完成旋转一周时停止，另一方同时也停止转动，设旋转的时间为t秒．
（1）如图2，三角尺旋转过程中当直角边OM在∠BOC的内部，且OM平分∠BOC时，∠BON＝
°；
（2）当t为何值时，OM⊥OE？
（3）试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，是否存在某个时刻，使OM、OC、OE中的某一条线是另两条线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由．
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