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专题1.6一元一次方程及解法
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【知识梳理】
1方程的定义
（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
（2）列方程的步骤：
①设出字母所表示的未知数；
②找出问题中的相等关系；
③列出含有未知数的等式----方程．
2方程的解
（1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性．
（2）规律方法总结：
无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．
3等式的性质
（1）等式的性质?
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
4一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
5一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
6解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
7同解方程
定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
（或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．）
8由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
【典例剖析】
【考点1】一元一次方程的有关定义
【例1】（2020秋?大连期中）下列方程中属于一元一次方程的是（ ）
A．3x﹣2
B．2x﹣3＝0
C．4x2﹣9＝0
D．3x﹣2y＝1
【变式1.1】（2020春?市中区校级月考）下列方程：①3x﹣y＝2：②x2＝0；③1；④x＝0；⑤3x﹣1≥5：⑥x2﹣2x﹣3＝0；⑦x．其中一元一次方程有（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【变式1.2】（2019秋?广安期末）已知（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若|y﹣m|＝3，求y的值．
【变式1.3】（2018秋?西湖区校级月考）（1）已知a，b为常数，且三个单项式4xy2，axy3﹣b，3xy相加得到的和仍然是单项式．那么a+b的值可能是多少？请你说明理由．
（2）已知（m2﹣1）x2﹣（m﹣1）x+8＝0是关于x的一元一次方程，求9（m+x）（2m﹣x）+m的值．
【考点2】一元一次方程的解
【例2】（2020秋?温岭市期中）已知x＝﹣4是关于x的方程ax﹣1＝7的解，求a为多少？
【变式2.1】（2020秋?瑶海区期中）关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣x＝m的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
【变式2.2】（2020秋?金安区校级期中）【定义】
若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“友好方程”．
【运用】
（1）①﹣2x，②x＝﹣1两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）；
（2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值；
（3）若关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n（n≠0）是“友好方程”，且它的解为x＝n，则m＝ ，n＝
．
【变式2.3】（2020春?方城县期中）小明解方程1时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1，试求a的值，并正确地求出原方程的解．
【变式2.4】（2019秋?金牛区期末）已知关于x的整式M＝x2+6ax﹣3x+2，整式N＝﹣2x2+4ax﹣2x+2，若a是常数，且2M+N的值与x无关．
（1）求a的值；
（2）若b为整数，关于x的一元一次方程bx+b﹣3＝0的解是正整数，求ab的值．
【考点3】等式的性质
【例3】利用等式的性质解下列方程：
（1）2x+3＝11；
（2）x﹣1x+3；
（3）x﹣1＝6；
（4）﹣3x﹣1＝5﹣6x．
【变式3.1】（2020春?射洪市期末）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3.2】（2019秋?南岗区期末）比a的3倍大5的数等于a的4倍用等式表示为
．
【变式3.3】利用等式的性质解下列方程：
（1）x+25＝95；
（2）x﹣12＝﹣4；
（3）0.3x＝12；
（4）3．
【考点4】一元一次方程的解法——移项
【例4】（2020秋?庆云县期中）解方程：x+5x﹣6．
【变式4.1】（2020秋?丹江口市期中）若2a﹣4与a+7互为相反数，则a＝ ．
【变式4.2】（2020秋?武昌区期中）我们知道，无限循环小数可以转化为分数，例如0.转化为分数时，可设0.x，则3.10x，两式相减得3＝9x，解得x，即0.，则0.转化为分数是
．
【变式4.3】（2020秋?香坊区校级期中）若式子3x+4与2﹣5x的值相等，则x的值为
．
【考点5】一元一次方程的解法——去括号
【例5】解方程：
（1）（3x﹣1）﹣3（2x﹣5）﹣（x+3）+9＝0；
（2）x+[2（x﹣4）]＝2x+3；
（3）2x[x（x﹣1）]（x﹣1）；
（4）3（x﹣1）（x﹣1）＝2（x﹣1）（x+1）．
【变式5.1】解方程：
（1）6（x﹣1）＝3x+7；
（2）3x﹣（4x﹣5）＝7；
（3）5（2﹣x）＝﹣（2x﹣7）；
（4）3（x﹣1）﹣（x+3）＝2（2x﹣5）；
（5）4﹣x＝2﹣3（2﹣x）；
（6）5x﹣（2﹣x）＝1．
【变式5.2】若代数式x（x﹣1）与代数式2（2x+1）的值相等，则x＝ ．
【变式5.3（2020?鼓楼区校级模拟）解方程5（x﹣2）＝6（）．有以下四个步骤，其中第①步的依据是
．
解：①去括号，得5x﹣10＝3x﹣2．
②移项，得5x﹣3x＝10﹣2．
③合并同类项，得2x＝8．
④系数化为1，得x＝4．
【变式5.4】（2020春?三门峡期末）定义一种新运算“a☆b”的含义为：当a≥b时，a☆b＝a+b；当a＜b时，a☆b＝a﹣b．例如：3☆（﹣4）＝3+（﹣4）＝﹣1，（﹣6）☆（﹣6）6，则方程（3x﹣7）☆（3﹣2x）＝2的值为（ ）
A．1
B．
C．6或
D．6
【变式5.5】（2020秋?兴化市期中）当x为何值时，代数式2（x﹣1）的值与9﹣x的值互为相反数？
【考点6】一元一次方程的解法——去分母
【例6】（2020?杭州）以下是圆圆解方程1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【变式6.1】（2019秋?台安县期末）已知与互为倒数，则x等于 ．
【变式6.2】解下列方程：
（1）
（2）x﹣2[x﹣4（x﹣1）]﹣8＝﹣2
（3）
（4）．
【变式6.3】（2018秋?岐山县期末）老师在黑板上出了一道解方程的题：1，小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的：4（2x﹣1）＝1﹣3（x+2），①
8x﹣4＝1﹣3x﹣6，②
8x+3x＝1﹣6+4，③
11x＝﹣1，④
x．⑤
老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了．请你指出他错在第 步（填编号），然后再细心地解下面的方程，相信你一定能做对．
（1）5（x+8）＝6（2x﹣7）+5
（2）1
【考点7】含小数的一元一次方程
【例7】（2020春?宛城区期中）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．
解：原方程可变形为（
）
（
），得3（3x+5）＝2（2x﹣1）（
）
去括号，得9x+15＝4x﹣2．（
）
（
），得9x﹣4x＝﹣15﹣2．（
）
合并同类项，得5x＝﹣17．（合并同类项法则）
（
），得x．（
）
【变式7.1】（2020?路南区一模）阅读下列解方程的过程，此过程从上一步到所给步有的产生了错误，则其中没有错误的是（ ）
解方程：．
①；
②2（10x﹣30）﹣5（10x+40）＝160；
③20x﹣60﹣50x+200＝160；
④﹣30x＝300．
A．①
B．②
C．③
D．④
【变式7.2】（2020秋?南岗区校级月考）将方程1中分母化为整数，正确的是（ ）
A．10
B．10
C．1
D．1
【变式7.3】解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考点8】同解方程问题
【例8】（2020秋?庆云县期中）已知方程2x与关于x的方程3a﹣a＝﹣5x﹣3x的解相等，求a﹣1的值．
【变式8.1】（2019秋?开福区校级期末）我们把解相同的两个方程称为同解方程．例如：方程：2x＝6与方程4x＝12的解都为x＝3，所以它们为同解方程．
（1）若方程2x﹣3＝11与关于x的方程4x+5＝3k是同解方程，求k的值；
（2）若关于x的方程3[x﹣2（x）]＝4x和1是同解方程，求k的值；
（3）若关于x的方程2x﹣3a＝b2和4x+a+b2＝3是同解方程，求14a2+6ab2+8a+6b2的值．
【变式8.2】（2019秋?海珠区期末）已知关于x的一元一次方程4x+2m＝3x﹣1，
（1）求这个方程的解；
（2）若这个方程的解与关于x的方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解相同，求m的值．
【变式8.3】（2019秋?丹江口市期末）在作解方程练习时，学习卷中有一个方程“2yy+W”中的W没印清晰，小聪问老师，老师只是说：“W是个有理数，该方程的解与方程3（x﹣1）﹣2（x﹣2）＝3的解相同．”小聪很快补上了这个常数，聪明的你能补上这个常数吗？
【变式8.4】（2018秋?云梦县期末）若方程（|m|﹣2）x2﹣（m+2）x+8＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若它与方程5x+ax＝12有相同的解，求a的值．
【考点9】由实问题抽象出一元一次方程
【例9】（2018秋?东城区期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》采用问题集的形式，全书共收集了246个问题，分为九章，其中的第八章叫“方程”章，方程一词就源于这里．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”
译文：“几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人，物品的价格是多少”？
设有x人，可列方程为
．
【变式9.1】（2015秋?赵县期末）有一位旅客携带了30kg重的行李从上海乘飞机去北京，按民航总局规定：旅客最多可免费携带20kg重的行李，超重部分每千克按飞机票价格1.5%购买行李票，现该旅客购买了180元的行李票，则飞机票价格应是多少元？
【变式9.2】某车间有26名工人，每人每天生产螺栓12个或螺母18个，设有x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，则可列一个关于x的方程为
．
【变式9.3】根据下列题意，列出方程：
（1）已知长方形的周长是36cm，长比宽的2倍多3cm，求长方形的长与宽各是多少？
（2）毕业在即，九年级某班为纪念师生情谊，班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课老师每人一本留作纪念．其中送给任课老师的留念册的单价比给同学的单价多8元．请问这两种不同留念册的单价分别为多少元？
【考点10】有关方程的新定义问题
【例10】（2020春?孟津县期中）对有理数a，b规定运算“
”的意义为a
b＝a+2b，比如：5
7＝5+2×7，则方程3x
2﹣x的解为
．
【变式10.1】（2020春?思明区校级期末）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若nx＜n则（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．给出下列关于（x）的结论：
①（1.493）＝1；
②（2x）＝2（x）；
③若（x﹣1）＝4，则x的取值范围是9≤x＜11；
④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2020x）＝m+（2020x）；
其中正确的结论有
（填写所有正确的序号）．
【变式10.2】（2020秋?兴化市期中）用“
”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a
b＝ab2+2ab﹣b．如：1
3＝1×32+2×1×3﹣3＝12．
（1）求（﹣2）
4的值；
（2）若（x﹣1）
3＝12，求x的值；
（3）若m
（2x），n＝（2x﹣1）
2（其中x为有理数），试比较m、n大小关系，并说明理由．
【变式10.3】（2020秋?西城区校级期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）◆（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）◆（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，﹣3）◆（3，2）＝
；
（2）若有理数对（﹣3，2x﹣1）◆（1，x+1）＝7，则x＝ ；
（3）当满足等式（﹣3，2x﹣1）◆（k，x+k）＝5+2k的x是整数时，求整数k的值．
【变式10.4】（2020春?三门峡期末）定义一种新运算“a☆b”的含义为：当a≥b时，a☆b＝a+b；当a＜b时，a☆b＝a﹣b．例如：3☆（﹣4）＝3+（﹣4）＝﹣1，（﹣6）☆（﹣6）6，则方程（3x﹣7）☆（3﹣2x）＝2的值为（ ）
A．1
B．
C．6或
D．6
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专题1.6一元一次方程及解法
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【知识梳理】
1方程的定义
（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
（2）列方程的步骤：
①设出字母所表示的未知数；
②找出问题中的相等关系；
③列出含有未知数的等式----方程．
2方程的解
（1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性．
（2）规律方法总结：
无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．
3等式的性质
（1）等式的性质?
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
4一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
5一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
6解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
7同解方程
定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
（或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．）
8由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
【典例剖析】
【考点1】一元一次方程的有关定义
【例1】（2020秋?大连期中）下列方程中属于一元一次方程的是（ ）
A．3x﹣2
B．2x﹣3＝0
C．4x2﹣9＝0
D．3x﹣2y＝1
【分析】根据一元一次方程的定义进行判断．
【解析】A、不是方程，故本选项不符合题意．
B、该方程符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意．
C、该方程未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意．
D、该方程中含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式1.1】（2020春?市中区校级月考）下列方程：①3x﹣y＝2：②x2＝0；③1；④x＝0；⑤3x﹣1≥5：⑥x2﹣2x﹣3＝0；⑦x．其中一元一次方程有（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
【解析】下列方程：①3x﹣y＝2：②x2＝0；③1；④x＝0；⑤3x﹣1≥5：⑥x2﹣2x﹣3＝0；⑦x．其中一元一次方程有③④⑦，共3个．
故选：C．
【变式1.2】（2019秋?广安期末）已知（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若|y﹣m|＝3，求y的值．
【分析】（1）利用一元一次方程的定义确定出m的值即可；
（2）把m的值代入已知等式计算即可求出y的值．
【解析】（1）∵（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程，
∴|m|﹣2＝1且m﹣3≠0，
解得：m＝﹣3；
（2）把m＝﹣3代入已知等式得：|y+3|＝3，
∴y+3＝3或y+3＝﹣3，
解得：y＝0或y＝﹣6．
【变式1.3】（2018秋?西湖区校级月考）（1）已知a，b为常数，且三个单项式4xy2，axy3﹣b，3xy相加得到的和仍然是单项式．那么a+b的值可能是多少？请你说明理由．
（2）已知（m2﹣1）x2﹣（m﹣1）x+8＝0是关于x的一元一次方程，求9（m+x）（2m﹣x）+m的值．
【分析】（1）根据相加后为单项式，可得出a、b的值，继而代入代数式即可；
（2）由一元一次方程的定义可以求得m＝1，把m＝1代入原方程得到x的值，然后把x、m的值代入所求的代数式进行求值．
【解析】（1）因为4xy2和3xy不是同类项，要使它们的和是单项式，只有4xy2与axy3﹣b的和为零或者3xy与axy3﹣b的和是零，
应该有
或者
．
故a+b＝﹣3或a+b＝﹣1．
（2）由题意，得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0．
解得m＝﹣1．
所以2x+8＝0．
则x＝﹣4．
所以9（m+x）（2m﹣x）+m＝9（﹣1﹣4）（﹣2+4）﹣1＝﹣91．
【考点2】一元一次方程的解
【例2】（2020秋?温岭市期中）已知x＝﹣4是关于x的方程ax﹣1＝7的解，求a为多少？
【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于a的一元一次方程，从而可求出a的值．
【解析】根据题意将x＝﹣4代入方程ax﹣1＝7可得：﹣4a﹣1＝7，
解得：a＝﹣2．
【变式2.1】（2020秋?瑶海区期中）关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣x＝m的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
【分析】（1）先分别解关于x的一次方程得到xm+1和x＝2﹣m，再利用相反数的定义得到m+1+2﹣m＝0，然后解关于m的方程即可；
（2）把m的值分别代入xm+1和x＝2﹣m中得到两方程的解．
【解析】（1）解方程x﹣2m＝﹣3x+4得xm+1，
解方程2﹣x＝m得x＝2﹣m，
根据题意得，m+1+2﹣m＝0，
解得m＝6；
（2）当m＝6时，xm+16+1＝4，
即方程x﹣2m＝﹣3x+4的解为x＝4；
当m＝6时，x＝2﹣m＝2﹣6＝﹣4，
即方程2﹣x＝m的解为x＝﹣4．
【变式2.2】（2020秋?金安区校级期中）【定义】
若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“友好方程”．
【运用】
（1）①﹣2x，②x＝﹣1两个方程中为“友好方程”的是 ① （填写序号）；
（2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值；
（3）若关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n（n≠0）是“友好方程”，且它的解为x＝n，则m＝ ﹣3 ，n＝ ．
【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；
（2）根据题中的新定义列出有关b的方程，求出方程的解即可得到b的值；利用题中的新定义确定出所求即可；
（3）根据“友好方程”的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．
【解析】（1）①﹣2x，
解得：x，
而2，是“友好方程”；
②x＝﹣1，
解得：x＝﹣2，
﹣2≠﹣1，不是“友好方程”；
故答案是：①；
（2）方程3x＝b的解为x．
所以3+b．
解得b；
（3）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“友好方程”，并且它的解是x＝n，
∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n，
解得m＝﹣3，n，
故答案为﹣3，．
【变式2.3】（2020春?方城县期中）小明解方程1时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1，试求a的值，并正确地求出原方程的解．
【分析】将错就错去分母，把x＝﹣1代入计算求出a的值，把a的值代入方程计算，求出正确的解即可．
【解析】按方程左边的1没有乘以10，去分母得：2（2x﹣6）+1＝5（x+a），
把x＝﹣1代入得：2×（﹣8）+1＝﹣5+5a，
解得：a＝﹣2，
把a＝﹣2代入原方程，得1，
去分母得：2（2x﹣6）+10＝5（x﹣2），
去括号得：4x﹣12+10＝5x﹣10，
移项合并得：﹣x＝﹣8，
解得：x＝8，
答：a的值是﹣2，原方程的解为x＝8．
【变式2.4】（2019秋?金牛区期末）已知关于x的整式M＝x2+6ax﹣3x+2，整式N＝﹣2x2+4ax﹣2x+2，若a是常数，且2M+N的值与x无关．
（1）求a的值；
（2）若b为整数，关于x的一元一次方程bx+b﹣3＝0的解是正整数，求ab的值．
【分析】（1）把M与N代入2M+N中，去括号合并得到最简结果，由结果与x值无关，则x的系数为0，得m的方程求出m的值即可；
（2）解方程得：x，x是正整数，则，据此即可求得b的值，再计算结果便可．
【解析】（1）∵M＝x2+6ax﹣3x+2，N＝﹣2x2+4ax﹣2x+2，
∴2M+N＝2x2+12ax﹣6x+4﹣2x2+4ax﹣2x+2
＝16ax﹣8x+6
＝（16a﹣8）x+6
∵2M+N的值与x无关，
∴16a﹣8＝0，
解得a；
（2）bx＝3﹣b，
∴x，
∵方程bx+b﹣3＝0的解是正整数，
∴x也是正整数，
∵b为整数，
∴b＝1，
∴．
【考点3】等式的性质
【例3】利用等式的性质解下列方程：
（1）2x+3＝11；
（2）x﹣1x+3；
（3）x﹣1＝6；
（4）﹣3x﹣1＝5﹣6x．
【分析】（1）利用等式的性质1变形为：2x＝8，然后利用等式的性质2得到x＝4；
（2）利用等式的性质1得到：，然后利用等式的性质2可得到x＝16；
（3）利用等式的性质1得到7，然后利用等式的性质2可得到x＝14；
（4）利用等式的性质1得到3x＝6，然后利用等式的性质2可得到x＝2．
【解析】（1）等式两边同时减3得：2x＝8，等式两边同时除以2得x＝4；
（2）等式两边同时减再加1得：，等式两边同时乘以4得x＝16；
（3）等式两边同时加1得：7，等式两边同时乘以2得x＝14；
（4）等式两边同时加上6x+1得：3x＝6，等式两边同时除以3得x＝2．
【变式3.1】（2020春?射洪市期末）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据第一个天平可得2●＝▲+■，根据第二个天平可得●+▲＝■，可得出答案．
【解析】根据图示可得：
2●＝▲+■①，
●+▲＝■②，
由①②可得●＝2▲，■＝3▲，
则■+●＝5▲＝2●+▲＝●+3▲．
故选：A．
【变式3.2】（2019秋?南岗区期末）比a的3倍大5的数等于a的4倍用等式表示为 3a+5＝4a ．
【分析】根据题意a的3倍表示为3a，即得出3a+5，同理a的4倍表示为4a，再用等号连接即可．
【解析】根据题意得：3a+5＝4a．
故答案为：3a+5＝4a．
【变式3.3】利用等式的性质解下列方程：
（1）x+25＝95；
（2）x﹣12＝﹣4；
（3）0.3x＝12；
（4）3．
【分析】等式的两个基本性质分别是：等式的两边同时加上或减去同一个数，等式的大小不变；等式的两边同时乘上同一个数或除以同一个不为0的数，等式的大小不变；据此解答．
【解析】（1）方程两边同时减去25得：
x+25﹣25＝95﹣25，
解得x＝70；
（2）方程两边同时加上12得
x﹣12+12＝﹣4+12，
解得：x＝8；
（3）方程两边同时除以0.3得
0.3x÷0.3＝12÷0.3，
解得：x＝40；
（4）方程两边同时乘以得：
3，
解得：x．
【考点4】一元一次方程的解法——移项
【例4】（2020秋?庆云县期中）解方程：x+5x﹣6．
【分析】按解一元一次方程的一般步骤求解即可．
【解析】移项，得xx＝﹣5﹣6，
合并同类项，得x＝﹣11，
系数化为1，得x＝33．
【变式4.1】（2020秋?丹江口市期中）若2a﹣4与a+7互为相反数，则a＝ ﹣1 ．
【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解析】根据题意得：2a﹣4+a+7＝0，
解得：a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【变式4.2】（2020秋?武昌区期中）我们知道，无限循环小数可以转化为分数，例如0.转化为分数时，可设0.x，则3.10x，两式相减得3＝9x，解得x，即0.，则0.转化为分数是 ．
【分析】设0.x，则12.100x，两式相减得出12＝99x，求出x即可．
【解析】设0.x，则12.100x，
两式相减得：12＝99x，
解得：x，
即0.，
故答案为：．
【变式4.3】（2020秋?香坊区校级期中）若式子3x+4与2﹣5x的值相等，则x的值为 ﹣0.25 ．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解析】根据题意得：3x+4＝2﹣5x，
移项得：3x+5x＝2﹣4，
合并得：8x＝﹣2，
解得：x＝﹣0.25．
故答案为：﹣0.25．
【考点5】一元一次方程的解法——去括号
【例5】解方程：
（1）（3x﹣1）﹣3（2x﹣5）﹣（x+3）+9＝0；
（2）x+[2（x﹣4）]＝2x+3；
（3）2x[x（x﹣1）]（x﹣1）；
（4）3（x﹣1）（x﹣1）＝2（x﹣1）（x+1）．
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（3）去括号，去分母，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（4）去分母，移项，合并同类项，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
【解析】（1）（3x﹣1）﹣3（2x﹣5）﹣（x+3）+9＝0，
去括号得：3x﹣1﹣6x+15﹣x﹣3+9＝0，
移项得：3x﹣6x﹣x＝1﹣15+3﹣9，
合并同类项得：﹣4x＝﹣20，
系数化为1得：x＝5．
（2）x+[2（x﹣4）]＝2x+3，
去括号得：x+2x+2＝2x+3，
移项得：x2x＝3﹣2﹣2，
合并同类项得：x＝﹣1，
系数化为1得：x．
（3）2x[x（x﹣1）]（x﹣1），
去括号得：2xxx，
去分母得：24x﹣6x+3x﹣3＝8x﹣8，
移项得：24x﹣6x+3x﹣8x＝﹣8+3，
合并同类项得：13x＝﹣5，
系数化为1得：x．
（4）3（x﹣1）（x﹣1）＝2（x﹣1）（x+1），
去分母得：18（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝12（x﹣1）﹣3（x+1），
移项得：4（x﹣1）＝﹣3（x+1），
去括号得：4x﹣4＝﹣3x﹣3，
合并同类项得：4x+3x＝﹣3+4，
系数化为1得：x．
【变式5.1】解方程：
（1）6（x﹣1）＝3x+7；
（2）3x﹣（4x﹣5）＝7；
（3）5（2﹣x）＝﹣（2x﹣7）；
（4）3（x﹣1）﹣（x+3）＝2（2x﹣5）；
（5）4﹣x＝2﹣3（2﹣x）；
（6）5x﹣（2﹣x）＝1．
【分析】（1）先去括号、移项得到2x﹣3x＝7+6，然后合并后把x的系数化为1即可；
（2）先去括号，再移项合并即可，然后合并后把x的系数化为1即可；
（3）先去括号、移项得到﹣5x+2x＝7﹣10，然后合并后把x的系数化为1即可；
（4）先去括号、移项得到3x﹣x﹣4x＝﹣10+6，然后合并后把x的系数化为1即可；
（5）先去括号、移项得到﹣x﹣3x＝2﹣6﹣4，然后合并后把x的系数化为1即可；
（6）先去括号、移项得到6x＝3，然后把x的系数化为1即可．
【解析】（1）2x﹣6＝3x+7，
2x﹣3x＝7+6，
﹣x＝13，
所以x＝﹣13；
（2）3x﹣4x+5＝7，
﹣x＝2，
所以x＝﹣2；
（3）10﹣5x＝﹣2x+7，
﹣5x+2x＝7﹣10，
﹣3x＝﹣3，
所以x＝1；
（4）3x﹣3﹣x﹣3＝4x﹣10，
3x﹣x﹣4x＝﹣10+6，
﹣2x＝﹣4，
所以x＝2；
（5）4﹣x＝2﹣6+3x，
﹣x﹣3x＝2﹣6﹣4，
﹣4x＝﹣8，
所以x＝2；
（6）5x﹣2+x＝1，
6x＝3，
所以x；
【变式5.2】若代数式x（x﹣1）与代数式2（2x+1）的值相等，则x＝ ．
【分析】根据题意列出方程x（x﹣1）＝2（2x+1），求出方程的解即可得到x的值．
【解析】根据题意得：x（x﹣1）＝2（2x+1），
15x﹣5（x﹣1）＝30﹣3（2x+1），
15x﹣5x+5＝30﹣6x﹣3，
15x﹣5x+6x＝30﹣3﹣5，
16x＝22，
x．
故答案为：．
【变式5.3（2020?鼓楼区校级模拟）解方程5（x﹣2）＝6（）．有以下四个步骤，其中第①步的依据是 乘法分配律 ．
解：①去括号，得5x﹣10＝3x﹣2．
②移项，得5x﹣3x＝10﹣2．
③合并同类项，得2x＝8．
④系数化为1，得x＝4．
【分析】解决此题应先去括号，再移项，移项时要注意符号的变化．
【解析】第①步去括号的依据是：乘法分配律．
故答案是：乘法分配律．
【变式5.4】（2020春?三门峡期末）定义一种新运算“a☆b”的含义为：当a≥b时，a☆b＝a+b；当a＜b时，a☆b＝a﹣b．例如：3☆（﹣4）＝3+（﹣4）＝﹣1，（﹣6）☆（﹣6）6，则方程（3x﹣7）☆（3﹣2x）＝2的值为（ ）
A．1
B．
C．6或
D．6
【分析】分3x﹣7≥3﹣2x和3x﹣7＜3﹣2x两种情况，依据新定义列出方程求解可得．
【解析】当3x﹣7≥3﹣2x，即x≥2时，
由题意得：（3x﹣7）+（3﹣2x）＝2，
解得
x＝6；
当3x﹣7＜3﹣2x，即x＜2时，
由题意得：（3x﹣7）﹣（3﹣2x）＝2，
解得x（舍去），
∴x的值为6．
故选：D．
【变式5.5】（2020秋?兴化市期中）当x为何值时，代数式2（x﹣1）的值与9﹣x的值互为相反数？
【分析】根据题意题意代数式2（x﹣1）的值与9﹣x的值互为相反数，即可列一元一次方程2（x﹣1）+（9﹣x）＝0，求解一元一次方程即可得出答案．
【解析】根据题意可得，
2（x﹣1）+（9﹣x）＝0，
2x﹣2+9﹣x＝0，
解得：x＝﹣7，
当x＝﹣7时，代数式2（x﹣1）的值与9﹣x的值互为相反数．
【考点6】一元一次方程的解法——去分母
【例6】（2020?杭州）以下是圆圆解方程1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．
【解析】圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
去分母，得：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．
去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
【变式6.1】（2019秋?台安县期末）已知与互为倒数，则x等于 9 ．
【分析】根据互为倒数的两数之积为1可列出方程，从而解得x的值．
【解析】∵与互为倒数，
∴1，
解得：x＝9．
故填9．
【变式6.2】解下列方程：
（1）
（2）x﹣2[x﹣4（x﹣1）]﹣8＝﹣2
（3）
（4）．
【分析】先去括号、移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解．
【解析】（1），
xx0，
x，
x；
（2）x﹣2[x﹣4（x﹣1）]﹣8＝﹣2，
x﹣2[x﹣4x+4]﹣8＝﹣2，
x﹣2x+8x﹣8﹣8＝﹣2，
7x＝14，
x＝2；
（3），
x1，
x；
（4）
x1x，
x，
x＝﹣2．
【变式6.3】（2018秋?岐山县期末）老师在黑板上出了一道解方程的题：1，小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的：4（2x﹣1）＝1﹣3（x+2），①
8x﹣4＝1﹣3x﹣6，②
8x+3x＝1﹣6+4，③
11x＝﹣1，④
x．⑤
老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了．请你指出他错在第 ① 步（填编号），然后再细心地解下面的方程，相信你一定能做对．
（1）5（x+8）＝6（2x﹣7）+5
（2）1
【分析】根据小明的第一步去分母时，没有分母的项1漏乘12了；得出这是一个带分母的方程，所以要先去分母，方程两边要同乘以分母的最小公倍数6，变形可得3（x+1）﹣2（2﹣3x）＝6，然后去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程即可．
（1）去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程即可．
（2）去分母，去括号，移项、合并同类项、化系数为1解方程即可．
【解析】他错在第①步．
（1）5（x+8）＝6（2x﹣7）+5，
去括号得：5x+40＝12x﹣42+5，
移项得：5x﹣12x＝﹣42+5﹣40，
合并同类项得：﹣7x＝﹣77，
把x的系数化为1得：x＝11；
（2）1，
去分母得：3（3a﹣1）﹣12＝2（5a﹣7），
去括号得：9a﹣3﹣12＝10a﹣14，
移项得：9a﹣10a＝﹣14+3+12，
合并同类项得：﹣a＝1，
把a的系数化为1得：a＝﹣1．
故答案为：①．
【考点7】含小数的一元一次方程
【例7】（2020春?宛城区期中）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．
解：原方程可变形为（ 分数的基本性质 ）
（ 去分母 ），得3（3x+5）＝2（2x﹣1）（ 等式的基本性质2 ）
去括号，得9x+15＝4x﹣2．（ 去括号法则 ）
（ 移项得 ），得9x﹣4x＝﹣15﹣2．（ 等式的基本性质1 ）
合并同类项，得5x＝﹣17．（合并同类项法则）
（ 系数化为1 ），得x．（ 等式的基本性质2 ）
【分析】利用解分式方程的步骤及依据填写即可．
【解析】原方程可变形为（分数的基本性质）
（去分母），得3（3x+5）＝2（2x﹣1）（等式的基本性质2）
去括号，得9x+15＝4x﹣2．（去括号法则）
（移项），得9x﹣4x＝﹣15﹣2．（等式的基本性质1）
合并同类项，得5x＝﹣17．（合并同类项法则）
（系数化为1），得x．（等式的基本性质2）．
故答案为：分数的基本性质；去分母；等式的基本性质2；去括号法则；移项；等式的基本性质1；系数化为1；等式的基本性质2．
【变式7.1】（2020?路南区一模）阅读下列解方程的过程，此过程从上一步到所给步有的产生了错误，则其中没有错误的是（ ）
解方程：．
①；
②2（10x﹣30）﹣5（10x+40）＝160；
③20x﹣60﹣50x+200＝160；
④﹣30x＝300．
A．①
B．②
C．③
D．④
【分析】依次分析4个运算过程，根据运算法则即可判断．
【解析】A、过程①中1.6变成16，错误，本选项不符合题意；
B、过程②去分母正确，本选项符合题意；
C、过程③去括号时应该为﹣200，错误，本选项不符合题意；
D、过程④移项及合并同类项时应该化简为﹣30x＝20错误，本选项不符合题意；
故选：B．
【变式7.2】（2020秋?南岗区校级月考）将方程1中分母化为整数，正确的是（ ）
A．10
B．10
C．1
D．1
【分析】方程各项分子分母扩大相应的倍数，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断．
【解析】方程整理得：1．
故选：C．
【变式7.3】解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
（2）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
（3）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
（4）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
【解析】（1），
整理得：1，
去分母得：5（1﹣20x）＝15+100x，
去括号得：5﹣100x＝15+100x，
移项得：﹣100x﹣100x＝15﹣5，
合并同类项得：﹣200x＝10，
系数化为1得：x．
（2），
整理得：，
去分母得：5（10x+80）﹣2（10x﹣30）＝12﹣2（x+16），
去括号得：50x+400﹣20x+60＝12﹣2x﹣32，
移项得：50x﹣20x+2x＝12﹣32﹣400﹣60，
合并同类项得：32x＝﹣480，
系数化为1得：x＝﹣15．
（3），
整理得：，
去分母得：2（3x﹣5）+9＝（5+4x），
去括号得：6x﹣10+9＝5+4x，
移项得：6x﹣4x＝5+10﹣9，
合并同类项得：x＝3；
（4）．
整理得：（20+3x）
去分母得：2（30+2x）﹣4（20+3x）＝3，
去括号得：60+4x﹣80﹣12x＝3，
移项得：4x﹣12x＝3﹣60+80，
合并同类项得：﹣8x＝23，
系数化为1得：x．
【考点8】同解方程问题
【例8】（2020秋?庆云县期中）已知方程2x与关于x的方程3a﹣a＝﹣5x﹣3x的解相等，求a﹣1的值．
【分析】先求出方程2x的解，再代入方程3a﹣a＝﹣5x﹣3x求出a的值，进而得出a﹣1的值，
【解析】2x，
方程两边同时除以2，得x，
把x代入3a﹣a＝﹣5x﹣3x，得2a＝﹣8，
解得a，
所以a﹣1．
【变式8.1】（2019秋?开福区校级期末）我们把解相同的两个方程称为同解方程．例如：方程：2x＝6与方程4x＝12的解都为x＝3，所以它们为同解方程．
（1）若方程2x﹣3＝11与关于x的方程4x+5＝3k是同解方程，求k的值；
（2）若关于x的方程3[x﹣2（x）]＝4x和1是同解方程，求k的值；
（3）若关于x的方程2x﹣3a＝b2和4x+a+b2＝3是同解方程，求14a2+6ab2+8a+6b2的值．
【分析】（1）根据方程2x﹣3＝11与关于x的方程4x+5＝3k是同解方程，即可求出k的值；
（2）根据方程3[x﹣2（x）]＝4x和1是同解方程，用含k的式子表示x，即可求k的值；
（3）根据方程2x﹣3a＝b2和4x+a+b2＝3是同解方程，利用整体思想将得出的7a+3b2＝3，代入到14a2+6ab2+8a+6b2即可求值．
【解析】（1）∵方程2x﹣3＝11与关于x的方程4x+5＝3k是同解方程，
∴2x﹣3＝11，解得x＝7，
把x＝7代入方程4x+5＝3k，解得k＝11，
所以k的值为11；
（2）∵方程3[x﹣2（x）]＝4x和1是同解方程，
∴3[x﹣2（x）]＝4x解得，x，
1解得，x（27﹣2k），
∴（27﹣2k），
解得k；
所以k的值为；
（3）∵方程2x﹣3a＝b2和4x+a+b2＝3是同解方程，
∴2x﹣3a＝b2即4x﹣6a＝2b2，
∴4x＝6a+2b2，
∵4x+a+b2＝3，
∴6a+2b2+a+b2＝3，
即7a+3b2＝3，
∴14a2+6ab2+8a+6b2
＝2a（7a+3b2）+7a+3b2+a+3b2
＝6a+3+a+3b2
＝7a+3b2+3
＝3+3
＝6．
所以14a2+6ab2+8a+6b2的值为6．
【变式8.2】（2019秋?海珠区期末）已知关于x的一元一次方程4x+2m＝3x﹣1，
（1）求这个方程的解；
（2）若这个方程的解与关于x的方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解相同，求m的值．
【分析】（1）按解方程的步骤，用含m的代数式表示x即可；
（2）先用含m的代数式表示出方程的解，根绝方程的解相同，得到一个关于m的新方程，求解即可．
【解析】（1）移项，得4x﹣3x＝﹣1﹣2m，
所以x＝﹣1﹣2m；
（2）去括号，得3x+3m＝﹣x+1，
移项，得4x＝1﹣3m
解得x
由于两个方程的解相同，
∴﹣1﹣2m
即﹣4﹣8m＝1﹣3m
解，得m＝﹣1
答：m的值为﹣1．
【变式8.3】（2019秋?丹江口市期末）在作解方程练习时，学习卷中有一个方程“2yy+W”中的W没印清晰，小聪问老师，老师只是说：“W是个有理数，该方程的解与方程3（x﹣1）﹣2（x﹣2）＝3的解相同．”小聪很快补上了这个常数，聪明的你能补上这个常数吗？
【分析】解方程3（x﹣1）﹣2（x﹣2）＝3，可得x＝2，可得到y＝2，再把y＝2代入方程2yy+W中，即可得到答案．
【解析】解方程3（x﹣1）﹣2（x﹣2）＝3得，x＝2，
由题意知y＝x＝2，
将y＝2代入2yy+W中得，
，
解得，W＝3．
【变式8.4】（2018秋?云梦县期末）若方程（|m|﹣2）x2﹣（m+2）x+8＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若它与方程5x+ax＝12有相同的解，求a的值．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义列出方程组，求出m的值即可；
（2）将m的值代入得原方程，求出x的值，再把x的值代入方程5x+ax＝12，求出a的值即可．
【解析】（1）∵方程（|m|﹣2）x2﹣（m+2）x+8＝0是关于x的一元一次方程，
∴，
∴m＝2；
（2）当m＝2时，原方程为﹣4x+8＝0，
∴x＝2，
将x＝2代入方程5x+ax＝12中，
10+2a＝12，
∴a＝1．
【考点9】由实问题抽象出一元一次方程
【例9】（2018秋?东城区期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》采用问题集的形式，全书共收集了246个问题，分为九章，其中的第八章叫“方程”章，方程一词就源于这里．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”
译文：“几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人，物品的价格是多少”？
设有x人，可列方程为 8x﹣3＝7x+4 ．
【分析】根据译文：“几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人，物品的价格是多少”？可知若设有x人，可列出相应的方程，从而本题得以解决．
【解析】由题意可得，
设有x人，可列方程为：8x﹣3＝7x+4．
故答案为：8x﹣3＝7x+4．
【变式9.1】（2015秋?赵县期末）有一位旅客携带了30kg重的行李从上海乘飞机去北京，按民航总局规定：旅客最多可免费携带20kg重的行李，超重部分每千克按飞机票价格1.5%购买行李票，现该旅客购买了180元的行李票，则飞机票价格应是多少元？
【分析】设飞机票价格应是x元，根据该旅客购买了180元的行李票，列方程求解．
【解析】设飞机票价格应是x元，
由题意得：（30﹣20）×1.5%
x＝180，
解之得：x＝1200，
答：飞机票价格应是1200元．
【变式9.2】某车间有26名工人，每人每天生产螺栓12个或螺母18个，设有x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，则可列一个关于x的方程为 2×12x＝18（26﹣x） ．
【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（26﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程．
【解析】设分配x名工人生产螺栓，则（26﹣x）名生产螺母，
∵要使每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，
∴可得2×12x＝18（26﹣x）．
故答案为：2×12x＝18（26﹣x）．
【变式9.3】根据下列题意，列出方程：
（1）已知长方形的周长是36cm，长比宽的2倍多3cm，求长方形的长与宽各是多少？
（2）毕业在即，九年级某班为纪念师生情谊，班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课老师每人一本留作纪念．其中送给任课老师的留念册的单价比给同学的单价多8元．请问这两种不同留念册的单价分别为多少元？
【分析】（1）根据长方形的周长公式可得：长方形的长＝周长÷2﹣宽，据此计算即可解答．
（2）设送给老师的单价是x元，送给同学的是每本（x﹣8）元，根据班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课教师每人一本作纪念，其中送给任课教师的留念册单价比给同学的单价多8元可列出方程求解．
【解析】（1）设宽为x，则长为（2x+3）cm，根据题意得：2（x+2x+3）＝36；
（2）设送给老师的单价为x元，则送给同学的是每本（x﹣8）元，
根据题意得：10x+50（x﹣8）＝800．
【考点10】有关方程的新定义问题
【例10】（2020春?孟津县期中）对有理数a，b规定运算“
”的意义为a
b＝a+2b，比如：5
7＝5+2×7，则方程3x
2﹣x的解为 ．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【解析】根据题中的新定义化简得：3x2﹣x，
去分母得：6x+1＝4﹣2x，
解得：x．
故答案为：．
【变式10.1】（2020春?思明区校级期末）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若nx＜n则（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．给出下列关于（x）的结论：
①（1.493）＝1；
②（2x）＝2（x）；
③若（x﹣1）＝4，则x的取值范围是9≤x＜11；
④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2020x）＝m+（2020x）；
其中正确的结论有 ①③④ （填写所有正确的序号）．
【分析】对于①可直接判断，②可用举反例法判断，③、④我们可以根据题意所述利用不等式判断．
【解析】①（1.493）＝1，故①符合题意；
②（2x）≠2（x），例如当x＝0.3时，（2x）＝1，2（x）＝0，故②不符合题意；
③若（x﹣1）＝4，则4x﹣1＜4，解得：9≤x＜11，故③符合题意；
④m为非负整数，故（m+2020x）＝m+（2020x），故④符合题意；
综上可得①③④正确．
故答案为：①③④．
【变式10.2】（2020秋?兴化市期中）用“
”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a
b＝ab2+2ab﹣b．如：1
3＝1×32+2×1×3﹣3＝12．
（1）求（﹣2）
4的值；
（2）若（x﹣1）
3＝12，求x的值；
（3）若m
（2x），n＝（2x﹣1）
2（其中x为有理数），试比较m、n大小关系，并说明理由．
【分析】（1）根据新运算展开，再求出即可；
（2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可；
（3）先根据新运算展开，再求出m、n，即可得出答案．
【解析】（1）（﹣2）
4
＝﹣2×42+2×（﹣2）×4﹣4
＝﹣32﹣16﹣4
＝﹣72；
（2）∵（x﹣1）
3＝12，
∴（x﹣1）×32+2（x﹣1）×3﹣3＝12，
整理得：15x＝30，
解得：x＝2；
（3）由题意m（2x）2+2?2x﹣2x＝18x2+16x，
n＝（2x﹣1）×22+2（2x﹣1）×2﹣2＝16x﹣10，
所以m﹣n＝18x2+10＞0．
所以m＞n．
【变式10.3】（2020秋?西城区校级期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）◆（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）◆（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，﹣3）◆（3，2）＝ ﹣13 ；
（2）若有理数对（﹣3，2x﹣1）◆（1，x+1）＝7，则x＝ 1 ；
（3）当满足等式（﹣3，2x﹣1）◆（k，x+k）＝5+2k的x是整数时，求整数k的值．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值；
（3）已知等式利用题中的新定义化简，根据x与k都为整数，确定出k的值即可．
【解析】（1）根据题中的新定义得：原式＝﹣3×3﹣2×2＝﹣9﹣4＝﹣13；
（2）根据题中的新定义化简得：（2x﹣1）+3（x+1）＝7，
去括号得：2x﹣1+3x+3＝7，
解得：x＝1；
（3）已知等式化简得：k（2x﹣1）+3（x+k）＝5+2k，
整理得：2kx﹣k+3x+3k＝5+2k，即（2k+3）x＝5，
解得：x，
由x为整数，得到2k+3＝±1或2k+3＝±5，
解得：k＝﹣1，﹣2，1，﹣4．
故答案为：（1）﹣13；（2）1．
【变式10.4】（2020春?三门峡期末）定义一种新运算“a☆b”的含义为：当a≥b时，a☆b＝a+b；当a＜b时，a☆b＝a﹣b．例如：3☆（﹣4）＝3+（﹣4）＝﹣1，（﹣6）☆（﹣6）6，则方程（3x﹣7）☆（3﹣2x）＝2的值为（ ）
A．1
B．
C．6或
D．6
【分析】分3x﹣7≥3﹣2x和3x﹣7＜3﹣2x两种情况，依据新定义列出方程求解可得．
【解析】当3x﹣7≥3﹣2x，即x≥2时，
由题意得：（3x﹣7）+（3﹣2x）＝2，
解得
x＝6；
当3x﹣7＜3﹣2x，即x＜2时，
由题意得：（3x﹣7）﹣（3﹣2x）＝2，
解得x（舍去），
∴x的值为6．
故选：D．
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