高中数学：4.1.1 数系的扩充和复数的概念 学案 （北师大选修1-2）

4.1.1 数系的扩充和复数的概念
教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？
（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）
2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：
（1） （2） （3） （4）
3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程一个解，则这个解要满足什么条件？是否在实数集中？
实数与相乘、相加的结果应如何？
二、讲授新课：
1. 教学复数的概念：
①定义复数：形如的数叫做复数，通常记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集。
例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
规定：，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定，取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？
③定义虚数：叫做虚数，叫做纯虚数。
④ 数集的关系：
上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？
2例题2：实数m取什么值时，复数
是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数
（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）
练习：已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值。（讨论中，k取何值时是实数？）
三、总结提升：
复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。
四、反馈练习：
1．复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为那么第四个顶点对应的复数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)是虚数，则实数m满足　　　　　　　（　 　 ）
（A）m≠－1 （B）m≠6 (C) m≠－1或m≠6 (D) m≠－1且m≠6
3．下列命题中，假命题是( )
（A）两个复数不可以比较大小 （ B）两个实数可以比较大小
（ C ）两个虚数不可以比较大小 （ D ）一虚数和一实数不可以比较大小
4．设z＝为实数时，实数a的值是（）
A.3 B.－5 C.3或－5 D.－3或5
5．复数不是纯虚数，则有__________________.
6．已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =
7．设关于的方程,若方程有实数根，则锐角和实数根______.
8．已知复数，满足，且为纯虚数，求证： 为实数。
9．已知关于的方程组有实数，求的值。
10．设复数，试求m取何值时
（1）Z是实数； （2）Z是纯虚数； （3）Z对应的点位于复平面的第一象限
11．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
12．判断① 两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大。( )
②　复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。( )
13.若，则的值是？
14.已知是虚数单位，复数，当取何实数时，是：
（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零
五．学后反思
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