高中数学：1.1集合的含义及其表示 第2课时 学案 （北师大必修1）
文档属性
| 名称 | 高中数学：1.1集合的含义及其表示 第2课时 学案 （北师大必修1） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 59.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-07-01 20:52:00 | ||
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文档简介
1．1 集合的含义及其表示 第2课时
【学习目标】
1．理解并掌握集合三种表示方法；熟练地进行集合表示方法之间的转换；
2．初步理解集合相等的概念，并会初步运用；
3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力.
【课前导学】
一、复习回顾：
集合的概念描述：
1）一般地，一定范围内某些 确定的、不同的对象的全体 构成一个集合。
2）集合的元素具有__确定____性、_互异__性和__无序__性．
3）如果a是集合A的元素，记作________．
4）集合的分类： 有限集，无限集和空集 .
常用数集的符号：
自然数集__N____；正整数集__N*____；整数集__Z____；有理数集__Q____；实数集__R___．
二、思考题：
集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？
（1）0 （2） （3）
分析：先把x写成a+b的形式，再观察a，b是否为整数.
【解】（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为， 所以 .
点评: 要判断某个元素是否是某个集合的元素，就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.
三、问题情境
观察下列对象能否构成集合
（1）满足x－3＞2的全体实数；
（2）本班的全体男生；
（3）我国的四大发明；
（4）2008年北京奥运会中的球类项目；
（5）不等式2x+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形；
如果能够，那么这些集合又如何来表示？
【课堂活动】
一、建构数学：
1、列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内.用这种方法表示集合，元素要用逗号隔开，但与元素的次序无关.
思考：用列举法表示下列对象构成集合：
（1）满足x－3＞2的全体实数；
（2）本班的全体男生；
（3）我国的四大发明；
（4）2008年北京奥运会中的球类项目；
（5）不等式2x+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形.
【提醒】
(1)如果两个集合所含元素完全相同（ 即A中的元素都是B中的元素，B中的元素也都是A中的元素），则称这两个集合相等.
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.
（3）集合{（1，2），（3，4）}与集合{1，2，3，4}不同 .
2、描述法：
将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x|p(x)}的形式.
如：{x|x为中国直辖市}，{x|x为young中的字母} .
所有直角三角形的集合可以表示为： { x|x是直角三角形}等.
3、Venn图法：
用封闭的曲线内部表示集合（形象直观）.如：集合{x|x为young中的字母}.
【思考】何时用列举法？何时用描述法？
（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法.
如 ：集合{ 3，7，8 }.
(2)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法.
如：集合{(x,y)|y=x+1} ；集合{x|x为1000以内的质数}.
4、 集合相等：
如果两个集合A，B所含的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为：____A=B____ .
二、应用数学：
例1 用列举法表示下列集合：
①{x∈N|x是15的约数}；
②{x|x= ,n ∈N} ；
③{(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y ∈ N}；
解：①； ②；③ .
例2 用描述法表示下列集合：
①{1，4，7，10，13}；
②奇数的集合.
解：①；
②.
例3 用适当的方法表示下列集合：
方程x2-2x-3=0的解集；
不等式2x-3>5的解集；
方程组的解集.
解：（1）；
（2）；
（3） .
【解后反思】常见题型，常考题型，可以有多种不同的表示方法！
例4 已知,求集合M .
解： .
【变式】已知,求集合M.
解：M= .
【解后反思】审题时注意两者代表元素的区别.
例5 若
【思路分析】第一个集合中有元素0，分析知，b=0, 从而集合可以化简为 .
解：第一个集合中有元素0，故必有b=0, 从而集合可以化简为，
因此a=1
有集合中元素的互异性知，a= -1, a=1不合，舍去.
故a= -1 .
【解后反思】特殊元素优先原则.
例6 已知A={x|a+2x+1=0},
若A中有且只有一个元素，求a的取值集合；
若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
解：（1）由题意知，A中有且只有一个元素，
当a=0时，对应方程为一次方程，此时A=，符合题意；
当a0时，对应方程a+2x+1=0有两个相等实根，即a=1时也符合题意.
综上所述，a的取值集合为；
由（1）知，a = 0或1时， A中有且只有一个元素，符合题意；
当对应方程a+2X+1=0无实根时，即 a>1时，A=，符合题意；
综上所述，a = 0或a1 .
【解后反思】
1、注意 分类讨论；
2、一元二次方程有两个相等实数根，对应的方程的解集只有一个元素.
三、理解数学：
1、用列举法表示下列集合：
（1）中国国旗的颜色的集合；
（2）单词mathematics中的字母的集合；
（3）自然数中不大于10的质数的集合；
（4）同时满足的整数解的集合.
解：（1）{红，黄}；
（2）{m，a，t，h，e，i，c，s }；
（3）{2，3，5，7 }；
（4）{-1，0，1，2}.
2、用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数的集合；
（2）使有意义的x的集合；
（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；
（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；
（5）图中阴影部分内点的集合.
【解】（1）{x|x=3k，k∈Z}；
（2）{x|x≤2且x≠0 }；
（3）；
（4）{(x,y)| y=-x2+3x-6}；
（5）{(x,y)| 或 .
3、已知A=,试用列举法表示集合A.
【答案】A=｛－3,0,1,2｝.
【课后提升】
1.下列集合表示法错误的是 （1）（2）（4）（6） .
（1）｛１，２，２，３｝；（2）｛全体实数｝；（3）｛有理数｝；
（4）不等式ｘ２－５＞０的解集为｛ｘ２－５＞０｝；(5) {Ф}；
(6) 方程组的解的集合为{2，4}.
2.用列举法表示下列集合：
①{x|x为不大于10的正偶数}=__｛2,4,6,8,10｝_____;
②=__｛（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）｝___;
③集合{ｘ∈Ｎ｜－１＜ｘ＜４}用列举法表示为 ｛0,1,2,3｝ ;
④数字和为的两位数=_｛14,23,32,41,50｝__;
⑤=__｛（0,8），（2,5），（4,2）｝__;
3.已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．
解：分两种情况讨论：
① 1+a2+b2=2；
② 这与集合的性质矛盾，
∴ 1+a2+b2=2 .
( http: / / www. / )
【学习目标】
1．理解并掌握集合三种表示方法；熟练地进行集合表示方法之间的转换；
2．初步理解集合相等的概念，并会初步运用；
3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力.
【课前导学】
一、复习回顾：
集合的概念描述：
1）一般地，一定范围内某些 确定的、不同的对象的全体 构成一个集合。
2）集合的元素具有__确定____性、_互异__性和__无序__性．
3）如果a是集合A的元素，记作________．
4）集合的分类： 有限集，无限集和空集 .
常用数集的符号：
自然数集__N____；正整数集__N*____；整数集__Z____；有理数集__Q____；实数集__R___．
二、思考题：
集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？
（1）0 （2） （3）
分析：先把x写成a+b的形式，再观察a，b是否为整数.
【解】（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为， 所以 .
点评: 要判断某个元素是否是某个集合的元素，就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.
三、问题情境
观察下列对象能否构成集合
（1）满足x－3＞2的全体实数；
（2）本班的全体男生；
（3）我国的四大发明；
（4）2008年北京奥运会中的球类项目；
（5）不等式2x+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形；
如果能够，那么这些集合又如何来表示？
【课堂活动】
一、建构数学：
1、列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内.用这种方法表示集合，元素要用逗号隔开，但与元素的次序无关.
思考：用列举法表示下列对象构成集合：
（1）满足x－3＞2的全体实数；
（2）本班的全体男生；
（3）我国的四大发明；
（4）2008年北京奥运会中的球类项目；
（5）不等式2x+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形.
【提醒】
(1)如果两个集合所含元素完全相同（ 即A中的元素都是B中的元素，B中的元素也都是A中的元素），则称这两个集合相等.
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.
（3）集合{（1，2），（3，4）}与集合{1，2，3，4}不同 .
2、描述法：
将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x|p(x)}的形式.
如：{x|x为中国直辖市}，{x|x为young中的字母} .
所有直角三角形的集合可以表示为： { x|x是直角三角形}等.
3、Venn图法：
用封闭的曲线内部表示集合（形象直观）.如：集合{x|x为young中的字母}.
【思考】何时用列举法？何时用描述法？
（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法.
如 ：集合{ 3，7，8 }.
(2)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法.
如：集合{(x,y)|y=x+1} ；集合{x|x为1000以内的质数}.
4、 集合相等：
如果两个集合A，B所含的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为：____A=B____ .
二、应用数学：
例1 用列举法表示下列集合：
①{x∈N|x是15的约数}；
②{x|x= ,n ∈N} ；
③{(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y ∈ N}；
解：①； ②；③ .
例2 用描述法表示下列集合：
①{1，4，7，10，13}；
②奇数的集合.
解：①；
②.
例3 用适当的方法表示下列集合：
方程x2-2x-3=0的解集；
不等式2x-3>5的解集；
方程组的解集.
解：（1）；
（2）；
（3） .
【解后反思】常见题型，常考题型，可以有多种不同的表示方法！
例4 已知,求集合M .
解： .
【变式】已知,求集合M.
解：M= .
【解后反思】审题时注意两者代表元素的区别.
例5 若
【思路分析】第一个集合中有元素0，分析知，b=0, 从而集合可以化简为 .
解：第一个集合中有元素0，故必有b=0, 从而集合可以化简为，
因此a=1
有集合中元素的互异性知，a= -1, a=1不合，舍去.
故a= -1 .
【解后反思】特殊元素优先原则.
例6 已知A={x|a+2x+1=0},
若A中有且只有一个元素，求a的取值集合；
若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
解：（1）由题意知，A中有且只有一个元素，
当a=0时，对应方程为一次方程，此时A=，符合题意；
当a0时，对应方程a+2x+1=0有两个相等实根，即a=1时也符合题意.
综上所述，a的取值集合为；
由（1）知，a = 0或1时， A中有且只有一个元素，符合题意；
当对应方程a+2X+1=0无实根时，即 a>1时，A=，符合题意；
综上所述，a = 0或a1 .
【解后反思】
1、注意 分类讨论；
2、一元二次方程有两个相等实数根，对应的方程的解集只有一个元素.
三、理解数学：
1、用列举法表示下列集合：
（1）中国国旗的颜色的集合；
（2）单词mathematics中的字母的集合；
（3）自然数中不大于10的质数的集合；
（4）同时满足的整数解的集合.
解：（1）{红，黄}；
（2）{m，a，t，h，e，i，c，s }；
（3）{2，3，5，7 }；
（4）{-1，0，1，2}.
2、用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数的集合；
（2）使有意义的x的集合；
（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；
（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；
（5）图中阴影部分内点的集合.
【解】（1）{x|x=3k，k∈Z}；
（2）{x|x≤2且x≠0 }；
（3）；
（4）{(x,y)| y=-x2+3x-6}；
（5）{(x,y)| 或 .
3、已知A=,试用列举法表示集合A.
【答案】A=｛－3,0,1,2｝.
【课后提升】
1.下列集合表示法错误的是 （1）（2）（4）（6） .
（1）｛１，２，２，３｝；（2）｛全体实数｝；（3）｛有理数｝；
（4）不等式ｘ２－５＞０的解集为｛ｘ２－５＞０｝；(5) {Ф}；
(6) 方程组的解的集合为{2，4}.
2.用列举法表示下列集合：
①{x|x为不大于10的正偶数}=__｛2,4,6,8,10｝_____;
②=__｛（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）｝___;
③集合{ｘ∈Ｎ｜－１＜ｘ＜４}用列举法表示为 ｛0,1,2,3｝ ;
④数字和为的两位数=_｛14,23,32,41,50｝__;
⑤=__｛（0,8），（2,5），（4,2）｝__;
3.已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．
解：分两种情况讨论：
① 1+a2+b2=2；
② 这与集合的性质矛盾，
∴ 1+a2+b2=2 .
( http: / / www. / )